王寧

（北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京 100876）

0 引言

1982 年，波蘭學(xué)者PAWLAK[1]提出了粗糙集理論，為處理不確定性提供了一個(gè)有效的工具。為了完善粗糙集理論，YAO[2]提出了決策理論粗糙集的概念。基于決策理論粗糙集，YAO[2]進(jìn)一步提出了三支決策的理論。該理論將決策論域劃分為三個(gè)互不相交的域，并給出了對(duì)應(yīng)的解釋。即用接受，拒絕和不做承諾三個(gè)決策行動(dòng)來(lái)解釋粗糙集的三個(gè)域。目前，三支決策已經(jīng)成功應(yīng)用到很多領(lǐng)域并取得了很好的結(jié)果[3]。

目前，很多三支決策模型都是基于一型模糊集并取得了很好的結(jié)果，但隨著決策環(huán)境不斷地變復(fù)雜，一型模糊集已經(jīng)不能滿(mǎn)足決策的需求。二型模糊集作為一型模糊集的推廣[4-6]，能更好地描述不確定信息。故Xiao 等[7]提出了基于二型模糊集的三支決策?？紤]到?jīng)Q策者的行動(dòng)可能會(huì)受到不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的影響，Wang 等[8]提出了一個(gè)區(qū)間二型模糊環(huán)境下基于后悔理論的三支決策模型[7]。在實(shí)際的決策問(wèn)題中，往往涉及多個(gè)屬性而不是單一的屬性，所以多屬性三支決策受到了很多學(xué)者的關(guān)注。區(qū)間二型模糊集在表達(dá)和計(jì)算上更加的簡(jiǎn)潔，因此我們將多屬性三支決策推廣到區(qū)間二型模糊集的環(huán)境下，來(lái)提高模型處理不確定信息的能力。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 區(qū)間二型模糊集

定義1 假設(shè)U 是一個(gè)論域，?A 是一個(gè)二型模糊集可以表示為：

1.2 決策理論粗糙集和三支決策

由決策理論粗糙集的定義可知，一個(gè)模糊概念的上下近似可以通過(guò)條件概率和閾值來(lái)確定。在決策理論粗糙集中通常包含兩個(gè)狀態(tài)和三個(gè)行動(dòng)，分別記作Ω={C，┒C}，D={aP，aB，aN}。C 和┒C 分別表示對(duì)象屬于和不屬于C。aP表示對(duì)象x∈pos（C），即接受決策；aN表示對(duì)象x∈neg（C），即拒絕決策；aB表示對(duì)象x∈bn（C），即拒絕決策；aB表示對(duì)象x∈bn(C)，即延遲決策。每個(gè)行動(dòng)的損失函數(shù)如表1 所示，其中λPP，λBP，λNP分別表示對(duì)象x 屬于狀態(tài)C 時(shí)執(zhí)行行動(dòng)aP，aB，aN所產(chǎn)生的損失，λPN，λBN，λNN分別表示對(duì)象x 不屬于狀態(tài)C 時(shí)執(zhí)行行動(dòng)aP，aB，aN所產(chǎn)生的損失。假設(shè)P（C│[x]）是對(duì)象屬于[x]的情況下屬于C 的概率，然后通過(guò)一對(duì)閾值0≤β≤α≤1，可以得到如下的決策規(guī)則：

表1 損失函數(shù)的矩陣

接受：pos（C）={xi∈U│P（C│[x]）≥α}，

不做承諾：bn（C）={xi∈U│β＜P（C│[x]）＜α}，

拒絕：neg（C）={xi∈U│P（C│[x]）≤β}。

根據(jù)貝葉斯決策理論和最小風(fēng)險(xiǎn)原則，我們可以用式（4）至式（6）計(jì)算出閾值參數(shù)α，β，γ，其中0≤β≤γ≤α≤1：

2 基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策

當(dāng)決策環(huán)境更加復(fù)雜時(shí)，使用一型模糊集有時(shí)不能很好的表達(dá)決策對(duì)象的評(píng)價(jià)信息。區(qū)間二型模糊集作為一型模糊集的拓展，在表達(dá)不確定信息上優(yōu)于一型模糊集，所以我們提出了一個(gè)區(qū)間二型模糊環(huán)境下的多屬性三支決策模型。

雖然區(qū)間二型模糊集在表達(dá)不確定信息上比一型模糊集更有優(yōu)勢(shì)，但在表達(dá)形式和計(jì)算上會(huì)更加的復(fù)雜。當(dāng)?shù)玫竭@些模糊評(píng)價(jià)信息時(shí)，為了便于比較和計(jì)算，我們首先要對(duì)這些區(qū)間二型模糊信息進(jìn)行處理，將區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值的形式并得到一個(gè)數(shù)值的信息表。因此我們需要提出一個(gè)函數(shù)將區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)換為數(shù)值。

通過(guò)定義2 提出的函數(shù)，我們可以將所有的區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值，下文將用一個(gè)案例來(lái)說(shuō)明該定義的計(jì)算過(guò)程。

