◎龐 斌(北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,北京 102488)

一、引 言

隨著我國(guó)高校擴(kuò)招,高校畢業(yè)生人數(shù)逐年增長(zhǎng),就業(yè)市場(chǎng)也日趨飽和.在這種大的教育背景下選擇讀研成為提高就業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力、完善自身知識(shí)結(jié)構(gòu)以及實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值的重要途徑.因此,“考研熱”給傳統(tǒng)的本科生數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式帶來(lái)新的沖擊,有以下兩方面的體現(xiàn):

一方面,數(shù)學(xué)專業(yè)研究生入學(xué)考試考查內(nèi)容數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)這兩門課程在大二就已經(jīng)學(xué)習(xí)結(jié)束.“考研熱”導(dǎo)致很多學(xué)生過(guò)早地準(zhǔn)備考研專業(yè)課的復(fù)習(xí),所以對(duì)于后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)沒(méi)有足夠重視.這種學(xué)習(xí)模式的后果是學(xué)生只會(huì)熟練地解答數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)中的具體題目,但對(duì)于需要學(xué)習(xí)的其他高年級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)課程知之甚少.因此學(xué)生對(duì)本科階段的數(shù)學(xué)課程沒(méi)有整體的把握和理解,數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)較差,許多考生在考研初試中取得較高成績(jī)，但是因?yàn)榫C合能力差而在復(fù)試過(guò)程中被淘汰.

另一方面,“考研熱”對(duì)于本科畢業(yè)論文指導(dǎo)過(guò)程產(chǎn)生影響.畢業(yè)論文要求學(xué)生將本專業(yè)所學(xué)知識(shí)和實(shí)踐相結(jié)合,在深化所學(xué)知識(shí)的同時(shí),突出知識(shí)的運(yùn)用能力.這就要求學(xué)生具有扎實(shí)的基本功,除了熟練掌握基礎(chǔ)課程,還要對(duì)各門高年級(jí)專業(yè)課程進(jìn)行串聯(lián)和梳理,整體把握整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系的內(nèi)容，從而提高對(duì)于所學(xué)知識(shí)的掌握能力以及創(chuàng)新運(yùn)用能力.如果學(xué)生僅局限于考研課程的學(xué)習(xí),會(huì)極大地限制學(xué)生的思維,導(dǎo)致畢業(yè)論文缺乏新意.

綜上,在考研背景下,高年級(jí)的各類專業(yè)課程教學(xué)面臨著新的挑戰(zhàn).教師不僅需要以學(xué)生能力的提升為目的調(diào)整教學(xué)內(nèi)容,還要探索出既可以培養(yǎng)學(xué)生綜合能力又能提高學(xué)生考研成功率的教學(xué)模式.本文主要針對(duì)一般拓?fù)鋵W(xué)課程,結(jié)合該課程中的一些基本概念及其相關(guān)性質(zhì),探索合適的講授方法和教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)一般拓?fù)鋵W(xué)課程的同時(shí),盡可能地去梳理數(shù)學(xué)分析課程脈絡(luò),尤其是對(duì)基礎(chǔ)概念的深層次理解和掌握.論文呈現(xiàn)的講授方法的實(shí)施有助于提高高年級(jí)學(xué)生的分析能力,同時(shí)有助于提高學(xué)生的知識(shí)整合能力以及創(chuàng)新能力,也會(huì)輔助提高數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的考研成功率.

二、基本概念

定義2.1 設(shè)X是集合.若τ?P(X)滿足:

(T1)Φ,X∈τ;

(T2)?A,B∈τ,A∩B∈τ;

(T3)?{At}t∈T?τ,∪t∈TAt∈τ,

則稱τ是X上的一個(gè)拓?fù)?相應(yīng)地，序?qū)?X,τ)稱作一個(gè)拓?fù)淇臻g.

定義2.2 設(shè)(X,τ)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,U?X,x∈X.若存在V∈τ使得x∈V?U,則稱U是x的一個(gè)鄰域.

