江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) (215000) 何小寅

離心率的范圍問題是高考的熱點(diǎn)題目之一，各種題型均有涉及，因涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，且處理問題的思路和方法比較靈活，而此類問題解題關(guān)鍵是如何確定不等關(guān)系式，也就是得到一個(gè)關(guān)于離心率的不等式，再通過解不等式求得離心率范圍.本文通過題例分析，介紹挖掘不等關(guān)系求橢圓離心率范圍六種思路，供讀者朋友參考.

一、抓住幾何圖形中的不等關(guān)系

根據(jù)平面圖形的關(guān)系，如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對(duì)稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系，然后將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用a,b,c進(jìn)行表示，進(jìn)而得到不等式，從而確定離心率的范圍.

圖1

例1 已知橢圓的中心在O,右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，若在l上存在點(diǎn)M，使線段OM的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F，求此橢圓的離心率的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：離心率的范圍實(shí)質(zhì)為一個(gè)不等式關(guān)系，如何構(gòu)建這種不等關(guān)系？可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建.利用題設(shè)和平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建不等式往往使問題簡(jiǎn)單化.

二、抓住題目中給出的不等信息

根據(jù)題目本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，存在點(diǎn)或直線使方程成立，Δ的范圍等，進(jìn)一步得到離心率的不等關(guān)系式，從而求解.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中相關(guān)元素的關(guān)系，抓住已知的不等式求范圍是成功解題的一個(gè)重要環(huán)節(jié).特別須注意對(duì)隱含條件挖掘，如本題中的b>c.

三、利用三角函數(shù)確定不等關(guān)系

在一些題目中會(huì)采用角度表示相關(guān)幾何圖形的變化，我們?nèi)绻軌蛴萌呛瘮?shù)表示有關(guān)的線段長(zhǎng)建立相關(guān)的等式或不等式，最后就可運(yùn)用三角函數(shù)值的范圍解決問題.

圖2

四、利用代數(shù)式的變形得到不等關(guān)系

利用曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，通過代數(shù)式的運(yùn)算確定表達(dá)式的變化范圍，達(dá)到求解離心率的范圍的目的.

五、利用動(dòng)點(diǎn)在橢圓上用定義得到不等關(guān)系

橢圓的定義是所有橢圓問題的根本所在，若條件中含有一動(dòng)點(diǎn)在相關(guān)曲線上，能想到運(yùn)用此曲線的定義解題是非常好的思路之一.

例5 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，若橢圓上恒存在一點(diǎn)P，使∠F1PF2=120°，求橢圓離心率的范圍.

點(diǎn)評(píng)：通過整體的把握題意，在余弦定理和基本不等式等知識(shí)的支持下，構(gòu)造出關(guān)于a、c的不等式.

六、利用橢圓的性質(zhì)得到不等關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：注意到P為橢圓上的一點(diǎn)是本題的關(guān)鍵條件，根據(jù)圓錐曲線的共同特征把|PF1|·|PF2|=2c2轉(zhuǎn)化成基本量a，c，e與x0的關(guān)系式，結(jié)合橢圓的范圍，即可得到e的不等式，從而就順利求出了離心率的范圍.

以上典型例題的分析探究，介紹了靈活運(yùn)用不等關(guān)系求橢圓離心率的范圍問題，有一些可能是老生常談，但作為系統(tǒng)方法的表述，這里不得不再一次強(qiáng)調(diào).在具體解題中，根據(jù)問題特點(diǎn)可能會(huì)有許多其它特殊的方法，限于篇幅，這里只能無情割愛了.