李 敏

（懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 懷化 418008）

0 引言

高等數(shù)學(xué)是理工經(jīng)管類各專業(yè)的一門核心公共基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力都起著非常重要的作用。高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo)在于讓學(xué)生掌握微積分的基本理論和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生抽象的思維能力、邏輯推理能力、實(shí)踐應(yīng)用能力和科研創(chuàng)新能力。

高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容抽象、理論性強(qiáng)、計(jì)算復(fù)雜，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不牢固的大學(xué)一年級(jí)本科生而言具有較大的學(xué)習(xí)難度。傳統(tǒng)授課模式下，教師在課堂上往往過(guò)于重視理論的講授、公式的推導(dǎo)和復(fù)雜計(jì)算過(guò)程的演示，忽視了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生的背景和數(shù)學(xué)技術(shù)的實(shí)踐應(yīng)用的介紹。因而導(dǎo)致學(xué)生難以理解所授內(nèi)容的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和應(yīng)用技巧，課堂教學(xué)對(duì)學(xué)生綜合實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)不突出，課程教學(xué)難以支撐專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)。傳統(tǒng)課堂教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式和教學(xué)方法手段有待改革。

本文介紹筆者在近幾年的教學(xué)實(shí)踐中構(gòu)建的基于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)和數(shù)學(xué)軟件Mathematica構(gòu)建的高等數(shù)學(xué)課程實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，新的教學(xué)模式落實(shí)了以學(xué)生為中心、以能力培養(yǎng)為核心、以問(wèn)題為主線的現(xiàn)代教學(xué)理念。本文將從構(gòu)建高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式的理論和技術(shù)基礎(chǔ)、教學(xué)組織方式、教學(xué)案例展示等方面展開。

1 基于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)和Mathematica軟件的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式

1.1 高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論基礎(chǔ)和技術(shù)支持

自2018年起，教育部高等教育司不斷推進(jìn)以學(xué)生為中心的高等教育改革，提出要在教學(xué)中突出“學(xué)生中心、持續(xù)改進(jìn)、成果導(dǎo)向”的基本原則，為我國(guó)全面提高本科教育質(zhì)量指明了方向。落實(shí)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，即要在教學(xué)活動(dòng)中突出學(xué)生的主體地位，學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)、自主探索新知識(shí)及其意義的過(guò)程中進(jìn)行自我構(gòu)建。在高等數(shù)學(xué)課程中開設(shè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，讓學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)，基于數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)體驗(yàn)解決問(wèn)題的過(guò)程，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，是順認(rèn)新時(shí)代高等教育發(fā)展的舉措。通過(guò)完成實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目?jī)?nèi)容，學(xué)生在主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的過(guò)程中提升綜合實(shí)踐能力，培養(yǎng)科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)。

筆者在近幾年的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐中選擇Mathematica軟件作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。Mathematica由美國(guó)Wolfram Research公司開發(fā)，它具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能、符號(hào)計(jì)算功能、圖形程序設(shè)計(jì)功能和動(dòng)態(tài)演示功能。筆者基于數(shù)學(xué)軟件Mathematica自主設(shè)計(jì)了一系列集科學(xué)性、趣味性、應(yīng)用性、啟發(fā)性于一體的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，這些實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系的重要補(bǔ)充。

1.2 高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法和教學(xué)模式

在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中，廣泛應(yīng)用任務(wù)驅(qū)動(dòng)法和小組討論法組織教學(xué)。任務(wù)驅(qū)動(dòng)法是一種以學(xué)生為中心，以完成任務(wù)為驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式，通過(guò)學(xué)生自主完成目標(biāo)任務(wù)和解決問(wèn)題來(lái)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。教師是教學(xué)活動(dòng)的主導(dǎo)者，在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，一般將實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目教學(xué)內(nèi)容分解成多個(gè)具體的任務(wù)，每個(gè)任務(wù)中都蘊(yùn)含了相應(yīng)的知識(shí)、能力和情感目標(biāo)。學(xué)生基于實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書和Mathematica軟件，通過(guò)小組合作和自主探索，不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，在完成任務(wù)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、探索新問(wèn)題。在整個(gè)教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，教師起到引導(dǎo)、幫助和組織協(xié)調(diào)的作用，學(xué)生真正成為教學(xué)活動(dòng)的主體。

筆者所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目均與高等數(shù)學(xué)課程中重要的知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，實(shí)驗(yàn)教學(xué)與理論教學(xué)相輔相成。為提高教學(xué)效率，授課教師在課前將實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書、實(shí)驗(yàn)程序、實(shí)驗(yàn)報(bào)告和Mathematica軟件教程發(fā)布在超星網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)上。學(xué)生基于教師發(fā)布的實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書、教學(xué)微視頻、實(shí)驗(yàn)程序等在線學(xué)習(xí)資源自主探索，學(xué)生以小組合作的方式完成實(shí)驗(yàn)任務(wù)，教師根據(jù)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中提出的問(wèn)題和實(shí)驗(yàn)報(bào)告完成情況進(jìn)行適時(shí)指導(dǎo)，并通過(guò)組內(nèi)自評(píng)、小組互評(píng)、集中講評(píng)完成成績(jī)?cè)u(píng)定。筆者基于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)和Mathematica軟件構(gòu)建了線上線下結(jié)合、課內(nèi)課外互補(bǔ)、理論教學(xué)與實(shí)踐探索并重的開放式、立體式高等數(shù)學(xué)課堂。所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目均以問(wèn)題為主線，學(xué)生在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，在實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)技術(shù)實(shí)踐應(yīng)用能力，在發(fā)現(xiàn)和探究新問(wèn)題的過(guò)程中提升科研創(chuàng)新能力。