定義2.3 設(shè)f:(X,τ)→(Y,δ)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間的映射.若f滿足：對(duì)任意B∈δ,有f←(B)∈τ,則稱f是連續(xù)映射.

命題 2.4(連續(xù)映射的鄰域刻畫)

設(shè)f:(X,τ)→(Y,δ)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間的映射,則f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈X,若B是f(x)的鄰域,則f←(B)是x的鄰域.

設(shè)(P,≤)是一個(gè)預(yù)序集,D?P,若D≠Φ且對(duì)任意d1,d2∈D,存在d3∈D使得d1≤d3,d2≤d3,則稱D是一個(gè)定向集.

定義 2.5 設(shè)(X,τ)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,(D,≤)是一個(gè)定向集,則稱映射S:D→X是X的一個(gè)網(wǎng).

定義2.6 設(shè)(X,τ)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,U?X,x∈X,S:D→X是X的一個(gè)網(wǎng).若任給x的鄰域U,存在d∈D,當(dāng)n≥d時(shí),有S(n)∈U,則稱S收斂到x,記為S→x.

三、可度量化拓?fù)淇臻g中的鄰域

在數(shù)學(xué)分析中,鄰域是一個(gè)非常重要的概念.在一維歐氏空間中,U是x的一個(gè)鄰域是指：存在r>0,使得B(x,r)?U,其中,B(x,r)={y||x-y|

定義3.1 若一個(gè)拓?fù)淇臻g可以由一個(gè)度量空間導(dǎo)出,則稱拓?fù)淇臻g是可度量化的.

根據(jù)度量空間誘導(dǎo)拓?fù)淇臻g的具體過(guò)程可知,如果拓?fù)淇臻gτ是可度量化的,則存在度量d使得開(kāi)球族{Bd(x,r)|x∈X,r>0}是τ的基,其中Bd(x,r)={y∈X|d(x,y)

命題3.2 設(shè)τ是一個(gè)可度量化空間(τ=τd),則U是x的一個(gè)鄰域當(dāng)且僅當(dāng)存在r>0使得Bd(x,r)?U.

眾所周知,在實(shí)數(shù)集R上賦予度量d(x,y)=|x-y|,則(R,d)是一個(gè)度量空間,進(jìn)而誘導(dǎo)一個(gè)拓?fù)淇臻g(R,τd),稱為標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)淇臻g.由命題3.2可知,(R,τd)中鄰域的概念恰好是數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)集中的鄰域的概念.實(shí)際上,數(shù)學(xué)分析中介紹的實(shí)數(shù)集中的鄰域推廣到拓?fù)淇臻g背景下，對(duì)應(yīng)的是可度量化拓?fù)淇臻g中的鄰域.

教師通過(guò)這一講解過(guò)程,就明確了數(shù)學(xué)分析中介紹的鄰域跟一般拓?fù)鋵W(xué)中講的鄰域之間的聯(lián)系.由于可度量化拓?fù)淇臻g中的鄰域依賴于其基元素，即由度量誘導(dǎo)的開(kāi)球.因此，教師還應(yīng)該幫助學(xué)生加深對(duì)可度量化拓?fù)淇臻g中開(kāi)球的認(rèn)識(shí).為此,教師可以引導(dǎo)學(xué)生探索Bd(x,r)的具體幾何特征.受到數(shù)學(xué)分析中理解開(kāi)球的思維的影響,許多學(xué)生主觀認(rèn)為Bd(x,r)的圖形就是一個(gè)球(或圓)的形狀.實(shí)則不然.以二維歐式空間為例,在R2上存在大家廣為熟知的兩個(gè)度量，如下:

?x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2,

d2(x,y)=max{|x1-y1|,|x2-y2|}.

容易驗(yàn)證d1和d2誘導(dǎo)出R2上相同的拓?fù)?，即由d1和d2誘導(dǎo)的開(kāi)球都可以作為R2上的度量拓?fù)涞幕?但通過(guò)作圖我們可以看出,Bd1(0,1)是一個(gè)圓形區(qū)域,而B(niǎo)d2(0,1)是一個(gè)正方形區(qū)域.

