譚鄒卿， 石曉灝， 蔣學(xué)東， 班書(shū)昊

(1.常州大學(xué) 機(jī)械與軌道交通學(xué)院， 江蘇 常州 213164； 2.常州大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程與健康科學(xué)研究院， 江蘇 常州 213164)

為了滿足工程中各種功能的需求，需要設(shè)計(jì)各種各樣的結(jié)構(gòu)。例如，由于具有剛度高、結(jié)構(gòu)輕、尺寸穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，桁架為工程中一種常用的結(jié)構(gòu)[1-3]。另外，多層復(fù)合結(jié)構(gòu)已廣泛應(yīng)用于機(jī)械、光學(xué)、電氣和化學(xué)器件等領(lǐng)域[4-5]。然而，在實(shí)際工程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)制造誤差、安裝誤差、測(cè)量誤差等因數(shù)，使得結(jié)構(gòu)產(chǎn)生初始內(nèi)力。初始內(nèi)力的存在，必然會(huì)影響到結(jié)構(gòu)的可靠性，甚至可能導(dǎo)致工程事故[6]。桿件長(zhǎng)度的制造誤差使得空間桁架產(chǎn)生一定的初始應(yīng)力，這些未知的應(yīng)力可能會(huì)引起局部桿件的過(guò)早屈曲，甚至造成整個(gè)桁架出現(xiàn)累積式坍塌[7]。對(duì)于多層復(fù)合結(jié)構(gòu)，當(dāng)制備和工作過(guò)程中存在表面應(yīng)力、外延生長(zhǎng)錯(cuò)配、溫度變化、擴(kuò)散應(yīng)變等因數(shù)時(shí)[8-11]，由于涂層與基底存在失配應(yīng)變，造成涂層-基底結(jié)構(gòu)存在殘余應(yīng)力，進(jìn)而引起多層復(fù)合結(jié)構(gòu)的彎曲、剝離、脫層、屈曲以及斷裂等行為[12-16]。因此，對(duì)裝配/殘余效應(yīng)下結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的研究十分必要。

考慮裝配/殘余效應(yīng)的結(jié)構(gòu)是超靜定的，其力學(xué)特性的研究是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。已有大量的方法研究裝配/殘余效應(yīng)下結(jié)構(gòu)力學(xué)特性，如連續(xù)介質(zhì)理論[14,17-20]，Monte Carlo方法(MCM)[21-23]以及有限元法(FEM)[24]等。FURUYA[17]建立了一個(gè)解析模型，研究了桿件長(zhǎng)度失配對(duì)空間結(jié)構(gòu)靈敏度的影響。利用半解析方法，KARPOV等[18]研究了初始應(yīng)力對(duì)規(guī)則晶格結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的影響。余俊等[6]闡述了考慮制造和安裝誤差對(duì)桁架結(jié)構(gòu)各桿件的可靠性影響，并給出了修正的可靠性指標(biāo)的計(jì)算方法。利用Monte Carlo方法，SHEIDAII等[23]研究了桿件長(zhǎng)度隨機(jī)分布對(duì)雙層空間結(jié)構(gòu)承載能力、坍塌以及可靠性的影響。SMITH等[24]利用有限元法求解了節(jié)點(diǎn)位置不確定條件下桁架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。

此外，對(duì)層合結(jié)構(gòu)殘余效應(yīng)的研究也廣受關(guān)注。TIMOSHENKO[25]利用力和力矩平衡并結(jié)合變形協(xié)調(diào)條件，給出了熱應(yīng)力引起的雙層梁彎曲的一般解。該方法被擴(kuò)展到更為復(fù)雜的多層梁[26]。將總應(yīng)變分解為均勻應(yīng)變和彎曲應(yīng)變，HSUEH等[14,16,27-28]利用三變量方法研究了多層系統(tǒng)的應(yīng)力和變形。張能輝等[29-31]給出了更為簡(jiǎn)便的兩變量方法。然而，上述方法適用于層合梁的殘余效應(yīng)研究，不便于分析桁架的裝配效應(yīng)。

盡管裝配/殘余效應(yīng)的桁架和多層梁均屬于超靜定問(wèn)題，但這些結(jié)構(gòu)的一般解法尚未建立。目前，少量文獻(xiàn)[32-33]基于廣義變分原理研究了裝配誤差下桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)力/應(yīng)力問(wèn)題，但不能直接求解其他復(fù)雜結(jié)構(gòu)的裝配/殘余問(wèn)題。本文利用拉格朗日乘數(shù)法建立了含裝配/殘余效應(yīng)的新泛函，利用變分法得到結(jié)構(gòu)支座反力或內(nèi)力的矩陣形式的一般解，最后以空腹桁架、曲桿以及層合梁為例驗(yàn)證了該方法的正確性和通用性。

