張廣為，王子雨，李詠琪

（北京建筑大學，北京 102627）

500 m口徑球面射電望遠鏡（Five－h(huán)undredmeter Aperture Spherical radio Telescope，F(xiàn)AST） 是我國國家“十一五”重大科技基礎設施建設項目。主動反射面作為FAST 的創(chuàng)新點，其特點是通過控制基準球面上主索節(jié)點的伸縮，在觀測方向形成300 m口徑瞬時拋物面。隨著所觀測天體位置的變化而將反射面實時調整至理想拋物面的位置，使得觀測天體發(fā)出的平行電磁波經(jīng)過主動反射面反射后匯聚到饋源艙平面上，即實現(xiàn)了對觀測天體的實時跟蹤及接收[1]。因此，通過數(shù)學模型進行理想拋物面形狀的設計是使FAST 能夠獲得最佳接收效果的必要保證。

關于FAST 拋物面的變形策略，前人的研究比較少。李明輝等[2]考慮節(jié)點總位移量、拋物面邊緣與球面是否平滑過渡等原則，設計出3 種變形策略，但未綜合考量每種理想拋物面的反射效率。

在前人研究的基礎上，本文首先建立了饋源艙的接收比模型，衡量了不同拋物面的接收效果。隨后，建立了雙目標優(yōu)化模型，以“最佳的接收效比”和“主索節(jié)點總位移量最小”為優(yōu)化目標，得到了理想拋物面方程；進而考慮了隨著天體的位移，理想拋物面方程的變化情況，量化分析了理想拋物面的形狀。

1 問題分析

在2021 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽賽題A題“‘FAST’主動反射面的形狀調節(jié)”[3]中，提出了下面的問題：在反射面板調節(jié)約束下，確定一個理想拋物面，然后通過調節(jié)主索節(jié)點的徑向伸縮量，將反射面調節(jié)為理想拋物面。通過建立數(shù)學模型，對理想拋物面形狀進行量化分析。為了便于分析，本文簡化了物理模型，忽略了自重和風載荷引起的反射面形狀變化，同時忽略了其中一個主索節(jié)點長度變化對周圍主索節(jié)點變化精度的影響[2]。

2 饋源艙的接收比模型

依據(jù)旋轉拋物面在旋轉過程中的對稱性，建立模型時將三維旋轉拋物面簡化到二維拋物線[2]；并且基于黎曼積分的思想，將線段離散化，以一個極小值為步長在線段上取點，將線段設想為一系列離散點的組合。通過分析線段上所有離散點的反射情況來判斷一條線段的反射效果。

2.1 拋物線上任意點T 的反射過程分析

依據(jù)模型假設，電磁波信號可認為是直線傳播，且對于無窮遠的觀測天體所發(fā)射的電磁波信號可近似為許多束平行光線[4-5]。依據(jù)上述對模型的簡化，對于任一個以z 軸為對稱軸同時焦點在z 軸上的拋物面，其方程為

式中：P 為焦點到對應準線的距離；C 為待求常數(shù)。

對于其上的一點T0（x0，y0，z0），其所在點的切平面法向量Γ＝（2x0，2y0，－2P），對應的入射電磁波l1方程為

法線l2方程為

依據(jù)光的反射定律[2]，可知反射電磁波l3與入射電磁波l1在其所處平面上關于法線l2對稱。在三維空間里，若入射電磁波l1關于法線l2對稱，則反射電磁波l3[6]可表示為

式中：X＝2x0；Y＝2y0；Z＝－2P。

拋物線上任意點的反射過程見圖1。由圖1 可知，已知饋源艙平面可簡化為在z＝－160．2 的平面上半徑為1 m 的圓[3]，如果要判斷反射電磁波l3能否反射到饋源艙平面上（即饋源艙平面是否可以接收到反射電磁波l3），就需要在求得反射電磁波l3與饋源艙平面z＝－160．2 的交點T1（x1，y1，－160．2）后，比較x21＋y21與1 的大小。若x21＋y21≤1，則饋源艙平面可以接收到反射電磁波l3；若，則饋源艙平面接收不到反射電磁波l3。

圖1 拋物線上任意點的反射過程

2.2 計算接收比

在2．1 節(jié)中分析了理想拋物面上一個離散點的反射情況，由于旋轉拋物面的對稱性，因此考慮取當y＝0 時的二維理想拋物線，通過取極小的步長將理想拋物線離散為許多點，就可以定義理想拋物線的接收比η 為

式中：N為成功反射到饋源艙的離散點總數(shù)；L′為取的離散步長，可取0．001；L為理想拋物線總長。

3 建立雙目標優(yōu)化模型確定理想拋物面方程

FAST 反射面實現(xiàn)對觀測天體的跟蹤過程中，為避免局部主索的松弛或因過度拉緊使應力超過設計值，主索節(jié)點運動位移量應在合理范圍內越小越好[1]，同時又要保證變形后的拋物面形狀有著良好的接收效率。

因此，本文以“主索節(jié)點總位移量最小”和“最佳接收比”兩個因素建立優(yōu)化目標。同時考慮單個主索節(jié)點位移受束縛、節(jié)點間位移變化的互相影響等作為約束條件，建立雙目標優(yōu)化模型。

