福建省莆田第五中學(xué) (351100) 蒲朝云

1.探究一般性結(jié)論

證明：對(duì)于右焦點(diǎn)F，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)直線l的斜率存在且為0時(shí)，l1與l2平行，不合題意.當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為y=k(x-c)(k≠0),代入橢圓C的方程得b2x2+a2k2(x-c)2-a2b2=0,整理得(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+a2(c2k2-b2)=0.

結(jié)論1.1的逆命題成立嗎？經(jīng)過探究，答案是肯定的.可得如下內(nèi)容.

2.探究結(jié)論的逆命題

3.探究結(jié)論的拓廣

以上結(jié)論涉及的是橢圓的焦點(diǎn)，那么，對(duì)于“類焦點(diǎn)”F(m,0)(0<|m|

易知在上述結(jié)論的證明過程中，以“m”替換“c”，結(jié)論仍然成立，故將上述結(jié)論中的“焦點(diǎn)F”換為“點(diǎn)F(m,0)(0<|m|

由以上探究過程發(fā)現(xiàn)，對(duì)于橢圓C內(nèi)的任意一點(diǎn)(非原點(diǎn))F(m,n)，結(jié)論均成立，即對(duì)于橢圓C的任意弦(非直徑)AB，結(jié)論均成立，故我們可以將條件“過點(diǎn)F(m,n)”去掉.由此可將結(jié)論1.1、1.2分別拓廣為：

特別地，當(dāng)直線l過焦點(diǎn)為F時(shí)，結(jié)論1.3、1.4分別為結(jié)論1.1、1.2，即結(jié)論1.1、1.2分別為結(jié)論1.3、1.4的特例.

以上結(jié)論揭示了橢圓的弦中點(diǎn)與端點(diǎn)處的切線的一個(gè)內(nèi)在聯(lián)系，那么，對(duì)于雙曲線、拋物線，是否具有類似性質(zhì)？經(jīng)探究，可得如下結(jié)論.

4.探究雙曲線、拋物線的相應(yīng)結(jié)論

結(jié)論3.1 已知拋物線C：y2=2px(x2=2py)(p>0)，直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，分別過A，B作切線l1，l2,且l1與l2交于點(diǎn)P，則直線PM平行于x(y)軸.

結(jié)論3.2 已知拋物線C：y2=2px(x2=2py)(p>0)，直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)A作拋物線C的切線l1，l1與過點(diǎn)M且平行于x(y)軸的直線交于點(diǎn)P，則直線PB是拋物線C的切線.

下面只證明結(jié)論3.1和結(jié)論3.2中有關(guān)拋物線C：y2=2px(p>0)的情形.

對(duì)于拋物線C：x2=2py(p>0)，由結(jié)論3.1可得直線PM平行于y軸，即xP=xM,又由線段AB的中點(diǎn)為M，可得點(diǎn)A,P,B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.這就是2008年全國高考山東卷(理)第22題第(1)小題的結(jié)論：如圖1，設(shè)拋物線x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A,B.(1)求證：A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(2)、(3)略.

圖1

圖2

本文通過對(duì)一道聯(lián)考題的推廣、拓廣探究，得到了圓錐曲線的弦中點(diǎn)與弦端點(diǎn)處切線的內(nèi)在聯(lián)系，揭示了問題的本質(zhì).學(xué)生的問題意識(shí)、探究意識(shí)和探究能力、創(chuàng)新思維能力得到了培養(yǎng)和提升.由此發(fā)展學(xué)生的教學(xué)核心素養(yǎng).