1 裝配/殘余效應(yīng)下的廣義變分原理

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，其余應(yīng)變能函數(shù)將達(dá)到其最小值，屬于極值問(wèn)題。對(duì)有n個(gè)組件的線性超靜定結(jié)構(gòu)，采用拉格朗日乘數(shù)法得含裝配/殘余效應(yīng)下的新泛函的一般形式為[20]

(1)

經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化或變換，式(1)可轉(zhuǎn)為已有文獻(xiàn)的理論。若不考慮裝配/殘余效應(yīng)，式(1)可退化為經(jīng)典的廣義變分原理泛函[34-35]。若考慮超靜定桁架，第j個(gè)組件的余應(yīng)變能函數(shù)Vj僅是桿件軸力的函數(shù)，式(1)與文獻(xiàn)[32-33]中的理論一致。

將支座反力或內(nèi)力Nk及λi都當(dāng)作獨(dú)立的變分宗量，則新泛函L變分為

(2)

式中p為支座反力或內(nèi)力的個(gè)數(shù)。

由于δNk及δλi都是獨(dú)立的，則L的極值條件為：

(3)

(4)

式(3)和式(4)分別表示靜力學(xué)平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程。由此可知，不同于傳統(tǒng)的力法、位移法等，該能量法將求解超靜定結(jié)構(gòu)的支座反力或內(nèi)力，轉(zhuǎn)化為求系統(tǒng)相應(yīng)的無(wú)條件廣義變分原理的新泛函極值問(wèn)題。

2 裝配/殘余效應(yīng)下的矩陣解

考慮裝配/殘余效應(yīng)下線性超靜定結(jié)構(gòu)，其m個(gè)獨(dú)立平衡方程的一般形式為

(5)

式中aij為支座反力或內(nèi)力的系數(shù)。

第j個(gè)構(gòu)件的余應(yīng)變能函數(shù)為

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4)得

(7)

將式(5)和式(7)改寫(xiě)成矩陣形式為

(8)

式中：A和B分別為式(5)和式(7)的系數(shù)矩陣；AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣；N為支座反力或內(nèi)力的向量；Λ為拉格朗日乘子的向量；Ne為裝配/殘余效應(yīng)的向量。

求解式(8)得[20,36]

(9)

式中:C11=B-1-B-1AT(AB-1AT)-1AB-1;C12=B-1AT(AB-1AT)-1;C21=(AB-1AT)-1AB-1;C22=-(AB-1AT)-1。

利用式(9)得廣義力(支座反力或內(nèi)力)為

N=C11Ne

(10)

3 結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證裝配/殘余效應(yīng)下能量模型的正確性，下面將討論空腹桁架、曲桿以及層合梁3種實(shí)例，并將計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.1 算例1:裝配效應(yīng)下的空腹桁架

如圖1(a)所示空腹桁架結(jié)構(gòu)，懸臂梁AB和CD長(zhǎng)度均為l，抗彎剛度均為E1I1。桿BD略長(zhǎng)于名義長(zhǎng)度l/2，其制造誤差為Δ，抗拉壓剛度為E2A2。試求桿BD的裝配內(nèi)力。

對(duì)梁AB進(jìn)行受力分析，如圖1(b)所示。由靜力平衡條件可知:

(a) 空腹桁架示意圖

(b) AB的受力圖圖1 裝配效應(yīng)下的空腹桁架 Fig.1 Assembly effect on a vierendeel truss

FA-FN=0

(11)

MA+lFN=0

(12)

式中:FN為桿BD的軸力;FA和MA分別為固定端A處的約束力和約束力偶。

對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，剪切變形能影響較小，因此忽略剪切應(yīng)變對(duì)梁應(yīng)變能的影響。考慮到載荷和結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)式(1)得新泛函為

(13)

式中λi(i=1，2)為拉格朗日乘子。

將FN，F(xiàn)A和MA都當(dāng)作獨(dú)立變量，由式(13)得：

(14)

(15)

(16)

將式(11)、式(12)和式(14)至式(16)寫(xiě)成矩陣形式

(17)

求解式(17)得桿BD的裝配內(nèi)力為

(18)

式中負(fù)號(hào)表明桿BD受壓力。上式與文獻(xiàn)[37]中的計(jì)算結(jié)果完全一致，說(shuō)明了該能量法的正確性。

3.2 算例2:裝配效應(yīng)下的曲桿

如圖2(a)所示的曲桿結(jié)構(gòu)，由彈性圓桿AB和剛桿BC組成，在C端上方有一垂直的直桿。已知桿AB的長(zhǎng)度為l，材料的抗彎剛度和抗扭剛度分別為EI和GIp。桿BC的長(zhǎng)度為a。桿CD的加工長(zhǎng)度比名義長(zhǎng)度h略短，加工誤差為Δ，材料的抗拉壓剛度為EA。試求桿CD的裝配內(nèi)力。

