廣東省中山市濠頭中學(xué) (528437) 閆 偉

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要求注重培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)上的自主探究，鼓勵學(xué)生運用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決數(shù)學(xué)問題[1].為了讓學(xué)生真正參與到課堂教學(xué)中，經(jīng)歷主動獲取知識的過程，提升學(xué)生的直觀想象能力，筆者以一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中有關(guān)橢圓的定點問題為例，說明運用GeoGebra平臺開展實驗探究的教學(xué)價值.

1 問題的提出

圖1

問題4 若將橢圓換成雙曲線，上述結(jié)論是否還成立呢？若換成拋物線，結(jié)果又會如何？

問題5 若點F不在對稱軸上，即是橢圓內(nèi)其他點，根據(jù)上述條件作出直線BD，我們又會得出什么結(jié)論？

2 基于GeoGebra平臺的探究

大家對上面幾個問題都驚嘆不已，一個題目能衍生出這么多新問題，這些結(jié)論是否都成立呢？帶著諸多疑惑和興奮，師生開始了實驗探究之旅.問題2～問題5將橢圓和點F及對應(yīng)的直線一般化，因涉及的運算和直線BD的直線方程較復(fù)雜，判斷上述結(jié)論成立與否有有較大的難度，故筆者借助GeoGebra平臺進(jìn)行探究，通過實驗演示觀察該結(jié)論是否成立，同時為接下來的代數(shù)證明提供更加直觀的思路支持[3].

實驗1 (1) 在GeoGebra繪圖區(qū)中先設(shè)置兩個“滑動條”控制變量a,b，輸入x^2/a^2+y^2/b^2=1得到一個橢圓c.(2)輸入框中輸入焦點[c]，得到橢圓的右焦點F.(3)使用“滑動條”創(chuàng)設(shè)變量m,作出過點F的直線x=my+c，利用交點工具確定A,B.(4)在輸入框中輸入x=a^2/sqrt(a^2-b^2)得到直線l，作出直線l與x軸的交點H.(5)過A點作直線l的垂線交直線l為D點.(6)作出直線BD，借助GeoGebra中的“追蹤”功能顯示直線BD的軌跡，拖動“滑動條”的變量m發(fā)現(xiàn)直線BD恒過x軸上的一個定點(圖2).

圖2

實驗2 (1)按照上述實驗操作步驟修改第(2)、第(3)步：去掉右焦點，再通過“滑動條”設(shè)置一個變量t，作出點F(t,0)，并作出過點F的直線x=my+t.(2)第(4)步變?yōu)椋涸谳斎肟蛑休斎離=a^2/t得到直線l，作出直線l與x軸的交點H.(3)其他步驟不變.(4)先改變F點的位置，再拖動“滑動條”的變量m，發(fā)現(xiàn)直線BD仍恒過x軸上的一個定點(圖3)，而且定點的位置隨F點的變化而改變，且始終是直線l與x軸的交點H與F點的中點.當(dāng)改變橢圓的方程時，師生發(fā)現(xiàn)仍然有同樣的結(jié)論.

圖3

3 推廣結(jié)論 揭示本質(zhì)

根據(jù)以上實驗的探究結(jié)果，師生可以直觀認(rèn)識到上述問題的結(jié)論都能成立，于是可以將上述試題推廣到一般情形.

當(dāng)t=c時，F(xiàn)是右焦點，結(jié)論1是結(jié)論2的特例；若將橢圓換成雙曲線，利用GeoGebra軟件繼續(xù)探究，經(jīng)同樣的實驗操作，發(fā)現(xiàn)直線仍恒過定點，如圖4所示，從而有如下結(jié)論：

圖4

結(jié)論3的證明和結(jié)論2的過程相仿，此處不再贅述；將橢圓換成拋物線(圖5)，師生有類似的結(jié)論：

圖5

結(jié)論4 過拋物線C:y2=2px(p>0)對稱軸點F(t,0)(t>0)且斜率不為零的直線與拋物線交于A,B兩點，直線l:x=-t與x軸交于點H，過點A作AD⊥l，垂足為D，則直線BD恒過定點(0,0).

圖6

結(jié)論7 過拋物線C:y2=2px(p>0)內(nèi)側(cè)一點F(x0,y0)的直線與拋物線交于A,B兩點，過點F作直線l:p(x+x0)-yy0=0的垂線，垂足為H點，過點A作AD⊥l，垂足為D，則直線BD恒過線段FH的中點.

根據(jù)極點和極線的性質(zhì)，師生可以將結(jié)論5～結(jié)論7統(tǒng)一概括為：

結(jié)論8 已知圓錐曲線C和異于曲線中心且不在曲線C上的一點F，點F關(guān)于曲線C的極線為l，過點F的直線與曲線交于A,B兩點，分別過點F、點A作直線l的垂線，垂足分別為H、D兩點，則直線BD恒過線段FH的中點.

4 探后反思 引領(lǐng)教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出，“提升信息技術(shù)的使用能力，通過信息技術(shù)與課程的深度融合以及課程資源開發(fā)的多樣化實現(xiàn)”. 這就需要合理運用信息技術(shù)，以此提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.在教學(xué)過程中，把信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程進(jìn)行有效的整合，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)對象的多元表征(數(shù)字、表達(dá)式、圖形等)，而且會使抽象的數(shù)學(xué)知識變得形象直觀，有助于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象等核心素養(yǎng)[1].

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，信息技術(shù)的應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，如何使數(shù)學(xué)教學(xué)適應(yīng)時代的發(fā)展，已經(jīng)成為新時代教師所關(guān)注的焦點. 在本文的實驗探究中，運用GeoGebra技術(shù)制作橢圓模型，再通過控制變量不斷改變動直線和方程參數(shù)來演示圖形變化過程，讓學(xué)生觀察所求點的軌跡的運動情況，進(jìn)而將實驗結(jié)果拓展到曲線的統(tǒng)一結(jié)論，不僅為學(xué)生理解試題本質(zhì)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，而且為學(xué)生探索試題規(guī)律啟發(fā)思維，為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題提供直觀形象.GeoGebra平臺技術(shù)的可視化實驗讓學(xué)生有機(jī)會親身體驗探究問題背后的規(guī)律，還能“看透”深層次的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，發(fā)現(xiàn)和體會數(shù)學(xué)的美，充分調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性,有助于學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，亦有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、空間想象、探究學(xué)習(xí)、創(chuàng)新和實踐等能力, 從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升[2].