因此,教師在講解可度量化拓?fù)淇臻g中的鄰域時(shí),要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)可度量化拓?fù)涞幕氐木唧w幾何特征,加深學(xué)生對(duì)這些抽象概念的直觀認(rèn)識(shí),幫助學(xué)生跳出數(shù)學(xué)分析中的通常的開(kāi)球形狀的束縛,以此輔助學(xué)生更好地理解不同的度量意義下的開(kāi)球的形狀是不同的，但可能會(huì)誘導(dǎo)出相同的可度量化拓?fù)?教師還非常有必要指出，因?yàn)橐话愕耐負(fù)淇臻g并沒(méi)有開(kāi)球形式的基元素,故一般的拓?fù)淇臻g中的鄰域，不能像可度量化拓?fù)淇臻g的鄰域，可以包含一個(gè)度量誘導(dǎo)的開(kāi)球，這也是可度量化拓?fù)淇臻g和一般的拓?fù)淇臻g的一個(gè)區(qū)別之處.

四、拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射

在一般拓?fù)鋵W(xué)中,連續(xù)映射反映了兩個(gè)拓?fù)淇臻g中開(kāi)集的關(guān)系，這是聯(lián)系兩個(gè)拓?fù)淇臻g的重要橋梁.一般拓?fù)鋵W(xué)教材通常是直接給出連續(xù)映射的抽象定義,即開(kāi)集的原像是開(kāi)集.這對(duì)于剛開(kāi)始接觸一般拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō),只能先去硬性地接受這一概念,后續(xù)再純粹從理論推導(dǎo)的角度加強(qiáng)對(duì)這一概念的認(rèn)識(shí).在數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生考研面試環(huán)節(jié),學(xué)生經(jīng)常被問(wèn)到一般拓?fù)鋵W(xué)中的連續(xù)映射和數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)映射有什么聯(lián)系.針對(duì)這樣的問(wèn)題，如果不對(duì)連續(xù)映射做進(jìn)一步的解釋，學(xué)生很難深入理解到兩門課程中提到的連續(xù)性的關(guān)系.那么,教師如何才能從學(xué)生更熟悉和更容易接受的角度講解這一概念呢？

數(shù)學(xué)分析通常是利用ε-δ語(yǔ)言定義一個(gè)函數(shù)f在某點(diǎn)x0處的連續(xù)性,具體如下：

?ε>0,?δ>0,當(dāng)|x-x0|<δ時(shí),

|f(x)-f(x0)|<ε.

(1)

若f在每一點(diǎn)x0處都是連續(xù)的,則稱f是整體連續(xù)的.在一般拓?fù)鋵W(xué)通常是利用開(kāi)集的原像是開(kāi)集定義一個(gè)映射的整體連續(xù)性.形式上二者差別很大,初學(xué)者很難自己去發(fā)掘它們之間的聯(lián)系.為了幫助學(xué)生梳理清楚兩者之間的關(guān)系,教師需要先講解一般拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)函數(shù)在單點(diǎn)處的連續(xù)性，利用拓?fù)淇臻g中的鄰域概念,可以定義一個(gè)映射f:(X,τX(jué))→(Y,τY)在x0處的連續(xù)性：

對(duì)任意的f(x0)在(Y,τY)中的鄰域B,

f←(B)是x0在(X,τX(jué))中的鄰域.

(2)

我們進(jìn)一步可以證明,若映射f:(X,τX(jué))→(Y,τY)在每一點(diǎn)x0處都連續(xù),則映射f:(X,τX(jué))→(Y,τY)是整體連續(xù)的.容易看出,數(shù)學(xué)分析和一般拓?fù)鋵W(xué)中映射的整體連續(xù)都可以通過(guò)逐點(diǎn)連續(xù)刻畫.因此,為了幫助學(xué)生理解兩門課程中連續(xù)映射的關(guān)系,教師只需要將兩者的逐點(diǎn)連續(xù)的關(guān)系梳理清楚,即只需將(1)和(2)的關(guān)系梳理清楚即可.考慮實(shí)數(shù)集R上拓?fù)鋯?wèn)題時(shí),我們通常采用的是標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?即以度量d(x,y)=|x-y|誘導(dǎo)的拓?fù)洇觗.此時(shí),我們將(2)中定義連續(xù)映射的方式應(yīng)用于映射f:(R,τd)→(R,τd).這樣定義的f:(R,τd)→(R,τd)的連續(xù)性和(1)中的ε-δ方式定義的連續(xù)性是等價(jià)的.

