姜 曼

(西安交通工程學院 數學教研室，陜西 西安 710000)

文獻[1]給出了一種新的(2,2,0)代數(S，*,Δ，0)，并稱其為N(2,2,0)代數. 文獻[2]給出了N(2,2,0)代數子代數的概念，對于N(2,2,0)代數結構的研究，更多結論可參見文獻[3-6]. 自1965年Zadeh提出了模糊集[7]后，模糊集理論被廣泛應用于各個領域. 經過不斷的發(fā)展和研究，模糊集在理論和應用兩方面取得了很大的進展. 文獻[8-10]將N(2,2,0)代數與模糊集相結合，研究了N(2,2,0)代數上不同類型的模糊子代數及相關性質. 2010年，Torra提出了猶豫模糊集[2]概念，猶豫模糊數比傳統(tǒng)模糊元更全面，在多個數學模型中都有應用. 關于猶豫模糊集和代數系統(tǒng)的研究，可參見文獻[11-14].論文把猶豫模糊集與N(2,2,0)相結合，提出了N(2,2,0)代數的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數的概念，得到了若干個等價刻畫，討論了同態(tài)映射下N(2,2,0)代數的反猶豫模糊子代數的像與原像之間的關系，給出了猶豫模糊集下的反直積定義，研究了猶豫模糊反直積的相關性質，相關結果進一步完善了模糊代數和N(2,2,0)代數的理論研究.

1 預備知識

定義1[1]設S是有0元素的集合. 在S中定義兩個二元運算*和Δ，若它們滿足下列公理，即對?x,y,z∈S，都有：

(1)x*(y*z)=z*(x*y)；

(2) (xΔy)*z=y*(x*z)；

(3) 0*x=x.

則稱(S，*,Δ，0)是一個N(2,2,0)代數，簡稱S是一個N(2,2,0)代數.

論文約定S表示N(2,2,0)代數(S，*,Δ，0).

定義2[2]設Q是S的子集，若對?x,y,z∈S，都有：①0∈Q；②由?x,y∈S，可推出x*y∈Q,yΔx∈Q. 則稱Q是S上的一個子代數.

引理[2]Q是S上的一個子代數當且僅當0∈Q且?x,y∈S，x*y∈Q.

定義3[7]設A∈F(K)是一個非空經典集合，一個A∈F(K)上的猶豫模糊集A定義如下

A:{(x,hA(x))|x∈X}，

其中：hA(x)是由區(qū)間[0,1]上若干個不同值構成的集合,表示A∈F(K)中的元素x屬于集合A的若干種可能隸屬度.

設A為A∈F(K)中的猶豫模糊集，P([0,1])為區(qū)間[0,1]的冪集. 稱集合

K(A,γ):={x∈K|γ?hA(x)}

為A的猶豫水平集,其中：γ∈P([0,1]).

定義4[7]設X是一個非空經典集合，F和G是X上的猶豫模糊集，且具有如下形式

F:{(x,hF(x))|x∈X}，G:{(x,hG(x))|x∈X}.

規(guī)定如下運算：

(1) 對于F，它的補元Fc定義為

補運算滿足對合律，即(Fc)c=F.

(2)F和G的并F∪G定義為

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF(x),hG(x))}.

(3)F和G的交F∩G定義為

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF(x),hG(x))}.

定義5[14](反擴張原理) 設X,Y是兩個集合，f：X→Y是一個映射.A和B是兩個分別定義在X,Y的猶豫模糊子集.x∈X,?y∈Y，定義Y的猶豫模糊子集f(A)為

?x∈X，定義X的猶豫模糊子集f-1(y)為hf-1(B)(x)=hB(f(x)).

2 N(2,2,0)代數的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數

定義6設A是S上的猶豫模糊子集，若?x,y∈S,0≤λ<μ≤1,有：

(1)hA(0)∩μ?hA(x)∪λ；

(2)hA(x*y)∩μ?hA(x)∪hA(y)∪λ；

(3)hA(xΔy)∩μ?hA(x)∪hA(y)∪λ.

則稱A是S的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.

注意到N(2,2,0)代數滿足x*y=yΔx，從而定義6中的(2)和(3)等價. 故S上的猶豫模糊集A是(λ,μ)-反猶豫模糊子代數的充要條件是(1)和(2)成立，或者(1)和(3)成立.

定理1給出了N(2,2,0)代數的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數與子代數的關系.

定理1設A是S的一個非空猶豫模糊子集，則A是S的(λ,μ)反猶豫模糊子代數，如果?ε∈[λ,μ)，L(A;ε)：={hA(x)?ε|x∈L}(≠?)，則L(A;ε)是S的子代數.

證明?ε∈[λ,μ)，因為L(A;ε)：={hA(x)?ε|x∈S}非空，所以存在x0∈L(A;ε)，從而有hA(x0)?ε. 因為A是S的(λ,μ)反猶豫模糊子代數，從而?x∈S,有hA(0)∩μ?hA(x)∪λ，因此有hA(0)∩μ?hA(x0)∪λ?ε∪λ=ε，又由于λ≤ε<μ，所以hA(0)?ε，即0∈L(A;ε). 另外，如果x∈L(A;ε)，y∈L(A;ε)，則hA(x)?ε，hA(y)?ε，且hA(x*y)∩μ?hA(x)∪hA(x)∪λ?ε∪ε∪λ=ε，這表明hA(x*y)?ε，即x*y∈L(A;ε). 故L(A;ε)是S的子代數.

