福建省莆田第二中學(xué) (351131) 黃少瑩

解三角形作為高考的熱點內(nèi)容，通常以解三角形為載體，考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，并綜合三角函數(shù)、不等式、向量的相關(guān)知識點交匯命題，同時結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想在解題中進行應(yīng)用.但由于解三角形深刻的幾何背景，常?？梢越Y(jié)合圓等幾何性質(zhì)來進行解題.本文筆者主要以幾種常見的三角形模型來探討用幾何法求解一類最值(取值范圍)問題的策略.

類型一、已知一角及其對邊的三角形模型

圖1

評析：根據(jù)正弦定理及已知條件可以確定△ABC的外接圓，從而得到頂點B的軌跡，結(jié)合圓的性質(zhì)從而得到△ABC面積的最大值.

類型二、已知一角及其一鄰邊

圖2

評析：該變式通過改變邊角的對應(yīng)情況，根據(jù)銳角三角形來限制角和邊的關(guān)系，解法中以直角作為劃分銳角與鈍角的分界，從而得到△ABC為銳角三角形時頂點C的軌跡，由此算出邊a的取值范圍進而解決問題.

類型三、已知一邊及另兩邊比為定值

圖3

圖4

圖5

類型四、已知一邊及另兩邊的平方和為定值

變式3 在△ABC中，AB=2，AC2+BC2=8，則(1)△ABC面積的最大值為；(2)角C的取值范圍為.

圖6

圖7

圖8

圖9

評析：由于A，B兩點確定，頂點C到這兩點的距離平方和為定值，因此考慮由坐標(biāo)法探尋點C的軌跡發(fā)現(xiàn)其軌跡為圓(不含與x軸的交點)，從而求得第(1)問中三角形面積的最大值.事實上△ABC中若AB與AC2+BC2為定值，則結(jié)合余弦定理可得AB邊中線亦為定值，由此也可得到頂點C的軌跡.這就是著名的阿波羅尼奧斯定理：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍.而對于第(2)問中角C的取值范圍，則是利用圓的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)AB為圓的弦，點C,C1,C2分別在圓上、圓外、圓內(nèi)，則總有∠AC1B<∠ACB<∠AC2B.因此需作出經(jīng)過A，B兩點且與圓O相切的圓，則切點即為使得∠ACB最大的頂點C.因此解決三角形內(nèi)一些有關(guān)于角范圍的問題也可考慮該做法.

結(jié)束語對于解三角形，教學(xué)中雖然應(yīng)注重通性通法，注重正弦定理、余弦定理、面積公式、不等式、三角函數(shù)等知識的綜合應(yīng)用，但是對選擇題和填空題，教學(xué)中還是應(yīng)關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件判斷是否可以利用幾何法，巧妙快速地解題，這樣不僅能小題不大做，同時也培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).