江蘇省昆山市柏廬高級中學(xué) (215300) 汪 梅

數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，向量兼具代數(shù)與幾何的雙重身份，是解決數(shù)學(xué)問題的基本工具，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其它數(shù)學(xué)問題領(lǐng)域的基礎(chǔ)，在解決問題中發(fā)揮重要作用.在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，與向量有關(guān)的面積比問題頻頻出現(xiàn)，其中有一類與平面向量線性表示相關(guān)的面積比問題可以利用共線向量定理和建立平面直角坐標(biāo)系即坐標(biāo)法兩種方法解決，這類問題在數(shù)學(xué)試題中屬于中檔題或難題，也是學(xué)生易錯點甚至是盲點.筆者對該類問題進(jìn)行初步研究并總結(jié)整理成文，供大家在課堂教學(xué)中借鑒參考.

一、問題呈現(xiàn)

思路探尋：為解決面積比問題，需確定點P的位置.

思路1 直覺思維：直覺思維是指對一個問題未經(jīng)逐步分析 ，僅依據(jù)內(nèi)因的感知迅速地對問題答案作出判斷、猜想、設(shè)想.

圖1

評注：從系數(shù)的特征入手,從特殊的數(shù)據(jù)出發(fā)，找到了三點共線，從而問題得到解決,即關(guān)注系數(shù)的特征.

思路2 轉(zhuǎn)換視角： 我們知道笛卡爾建立的平面直角坐標(biāo)系架起了幾何與代數(shù)的橋梁，那么本題能不能用代數(shù)的方法解決這個幾何問題呢？我們知道解答填空題有更簡便的方法,可以將問題特殊化：將△ABC特殊化為等腰直角三角形，通過建立平面直角坐標(biāo)系即坐標(biāo)法解決問題.

圖2

評注：第一種角度是從系數(shù)的數(shù)據(jù)的特殊性出發(fā)，第二種角度是從特殊的三角形出發(fā)，體現(xiàn)了數(shù)與形的特殊性，可解決一類高考填空題，拓寬了我們的視野，靈活了我們的思路.

二、問題升華

思路1 構(gòu)造三點共線

圖3

評注：妙用“x+y=1”，構(gòu)造三點共線，水到渠成.

思路2 三角形特殊化畢竟是解決填空題的好方法，但存在題型的局限性，下面采取非特殊化建系解決

圖4

三、歸納、總結(jié)提升——問題的推廣與探究

圖5

圖6

四、變式訓(xùn)練、建構(gòu)內(nèi)化——問題的遷移與思路的加深

圖7

從不同的角度入手，下面提供兩種解法.

圖8

圖9

五、結(jié)語