定理2設A是S的一個非空猶豫模糊子集，如果?ε∈[λ,μ)，L(A;ε)：={hA(x)?ε|x∈S}非空，且L(A;ε)是S的子代數，則A是S的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.

證明假定存在x0∈S，使得hA(0)∩μ?hA(x0)∪λ，取ε=hA(x0)∪λ，則hA(x0)?ε，并且hA(0)?ε，λ≤ε<μ. 因為L(A;ε)：={hA(x)?ε|x∈S}非空，且L(A;ε)是S的子代數，從而0∈L(A;ε)，即hA(0)?ε與hA(0)?ε矛盾，因此對?x∈S,有hA(0)∩μ?hA(x)∪λ.

假定x0,y0∈S，有hA(x0*y0)∩μ?hA(x0)∪hA(y0)∪λ成立，令ε=hA(x0)∪hA(y0)∪λ，則有hA(x0)?ε，hA(y0)?ε，hA(x0*y0)∩μ?ε，因此hA(x0*y0)?ε. 由于x0,y0∈L(A;ε),且L(A;ε)是S的子代數，所以x0*y0∈L(A;ε), 這與hA(x0*y0)?ε矛盾. 因此對?x,y∈S，有hA(x*y)∩μ?hA(x)∪hA(y)∪λ.

所以，根據定義6 可知A是S的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.

定理4設A和B都是S的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數，則A∪B也是S的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.

證明因為A和B都是S的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數，所以?x,y∈S，0≤λ<μ≤1，那么有hA(0)∩μ?hA(x)∪λ，hA(x*y)∩μ?hA(x)∪hA(y)∪λ；hB(0)∩μ?hB(x)∪λ,hB(x*y)∩μ?hB(x)∪hB(y)∪λ.

于是hA∪B(x)∪λ=hA(x)∪hB(x)∪λ=(hA(x)∪λ)∪(hB(x)∪λ)?(hA(0)∩μ)∪(hB(0)∩μ)=(hA(0)∪hB(0))∩μ=hA∪B(0)∩μ，hA∪B(x*y)∩μ=hA(x*y)∪hB(x*y)∩μ=(hA(x*y)∩μ)∪(hB(x*y)∩μ)?(hA(x)∪hA(y)∪λ)∪(hB(x)∪hB(y)∪λ)=(hA(x)∪hB(x))∪(hA(y)∪hB(y))∪λ=hA∪B(x)∪hA∪B(y)∪λ.

因此A∪B也是S的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.

定理5設S1和S1是兩個N(2,2,0)代數，f:S1→S2為同態(tài)映射且f(0)=0.B是S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數,則f-1(B)是S1的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.

證明?x1,y1∈S1，因為f:S1→S2為同態(tài)映射，且B是S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數,所以hf-1(B)(x1*y1)∩μ=hB(f(x1*y2))∩μ=hB(f(x1)*f(y1))∩μ?hB(f(x1))∪hB(f(y1))∪λ=hf-1(B)(x1)∪hf-1(B)(y1)∪λ.

又因為x∈S1，B是S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數，因此有hf-1(B)(0)∩μ=hB(f(0))∩μ?hB(f(x))∪λ=hf-1(B)(x)∪λ,故f-1(B)是S1的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.

定理6設S1和S1是兩個N(2,2,0)代數，f:S1→S2為同態(tài)映射且f(0)=0,A是S1的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數，則f(A)是S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.

定義7設A,B分別是非空集合S1,S2的猶豫模糊子集，對?(x,y)∈S1×S2，定義映射A?B:S1×S2→P([0,1])，其中hA?B(x,y)=hA(x)∪hB(y)，則A?B是S1×S2的猶豫模糊子集，并稱A?B為A和B的反直積.

定理7如果A和B分別是N(2,2,0)代數S1和S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數，則A?B也是N(2,2,0)代數S1×S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數. 其中規(guī)定?(x1,y1)∈S1×S2，則(x1,y1)*(x2,y2)=(x1*x2,y1*y2)，(x1,y1)Δ(x2,y2)=(x1Δx2,y1Δy2).

證明?(x,y)∈S1×S2，因為A和B分別是S1和S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數，有hA?B(0,0)∩μ=(hA(0)∪hB(0))∩μ=(hA(0)∩μ)∪(hB(0)∩μ)?(hA(x)∪λ)∪(hB(y)∪λ)=(hA(x)∪hB(y))∪λ=hA?B(x,y)∪λ.

對?(x1,y1)，(x2,y2)∈S1×S2，由于A和B分別是N(2,2,0)代數S1和S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數，因此有hA(x1*x2)∩μ?hA(x1)∪hA(x2)∪λ，hB(y1*y2)∩μ?hB(y1)∪hB(y2)∪λ，hA?B((x1,y1)*(x2,y2))∩μ=hA?B(x1*x2,y1*y2)∩μ=(hA(x1*x2)∪hB(y1*y2))∩μ=(hA(x1*x2)∩μ)∪(hB(y1*y2)∩μ)?(hA(x1)∪hA(x2)∪λ)∪(hB(y1)∪hB(y2)∪λ)=hA?B(x1,y1)∪hA?B(x2,y2)∪λ.

所以A?B是S1×S2的(λ,μ)-反猶豫模糊子代數.