(1)?(2)：若B是f(x)在(R,τd)中的鄰域,由命題3.2可知,存在ε0>0,使得Bd(f(x0),ε0)?B.由(1)可知,對(duì)上述ε0,存在δ0>0,使得|x-x0|<δ0時(shí),|f(x)-f(x0)|<ε0.所以,當(dāng)x∈Bd(x0,δ0)時(shí),f(x)∈Bd(f(x0),ε0),即當(dāng)x∈Bd(x0,δ0)時(shí),x∈f←(Bd(f(x0),ε0)).從而有Bd(x0,ε0)?f←(Bd(f(x0),ε0)).因此,f←(B)是x0在(R,τd)中的鄰域.

(2)?(1):對(duì)任意的ε>0,則Bd(f(x0),ε)是f(x0)在(R,τd)中的一個(gè)鄰域.由(2)可知,f←(Bd(f(x0),ε))是x0在(R,τd)中的鄰域.由命題3.2可知,存在δ>0,使得Bd(x0,δ)?f←(Bd(f(x0),ε)).所以,當(dāng)|x-x0|<δ時(shí),即x∈Bd(x0,δ0)時(shí),必有x∈f←(Bd(f(x0),ε)).從而f(x)∈Bd(f(x0),ε),即|f(x)-f(x0)|<ε.綜上,對(duì)任意的ε>0,存在δ>0,當(dāng)|x-x0|<δ時(shí),|f(x)-f(x0)|<ε.

經(jīng)過(guò)上述分析我們可以得出結(jié)論,數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)集上的函數(shù)的連續(xù)性恰好等價(jià)于該函數(shù)在實(shí)數(shù)集上的標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)湟饬x下的連續(xù)性，從而幫助學(xué)生從一般拓?fù)鋵W(xué)的角度對(duì)數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)的函數(shù)的連續(xù)性概念增加全新的認(rèn)識(shí)和理解,輔助學(xué)生梳理一般拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)分析兩門課程的聯(lián)系.

五、序列和網(wǎng)

數(shù)列的收斂在數(shù)學(xué)分析中起到至關(guān)重要的作用,而且數(shù)列的概念可以很自然地推廣到拓?fù)淇臻g中.因?yàn)橥負(fù)淇臻g的鄰域是一般的集合,故數(shù)列被推廣到拓?fù)淇臻g中之后,被稱為序列,即以正自然數(shù)集標(biāo)號(hào)的一個(gè)集合{xn|n∈N+}.借鑒數(shù)學(xué)分析中數(shù)列收斂的定義方式,在一般的拓?fù)淇臻g中,以鄰域?yàn)楣ぞ?我們可以自然地給出序列{xn}收斂到x的定義:

若對(duì)x的任一鄰域U,?N0∈N+,

當(dāng)n>N0時(shí),xn∈U,

通常記為{xn}→x.

但序列收斂在一般的拓?fù)淇臻g中并不能發(fā)揮像數(shù)列收斂在實(shí)數(shù)集中發(fā)揮的那樣的作用.比如,數(shù)學(xué)分析中的歸結(jié)原理：

設(shè)f:R→R是一個(gè)映射,則有

f:R→R是連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的數(shù)列{xn},{xn}→x蘊(yùn)涵{f{xn}}→f(x).