3.1 雙目標優(yōu)化模型

由實際情況可知[3]，主索節(jié)點位移量有以下3 類約束條件。

1） 滿足焦點P 以及對稱軸SO 的約束，且過拋物線的頂點坐標。其中，焦點位置為（0，－160．2），對稱軸SO 為x＝0，拋物線的頂點坐標為（0，－（R＋h））。由此可得約束條件方程組為

式中：坐標系為xOz；P 為焦點到對應準線的距離；C 為待求常數(shù)；F 為焦距；h 為拋物面頂點和基準球面頂點的距離；R為基準球面半徑；焦徑比F/R已知。拋物線方程可整理為

式（7）中僅h 未知，故旋轉拋物線方程僅與拋物面頂點和基準球面頂點的相對位置h 有關。第102頁圖2 為理想拋物面的調節(jié)示意圖。

圖2 理想拋物面的調節(jié)示意圖

2） 由于促動器頂端伸縮幅度限制與拋物面的位置關系不直接[3]，描述較為復雜，可以用以下約束條件近似代替：拋物面與基準球面同一徑向上兩點之間的距離應小于0．6 m，即主索節(jié)點頂點伸縮幅度≤0．6 m，其表達式為

式中：Oi（xi，zi）與Oi′（xi′，zi′）分別為第i 個主索節(jié)點變換前與變換后的坐標。

3） 主索節(jié)點調節(jié)后，相鄰節(jié)點間的距離會發(fā)生微小變化，變化幅度≤0．007%，已知一個主索節(jié)點的最大位移量為0．6 m，其對周圍主索節(jié)點的影響僅在微米級別，即0．6 m×106×0．007%＝42 μm，故可忽略不計。

考慮完上述約束條件，接下來以“主索節(jié)點總位移量最小”為優(yōu)化目標建立函數(shù)。通過計算拋物面與球面間的面積來代替主索節(jié)點總位移量，運用積分在300 m 口徑內求得曲面面積的表達式為

3.2 模型求解

雙目標優(yōu)化模型的目標函數(shù)可匯總為

考慮到算法的精度，本文采用遍歷搜索算法求解。最優(yōu)參數(shù)的求解結果為h=0.39 m，η=0.663 3%；理想拋物面方程為x2+y2-560.76z-1.684 5×105=0。

4 觀測天體S 在不同方位時的變形策略

圖3 為坐標系轉換示意圖。在3.2 節(jié)中求解得到的理想拋物面方程是觀測天體S 在基準球面正上方時的情況；當觀測天體S 變換方位時，其與基準球面球心O 的連線與x 軸的夾角為α，且與xOy平面的夾角為β，這就需要轉換到新的坐標系，使觀測天體S 依舊位于基準球面正上方，實現(xiàn)觀測天體S在運動時，基準球面也能依據(jù)不同的理想拋物面形狀做出及時調整。

圖3 坐標系轉換示意圖

4.1 坐標系轉換的旋轉矩陣

在描述空間的一點經(jīng)過旋轉變化后所處的位置時，可以通過研究旋轉矩陣來實現(xiàn)坐標系轉換[7]，如觀測天體S 處于α=36.795°，β=78.169°的方位時。

首先，將坐標系繞著z 軸進行旋轉，通過順時針旋轉（2π-α），來修正x 軸的旋轉變化，并得到繞著z 軸變換的旋轉矩陣Rz（2π-α）為

接著，把坐標系再繞著y 軸進行旋轉，逆時針旋轉（π/2－β），得到旋轉矩陣Ry（π/2－β）為

整合式（11） 和式（12），就可以得到觀測天體S 變換到基準球面正上方時的整體旋轉矩陣R 為

對于原先坐標系上的任意一點（x，y，z）都可以轉換到觀測天體S 處于基準球面正上方時的坐標（x′，y′，z′）。轉換公式的具體應用示例為

如式（14） 所示，（0，0，-300.39）是觀測天體S處于基準球面正上方時，即3.2 節(jié)中α=0°，β=0°的方位時的頂點坐標，（49.318 4，36.888 2，-294.008 7）為觀測天體S 在α=36.795°，β=78.169°的方位時的頂點坐標。

4.2 理想拋物面方程

經(jīng)過旋轉矩陣變換，可將原先所有主索節(jié)點坐標（x，y，z）都更新到觀測天體S 處于基準球面正上方時的新坐標（x′，y′，z′），繼續(xù)沿用3．2 節(jié)所求解得到的理想拋物面方程，即可通過主索節(jié)點的徑向調節(jié)，使基準球面更加貼近理想拋物面，實現(xiàn)對觀測天體S 的動態(tài)觀測。

5 結論

針對理想拋物面形狀的設計問題，本文以實際問題為引，通過“最佳的接收比”和“主索節(jié)點總位移量最小”兩個優(yōu)化目標來建立數(shù)學模型，采用遍歷搜索算法求解，在保證算法的精度和速度的同時，求解出了理想拋物面在三維坐標系下的數(shù)學方程，提供了有效的變形策略。進一步，為求解觀測天體在不同方位時的形狀，通過旋轉矩陣求得當觀測天體處于基準球面正上方時，需要調節(jié)的新主索節(jié)點的坐標數(shù)據(jù)，可沿用本文所求解得到的理想拋物面方程，模型的推廣性較好，有助于FAST 實現(xiàn)對觀測天體的定向跟蹤。