一所學(xué)校需要對(duì)一個(gè)學(xué)生進(jìn)行評(píng)估，假設(shè)V={1，2，…，10}，班主任對(duì)該學(xué)生的評(píng)價(jià)為?A =[（5，7，8，9；1，0.9），（6，7，7，8；0.8，0.8）]，其中?A 是V 上的一個(gè)區(qū)間二型模糊集。 假設(shè)V={1，2，…，10}，?A =[（5，7，8，9；1，0.9），（6，7，7，8；0.8，0.8）] 是V 上的一個(gè)區(qū)間二型模糊集。利用函數(shù)T 我們可以計(jì)算出：

相當(dāng)于班主任對(duì)這個(gè)學(xué)生的評(píng)價(jià)可以近似為0.635。

處理完區(qū)間二型模糊信息，則需要考慮三支決策的兩個(gè)關(guān)鍵因素：條件概率和閾值。首先，考慮到不同的屬性的重要程度可能是不同的，如果將各個(gè)屬性的權(quán)重設(shè)為一樣的，那么得到的決策結(jié)果可能會(huì)有偏差，因此我們將權(quán)重加入條件概率的公式之中，并給出了加權(quán)的條件概率的定義。

利用條件概率的公式計(jì)算出條件概率后，則需要考慮三支決策的另一個(gè)關(guān)鍵因素：閾值參數(shù)。閾值參數(shù)可以通過(guò)貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)決策理論和最小風(fēng)險(xiǎn)原則計(jì)算得到，為了減小模型的計(jì)算量，本文的閾值參數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接給出的。給定一對(duì)閾值α 和β（0≤β≤α≤1），如下的三支決策規(guī)則被給出：

接受：pos（C）={xi∈U│P（C│xi）≥α}，

不做承諾：bn（C）={xi∈U│β＜P（C│xi）＜α}，

拒絕：neg（C）={xi∈U│P（C│xi）≤β}。

通過(guò)以上討論，我們建立了一個(gè)基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策模型。

3 算例分析

本節(jié)中筆者將通過(guò)一個(gè)數(shù)值的例子來(lái)驗(yàn)證所提出的基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策的有效性和合理性。

假設(shè)一個(gè)科技公司需要招聘后端開(kāi)發(fā)工程師，一共有3 名求職者U={x1，x2，x3}通過(guò)了筆試的篩選進(jìn)入了面試的流程，面試官將通過(guò)專(zhuān)業(yè)知識(shí)、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和綜合分析能力三個(gè)方面對(duì)應(yīng)聘者進(jìn)行評(píng)估。這三個(gè)屬性的權(quán)重分別為（0.3，0.3，0.4），基本集V={1，2，…，10}，狀態(tài)集Ω={C，┒C}，其中狀態(tài)C 表示通過(guò)面試。得到的信息如表2 所示。

表2 一個(gè)關(guān)于面試的區(qū)間二型模糊信息表

首先，我們利用定義2 中的函數(shù)T 對(duì)得到的區(qū)間二型模糊信息進(jìn)行處理，將所有的區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值，得到的信息如表3 所示。

表3 一個(gè)關(guān)于面試的數(shù)值信息

然后，通過(guò)定義3 給出的條件概率的計(jì)算公式，得到各個(gè)求職者的條件概率如下：

P（C│x1）=0.601，

P（C│x2）=0.747，

P（C│x3）=0.450。

根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們?cè)O(shè)閾值α=0.7 和β=0.4，根據(jù)推導(dǎo)出的三支決策規(guī)則可以得到：

接受：pos（C）={xi∈U│P（C│xi）≥0.7}={x2}，

不做承諾：bn（C）={xi∈U│0.4＜P（C│xi）＜0.7}={x1，x3}，

拒絕：neg（C）={xi∈U│P（C│xi）≤0.4}=?。

通過(guò)上面的決策結(jié)果，我們可以知道求職者x2通過(guò)了面試，得到了該科技公司的工作；針對(duì)求職者x1和x3，該科技公司沒(méi)有給出正面的評(píng)價(jià)，需要增加面試的次數(shù)再進(jìn)一步考慮是否錄用，決策的結(jié)果如圖1 所示。

圖1 決策結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

本文給出了一個(gè)基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策模型。與基于一型模糊集的三支決策模型相比，該模型在表達(dá)模糊信息上更有優(yōu)勢(shì)。且能夠處理更多的模糊信息和決策問(wèn)題。條件概率和閾值是三支決策的兩個(gè)關(guān)鍵因素，本文給出了條件概率的計(jì)算公式，但閾值是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接給定的。為了完善我們的模型，在未來(lái)將研究區(qū)間二型模糊環(huán)境下閾值的確定方法。另外，隨著決策環(huán)境不斷地變復(fù)雜，決策過(guò)程中往往涉及多個(gè)決策者，所以我們還將研究基于區(qū)間二型模糊集的多屬性群三支決策。