在一般的拓?fù)淇臻g中,若將上述結(jié)論中的數(shù)列替換為序列,必要性仍然成立，但充分性不再成立.從中可以看出，序列在一般的拓?fù)淇臻g中起到的作用跟數(shù)列在實(shí)數(shù)集中起的作用是有區(qū)別的.因此,教師應(yīng)該跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)，序列并不是數(shù)列在一般的拓?fù)淇臻g中應(yīng)該對(duì)應(yīng)的概念.針對(duì)這一問(wèn)題,我們需要在拓?fù)淇臻g中引入新的概念,作為數(shù)列的對(duì)應(yīng)概念.此概念恰好就是拓?fù)淇臻g的網(wǎng)(見(jiàn)定義2.5),并且數(shù)列的收斂恰好對(duì)應(yīng)于網(wǎng)的收斂(見(jiàn)定義2.6).我們借助網(wǎng)和網(wǎng)的收斂,得到一般的拓?fù)淇臻g中的原理：

設(shè)f:(X,τX(jué))→(Y,τY)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間的映射,則有

f:(X,τX(jué))→(Y,τY)是連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意(X,τX(jué))中的網(wǎng)S,S→x蘊(yùn)涵f(S)→f(x).

從中可以看出,在一般的拓?fù)淇臻g中，用網(wǎng)替換數(shù)列更為合理.當(dāng)然,除了歸納原理,還有很多拓?fù)淇臻g中的概念和性質(zhì)討論利用網(wǎng)才能得到更好的結(jié)果,比如,刻畫聚點(diǎn),閉包,分離性等.總之,在一般的拓?fù)淇臻g框架下,網(wǎng)才是數(shù)列的合理推廣.在這一講解過(guò)程中，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生從一般拓?fù)鋵W(xué)的角度理解數(shù)學(xué)分析的思維模式，而且引導(dǎo)學(xué)生尋找熟悉的數(shù)學(xué)分析中的概念在一般的拓?fù)淇臻g中的對(duì)應(yīng).教師通過(guò)這一過(guò)程,幫助學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)分析和一般拓?fù)鋵W(xué)課程相通的知識(shí)點(diǎn),一定要注意著重分析可能存在的區(qū)別.

從上述講解過(guò)程中,我們可以看出序列不能作為數(shù)列的完美的推廣形式，但這不意味序列及其收斂在拓?fù)淇臻g中沒(méi)有意義.我們借助序列可以描述和刻畫拓?fù)淇臻g的很多性質(zhì),而且,當(dāng)拓?fù)淇臻g滿足第一可數(shù)公理時(shí),序列收斂和網(wǎng)的收斂是等價(jià)的.因此,考慮第一可數(shù)空間的相關(guān)問(wèn)題時(shí),我們可以優(yōu)先選擇序列,因?yàn)樵谛问缴闲蛄幸染W(wǎng)更為簡(jiǎn)潔,利用起來(lái)更為方便.

六、總 結(jié)

一般拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)分析和實(shí)變函數(shù)等多門分析學(xué)課程的延伸,最顯著的特點(diǎn)是將公理化的研究方法與具體的數(shù)學(xué)性質(zhì)相結(jié)合.通過(guò)一般拓?fù)鋵W(xué)課程的學(xué)習(xí),我們可以更好地梳理多門分析學(xué)課程的內(nèi)在聯(lián)系.如果從一般拓?fù)鋵W(xué)的角度看待數(shù)學(xué)分析,學(xué)生可以將數(shù)學(xué)分析課程中的諸多基礎(chǔ)概念理解得更加透徹.教師結(jié)合一般拓?fù)鋵W(xué)的抽象化特點(diǎn),結(jié)合抽象的拓?fù)涓拍?對(duì)數(shù)學(xué)分析中的具體概念加以解釋,可以幫助學(xué)生從一個(gè)更高的層面去理解和解釋數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中的概念和性質(zhì).在考研背景下,教師借助一般拓?fù)鋵W(xué)課程,可以幫助學(xué)生串聯(lián)和梳理各門相關(guān)課程之間的關(guān)系.對(duì)一般拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)習(xí),不僅可以幫助學(xué)生加深對(duì)各門相關(guān)課程的理解,還可以輔助數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生從容應(yīng)對(duì)考研復(fù)試中的面試環(huán)節(jié).