福建省福清第三中學 (350315) 何 燈 何文昌

試題呈現(泉州市2022屆高三監(jiān)測(二))已知函數f(x)=ax-ex，?x∈(1,+∞)，f(x)

A. (-∞,1) B. (-∞,1]

C. (-∞,e) D. (-∞,e]

試題主要考查全稱命題的概念、運用導數研究不等式恒成立問題、 函數圖象等基礎知識；考查邏輯推理、運算求解等能力；考查轉化與化歸、數形結合、函數與方程、分類與整合等思想；體現應用性、綜合性與創(chuàng)新性，導向對發(fā)展邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)的關注.

命題組給出試題的三種求解方法，分別是指對同構法、端點效應法、參數分離法.下面展示前兩種求解方法(因參數分離法運算較為復雜，此處略去).

解法1：(指對同構法)因為alnx+a-ex=a(lnx+1)-elnx+1，所以?x∈(1,+∞)，f(x)f(x)在(1,+∞)恒成立.求導可證當x∈(1,+∞)時有1

①當a≤e時，u′(x)>u′(1)=e-a≥0，所以u(x)在(1,+∞)單調遞增，且u(1)=0，得u(x)>u(1)=0，所以φ(x)在(1,+∞)單調遞增，φ(x)>φ(1)=0.

綜上，a≤e，故選D.

評注：利用指對同構法求解本題，構思巧妙，給人以啟迪，但是學生如果沒有經過專項訓練，勢必難以想到利用同構求解本題，或難以實現從alnx+a-ex到a(lnx+1)-elnx+1的轉化.端點效應法是求解本題的一種行之有效的方法，通過逐段篩選，確定出參數的最終取值范圍，只是整個求解過程方向不是非常明確，學生容易在求解中誤入歧途，導致無辜丟分.

是否存在更彰顯試題本質的解法？

因為試題最終要解決的是函數φ(x)的符號判定問題，故可嘗試從直觀上加以分析，看能否從題設條件出發(fā)，預測出問題的求解思路.

基于上述直觀分析，筆者得到較參考答案更加簡潔的求解過程.

(2)當a>e時，由于φ″(1)=e-a<0，則存在x0>1，使得當x∈(1,x0)有φ″(x)<0，得此時φ′(x)在(1,x0)上單調遞減，注意到φ′(1)=0，則當x∈(1,x0)有φ′(x)<0.又φ(1)=0，則當x∈(0,x0)有φ(x)<0，與條件不符.

綜上，a≤e，故選D.

評注：上述求解過程與參考答案相比，更順暢自然，一氣呵成.這種順暢自然、一氣呵成來自于我們對題目意思所作的“直觀理解”、解題方向的“直觀判斷”、最終結果的“直觀預測”.