(a) 曲桿示意圖

(b) 曲桿AC的受力圖圖2 裝配效應(yīng)下的曲桿 Fig.2 Assembly effect on a curved bar

對(duì)曲桿AC進(jìn)行受力分析，如圖2(b)所示。由靜力平衡條件可知:

FA-FN=0

(19)

TA-aFN=0

(20)

MA-lFN=0

(21)

式中:FN為桿CD的裝配軸力;FA，TA和MA為固定端A處的約束反力。

考慮桿件的拉壓應(yīng)變能、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能以及彎曲應(yīng)變能，根據(jù)式(1)得新泛函為

(22)

式中λi(i=1，2，3)為拉格朗日乘子。

將FN，F(xiàn)A，TA和MA都當(dāng)作獨(dú)立變量，由式(22)得:

(23)

(24)

(25)

(26)

將式(19)至式(21)、式(23)至式(26)寫(xiě)成矩陣形式為

(27)

求解式(27)得桿CD軸力為

(28)

上式與文獻(xiàn)[37]中的計(jì)算結(jié)果完全一致，說(shuō)明了該方法能夠求解裝配效應(yīng)下的曲桿內(nèi)力問(wèn)題。

3.3 算例3:殘余應(yīng)變效應(yīng)下的雙層懸臂梁

最后考慮殘余應(yīng)變效應(yīng)下的雙層懸臂梁，其結(jié)構(gòu)圖以及初始?xì)堄鄳?yīng)變分布如圖3(a)所示。雙層懸臂梁的長(zhǎng)度和寬度分別為l和b。各層的厚度、橫截面面積、慣性矩、彈性模量、殘余應(yīng)變分別為hi，Ai，Ii，Ei，εri(i=1，2)。試求殘余應(yīng)變效應(yīng)下的雙層懸臂梁的內(nèi)力以及曲率半徑。

(a) 雙層懸臂梁和初始?xì)堄鄳?yīng)變分布示意圖

(b) 雙層懸臂梁右截面的受力圖>圖3 殘余應(yīng)變效應(yīng)下的雙層懸臂梁 Fig.3 Residual strain effect on a bilayer cantilever beam

對(duì)雙層懸臂梁進(jìn)行受力分析，如圖3(b)所示。由靜力平衡條件可知:

FN1+FN2=0

(29)

(30)

式中FNi和Mi(i=1，2)為各層的軸力和彎矩。

忽略剪切應(yīng)變對(duì)梁應(yīng)變能的影響，根據(jù)式(1)得新泛函為

(31)

式中λi(i=1，2)為拉格朗日乘子。

將FN1，F(xiàn)N2，M1和M2都當(dāng)作獨(dú)立變量，由式(31)得：

(32)

(33)

(34)

(35)

將式(29)、式(30)和式(32)至式(35)寫(xiě)成如下矩陣形式

(36)

求解式(36)得雙層懸臂梁的內(nèi)力為:

(37)

(38)

(39)

式中K=4(E1A1+E2A2)(E1I1+E2I2)+E1A1E2A2(h1+h2)2。

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，懸臂梁各層受到的彎矩為

(40)

式中ρi(i=1，2)為各層的曲率半徑。

考慮到梁的變形很小，曲率半徑遠(yuǎn)大于梁的厚度，則各層具有相同的曲率半徑，即ρ1=ρ2=ρ。因此，式(40)可簡(jiǎn)化為

(41)

由式(38)和式(41)可得雙層懸臂梁的曲率半徑為

(42)

上式與文獻(xiàn)[38]中的計(jì)算結(jié)果完全一致，表明了該變分法能夠求解殘余應(yīng)變效應(yīng)下的雙層懸臂梁的內(nèi)力以及變形問(wèn)題，進(jìn)一步說(shuō)明了該方法的通用性。

4 結(jié) 論

利用廣義變分原理研究了裝配/殘余效應(yīng)下超靜定結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。引入拉格朗日乘數(shù)并結(jié)合靜力平衡條件，構(gòu)造了考慮裝配/殘余效應(yīng)的拉格朗日函數(shù)，求解其極值問(wèn)題，給出了支座反力或內(nèi)力矩陣形式的通解。為了驗(yàn)證該能量法的有效性，對(duì)比了空腹桁架、曲桿以及層合梁3種算例，結(jié)果表明了該方法在求解裝配/殘余效應(yīng)下各種超靜定結(jié)構(gòu)力學(xué)特性具有良好的通用性。