◎姚衛(wèi)紅(上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240)

一、內(nèi)容介紹

關(guān)于微積分(高等數(shù)學(xué))的教學(xué)，有很多經(jīng)典的理論，例如實(shí)數(shù)的完備性六大定理，其中，確界存在定理、單調(diào)有界必有極限、區(qū)間套定理、聚點(diǎn)存在定理的幾何意義非常明顯.教師在教學(xué)中可以配合幾何解釋?zhuān)由钔瑢W(xué)們的印象.我認(rèn)為比較有難度的是Cauchy收斂原理，它是六大定理中唯一一個(gè)充分必要的結(jié)論，對(duì)學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)意義重大.非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的教學(xué)不見(jiàn)得要給出證明，但是可以講一講當(dāng)初柯西是怎么想到的(這對(duì)培養(yǎng)和啟發(fā)同學(xué)們的數(shù)學(xué)興趣很有意義)，有什么劃時(shí)代的意義，當(dāng)初數(shù)學(xué)家的靈感來(lái)自哪里.一般來(lái)說(shuō)，靈感是受到了幾何意義的啟發(fā).所以，用幾何的方法解釋和證明定理的結(jié)論非常重要.我們知道，收斂的數(shù)列一定有界，有界不見(jiàn)得收斂.但是，有界而不收斂的數(shù)列一定不止一個(gè)聚點(diǎn)，換句話(huà)說(shuō)，一定至少存在兩個(gè)不同的聚點(diǎn).這種情況肯定不是柯西列.

二、基本知識(shí)

定義1 設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集，ξ為定點(diǎn) (它可以屬于S，也可以不屬S)．ξ的任何鄰域內(nèi)都含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則稱(chēng)ξ為點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn)．

聚點(diǎn)概念的另兩個(gè)等價(jià)定義如下：

定義1’ 對(duì)于點(diǎn)集S，若點(diǎn)ξ的任何ε鄰域內(nèi)都含有S中異于ξ的點(diǎn)，即U0(ξ;ε)∩S≠Φ，則稱(chēng)ξ為S的一個(gè)聚點(diǎn)．

下面我們介紹魏爾斯特拉斯(Weierstrass)聚點(diǎn)定理．

定理 實(shí)軸上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集S至少有一個(gè)聚點(diǎn)．

推論1 (致密性定理)有界數(shù)列必含有收斂子列．

說(shuō)明：若{an}中有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng)，即存在完全相同的項(xiàng)組成的子序列，設(shè)為{akn}，則點(diǎn)a=akn也是數(shù)列{an}的聚點(diǎn).

推論2 有界數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)僅有一個(gè)聚點(diǎn).

證明：因?yàn)閿?shù)列收斂的充要條件是其任何子列都收斂到相同的值，而這個(gè)值一定是數(shù)學(xué)的聚點(diǎn)，所以，有界數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)僅有一個(gè)聚點(diǎn).

Cauchy收斂準(zhǔn)則 —— 數(shù)列收斂的充要條件:

1.回顧基本列概念( 基本列亦稱(chēng)為Cauchy列)

基本列: 設(shè){an}是一個(gè)數(shù)列，若對(duì)任意給定的ε>0，有一正整數(shù)N，當(dāng)m,n>N時(shí)，有|an-am|<ε成立，則稱(chēng){an}為基本列.

2.Cauchy收斂原理

定理 數(shù)列{an}收斂?{an}是Cauchy列.

一般來(lái)說(shuō)，Cauchy收斂原理的證明是利用了致密性定理，為了方便讀者閱讀，我們這里給出教科書(shū)上數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則的證明(見(jiàn)下面的證明1).

先證有界性，取ε=1，則?N,n,m>N?|an-am|<1.特別地，n>N時(shí),|an-aN+1|<1?|an|<|aN+1|+1.