2 教學(xué)案例介紹

函數(shù)是事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映，根據(jù)問(wèn)題提供的信息建立描述函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的微分方程，進(jìn)而可以求出函數(shù)的表達(dá)式。為介紹高等數(shù)學(xué)課程中齊次微分方程在解決實(shí)踐問(wèn)題中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生探索齊次微分方程的解法和微分方程的數(shù)值算法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和科研創(chuàng)新能力，我們基于鴨子過(guò)河問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目.本節(jié)，我們以該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目為教學(xué)案例介紹高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)組織模式和Mathematica軟件在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用。

問(wèn)題：設(shè)有兩岸平行、河面寬度為h的小河，河水流速為a。有一只鴨子從河堤的A點(diǎn)游向正對(duì)岸的O點(diǎn)，設(shè)鴨子始終朝點(diǎn)O游，且保持恒定的靜水速b（b>a），試運(yùn)行模擬鴨子過(guò)河過(guò)程的計(jì)算機(jī)程序，觀察動(dòng)態(tài)模擬過(guò)程，建立描述鴨子游動(dòng)軌跡的微分方程并探索其求解方法。

設(shè)置a=0.7，b=1，h=50，編寫了模擬鴨子過(guò)河動(dòng)態(tài)過(guò)程的Mathematica程序，代碼如下：

運(yùn)行程序即可生成模擬鴨子游動(dòng)的動(dòng)態(tài)演示界面，如圖1（a）所示，學(xué)生基于演示動(dòng)畫對(duì)鴨子過(guò)河的過(guò)程有了非常清晰、非常直觀的認(rèn)識(shí)，同時(shí)模擬鴨子過(guò)河過(guò)程的程序設(shè)計(jì)方法為學(xué)生探索鴨子過(guò)河軌跡方程的解法提供了重要支撐。為建立描述鴨子過(guò)河軌跡的微分方程，在圖1（b）所示的直角坐標(biāo)系中分析鴨子的速度向量。設(shè)t時(shí)刻鴨子位于P（x，y），引導(dǎo)學(xué)生逐步分析鴨子游動(dòng)速度表示方法。

圖1 鴨子過(guò)河問(wèn)題輔助圖

在實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中，應(yīng)用Mathematica的圖形程序設(shè)計(jì)功能，對(duì)比方程的解析解與仿真模擬所得鴨子過(guò)河軌跡，幫助學(xué)生掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件和微分方程分析和解決實(shí)踐問(wèn)題的基本方法。為拓展學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生的科研創(chuàng)新能力，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索微分方程的數(shù)值解法。設(shè)點(diǎn)列{P（x，y）}在方程解x=x（y）確定的曲線上，設(shè)y=y+d，由方程幾何意義，學(xué)生可以直觀地看到圖1（e）中的割線和切線有相近的斜率，因此：

令y=h，x=0，如果d足夠小，基于前面的微分方程，可以合理地構(gòu)造迭代公式：

這就是求解本實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中的微分方程數(shù)值解的歐拉公式。設(shè)置a=0.7，b=1，h=50，d=1.0，應(yīng)用該公式編程可得點(diǎn)列{P（x，y）}，圖1（f）對(duì)比了數(shù)值算法產(chǎn)生的點(diǎn)列與解析解描述的曲線的一致性，同時(shí)也檢驗(yàn)了算法的有效性。

學(xué)生通過(guò)完成上文介紹的鴨子渡河實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，學(xué)習(xí)了應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件模擬平面上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的基本方法，掌握了應(yīng)用微分方程求解實(shí)踐問(wèn)題的方法和步驟，鞏固了齊次微分方程的理論解法，同時(shí)探究了求微分方程數(shù)值解的歐拉法的基本原理，該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目能有效培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力、編程能力、科研創(chuàng)新能力。類似的教學(xué)案例和實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目還有很多，限于論文篇幅，在此不一一列舉。

3 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了筆者在近幾年的教學(xué)實(shí)踐中構(gòu)建的基于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)和Mathematica軟件的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式。在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)軟件都產(chǎn)生了濃厚興趣，學(xué)生學(xué)習(xí)參與度較傳統(tǒng)課堂大幅提高?；诠P者團(tuán)隊(duì)自主開發(fā)的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)資源，學(xué)生通過(guò)在Mathemaitca軟件上自主完成實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，親自動(dòng)手完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，增進(jìn)了對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生的背景及應(yīng)用領(lǐng)域的了解，有效提升了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，學(xué)生在探索完成一些具有較大挑戰(zhàn)度的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的過(guò)程中，很好地培養(yǎng)了其科研創(chuàng)新能力。