浙江省嘉善第二高級中學 (314100) 魯和平

距離是一個非常重要的幾何量.在高中數(shù)學里，學生共學過三個距離公式:兩點間的距離公式；平行直線之間的距離公式；點到直線的距離公式.如果我們把這三個距離公式，看作三個解題的思維模型，就可以按圖索驥，解題思路也隨之油然而生.

由于很多代數(shù)式的結構與兩點間的距離公式有著驚人的相似之處，我們就可以運用配方法，調整各個坐標的符號，配湊成兩點間的距離公式模型，再充分挖掘其幾何特征，即可求解.

圖1

評注：本題的關鍵在于將三點A,B,D調整為共線，這樣點A固定，|AC|亦固定，二元函數(shù)的最小值就確定了.

圖2

評注：本題結構式較為復雜，由于含有sinx,cosx自然就會聯(lián)想到單位圓.通過計算斜率，發(fā)現(xiàn)O,D,C三點共線，最后論證當點P與點D重合時，f(x)=f(θ)=|PA|+|PB|+|PC|才能取得最小值，對直覺思維的要求很高.

圖3

評注：對函數(shù)表達式結構進行一系列改造，轉化為拋物線上的動點M，到定點A及焦點F的距離之和，利用拋物線的幾何性質，問題就迎刃而解.

例4 求函數(shù)y=x4-12x3+68x2-192x+832的最小值.

評注：先對函數(shù)解析式通過因式分解、配方才能發(fā)現(xiàn)它與兩點間距離公式的異曲同工之處.將兩距離之積轉化為三角形面積問題，也是思維上的重大飛躍.用三角法求出sinA的最大值，也是本題的一大難點.

由于兩平行直線之間的距離公式，是由兩點間的距離公式導出的.所以很多結構式，貌似兩點間的距離公式的模型，實則可以轉化為兩平行直線之間的距離公式的模型求解.

評注：先構建模型，把動點設置在反比例函數(shù)圖像上，然后從解析幾何角度，求出與已知直線平行的切線，再利用兩平行直線之間的距離公式，得出函數(shù)的最小值，思路妥帖自然.

評注：化歸為點到直線的距離公式的模型，模仿上一題的思維模式，求出與已知直線平行的切線方程，再運用兩兩平行直線之間的距離公式求出最小值.

點到直線的距離公式，無論是公式推導方法，還是公式的用途，都是解析幾何里濃墨重彩的絢麗華章.對點到直線的距離公式的研發(fā)和挖掘，是一件非常具有價值的工作，而構造點到直線的距離公式的模型，求解最值問題，應成為數(shù)學解題的理想與追求.

圖4

評注：本題重點在于對函數(shù)解析式的重組和變形，從而構造出點到直線的距離公式的模型.由于動點在半圓周上運動，就可利用幾何方法破解.

例8 已知a,b∈R，關于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個實根，求a2+b2的最小值.

圖5

評注：本題關鍵在于變換思維視角，將方程視作一條直線.再從幾何角度，成功轉化為點到直線的距離公式模型，接著恒等變形，進一步化歸為基本不等式求出最小值.

由此可見，三個距離公式既是計算距離針對性很強的工具，又是我們因數(shù)構形的一種思維模型，只要我們開動腦筋，合理猜想，精心構造，就可收獲成功的喜悅.