以上是國(guó)內(nèi)外課本上的傳統(tǒng)證明方法.在下面的證明2中，我們將采用幾何解釋法來(lái)證明數(shù)列的柯西收斂原理的充分性.我們的基本思路就是，根據(jù)推論2，有界數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)僅有一個(gè)聚點(diǎn).那么我們采用反證法，證明柯西列不可能有兩個(gè)聚點(diǎn)，也就相當(dāng)于證明了數(shù)列的柯西收斂原理的充分性.這樣的證明方法幾何特征比較明顯，學(xué)生容易理解和接受，而且為未來(lái)學(xué)習(xí)上極限和下極限做好了鋪墊(最大聚點(diǎn)就是上極限，最小聚點(diǎn)就是下極限).

證明2 (反證法)假設(shè)柯西列{an}不收斂，因?yàn)榭挛髁惺怯薪鐢?shù)列，所以，{an}至少有兩個(gè)不相同的聚點(diǎn)，設(shè)為A，B，不妨設(shè)A>B， 設(shè){akn}及{aln}是數(shù)列{an}中兩個(gè)不同的子列，分別以A，B為極限：

同理，?N2∈N+，當(dāng)n>N2時(shí)，

因此，當(dāng)n>max{N1,N2} 時(shí)， 有

(1)

但因?yàn)閧an}是柯西列，故?N3∈N+，當(dāng)n>N3時(shí)，有

(2)

結(jié)合(1)(2)，當(dāng)n>max{N1,N2,N3}時(shí)， 有

矛盾.

下面我們給出以上這個(gè)證明的幾何解釋?zhuān)辛诉@個(gè)幾何解釋?zhuān)袃蓚€(gè)聚點(diǎn)的數(shù)列一定不是柯西列便一目了然：

從上圖可以看出，有兩個(gè)聚點(diǎn)的數(shù)學(xué)列不可能是柯西列.

說(shuō)明：

a.Cauchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題.

b.Cauchy列也稱(chēng)為Cauchy條件，它反映這樣的事實(shí)：原則上，收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或者，形象地說(shuō)，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠”在一起，所以，直觀(guān)上講，有兩個(gè)聚點(diǎn)的數(shù)列根本就不可能是Cauchy列.這就是我們本篇論文的主要思路.

c.Cauchy準(zhǔn)則把ε-N定義中an與a的之差換成an與am之差.其好處在于我們無(wú)須知道數(shù)列收斂到什么(事實(shí)上也不見(jiàn)得事先就能夠知道)，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其斂散性.

3.Cauchy收斂準(zhǔn)則的思想，可以用來(lái)理解Riemann的定積分的定義

眾所周知，在教學(xué)中，定積分的定義(Riemann的定積分的定義)理解的難度相當(dāng)大，它是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)當(dāng)中最難懂的定義.但是我們借鑒Cauchy收斂準(zhǔn)則的思想，可以大大地弱化理解的難度.

我們首先來(lái)回顧一下Riemann的定積分的定義(見(jiàn)下面的定義1、定義2和定義3)

注：①由于Δχi≤‖T‖，i=1，2，…，n，因此‖T‖可用來(lái)反映[a，b]被分割的細(xì)密程度.

注：顯然積分和既與分割T有關(guān)，又與所選取的點(diǎn)集{ξi}有關(guān)，有了上述兩個(gè)定義，我們便可簡(jiǎn)潔地寫(xiě)出定積分的定義.

(3)

其中f稱(chēng)為被積函數(shù)，χ為積分變量，[a,b]為積分區(qū)間，a，b分別稱(chēng)為這個(gè)定積分的下限和上限.

以上定義1～定義3是定積分抽象概念的完整敘述.下面是與定積分概念的有關(guān)的幾點(diǎn)補(bǔ)充注釋.

表達(dá)定積分的極限形式：

(4)

(5)

總之，理解這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)在于把[a,b]的分割T看作限制函數(shù)f的自變量取值范圍的量，類(lèi)似于一致收斂定義中的δ，而不要將它看作一個(gè)變量.這樣再來(lái)看黎曼的定積分的定義，就與一致連續(xù)的定義沒(méi)有本質(zhì)差異了.所以，定積分的定義也可以陳述為：

(3’)

其中f稱(chēng)為被積函數(shù)，x為積分變量，[a,b]為積分區(qū)間，a,b分別稱(chēng)為這個(gè)定積分的下限和上限.

這樣敘述Riemann的定積分的定義，理解的難度大大降低.