樊少華,李小華,楊 伊

(遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051)

四旋翼飛行器是一個(gè)典型的非線性、強(qiáng)耦合、多變量的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).四旋翼飛行器的控制方法有以下4類: ①針對(duì)線性模型的控制，包括PID控制和LQR控制[1-3]; ②針對(duì)非線性模型的控制, 包括backstepping控制[4-5]、滑?？刂芠6-8]及H∞控制[9]; ③智能控制;④其他控制[10-12]. 設(shè)計(jì)backstepping控制器時(shí),系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型必須具有嚴(yán)格的反饋形式[13]. 為了滿足這一要求, 文獻(xiàn)[4]忽略了數(shù)學(xué)模型中子系統(tǒng)間的耦合項(xiàng), 但這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的控制器不能保證系統(tǒng)的控制精度. 文獻(xiàn)[5]雖然考慮了四旋翼飛行器姿態(tài)子系統(tǒng)間的耦合項(xiàng), 但在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中這些耦合項(xiàng)被直接放在控制器模型中,并沒(méi)有對(duì)這些耦合項(xiàng)進(jìn)行處理.H∞控制可抑制外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，H∞控制要求系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的, 但很多非線性系統(tǒng)很難達(dá)到漸近穩(wěn)定, 通常只能達(dá)到有界穩(wěn)定.文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了一種有界H∞控制器, 該控制器既能保證系統(tǒng)有界穩(wěn)定, 又能抑制外界干擾對(duì)系統(tǒng)的影響.為了提高四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制精度, 該文擬采用考慮各子系統(tǒng)間的耦合項(xiàng)、空氣阻力及外界干擾的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)四旋翼飛行器系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有界H∞跟蹤控制器.

1 系統(tǒng)描述和預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)描述

(1)

該文設(shè)計(jì)四旋翼飛行器系統(tǒng)(1)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有界H∞跟蹤控制器, 使四旋翼飛行器系統(tǒng)能跟蹤參考軌跡, 對(duì)外界干擾具有有界H∞抑制性能，同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的.

1.2 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)1參考軌跡xid(t)(i=1,3,5,7,9,11)及其2階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)且有界的.

利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(radial basis function neural network，簡(jiǎn)稱RBFNN)逼近連續(xù)非線性函數(shù)f(Z)[15], 其表達(dá)式為

f(Z)=W*TS(Z)+δ(Z),?Z∈Ω?m,

(2)

其中：m為正整數(shù)；W*T為最優(yōu)權(quán)向量；δ(Z)為逼近誤差, 且滿足|δ(Z)|≤δ*,δ*為有界正數(shù)；RBFNN的基函數(shù)向量S(Z)=[s1(Z),s2(Z),…,si(Z),…,sj(Z)]T∈j,si(Z)為高斯函數(shù), 其表達(dá)式為

(3)

其中：σi為基函數(shù)中心對(duì)應(yīng)的矢量,κi為基函數(shù)的寬度.

引理1[16]若S(Z)與S(Zl)均為RBFNN的基函數(shù)向量, 其中Z=[z1,z2,…,zn]T,Zl=[z1,z2,…,zl]T均為輸入向量,l和n均為正整數(shù)，且滿足l≤n, 則下式成立

‖S(Z)‖2≤‖S(Zl)‖2.

(4)

引理2[17]對(duì)于系統(tǒng)(1), 如果存在正定、徑向無(wú)界、連續(xù)可微的V(x):n→,a0>0,b0≥0，滿足

(5)

則系統(tǒng)(1)是有界穩(wěn)定的,且存在唯一解.

引理3[14]對(duì)于任意給定的l>0, 有如下不等式成立

(6)

其中：s1>1,s2>1, 且(s1-1)(s2-1)=1.

引理4[14]假設(shè)x,ψ,χ在t∈[a,b]上為實(shí)連續(xù)函數(shù), 且χ(t)≥0.如果

(7)

則有

(8)

定義1如果系統(tǒng)(1)滿足下列條件:

(2) 下面的不等式成立

(9)

其中：z(s)為跟蹤誤差,V(X(0))為正常數(shù), 非零外部干擾d(s)∈L2[0,T],γ為給定的干擾抑制系數(shù).

則系統(tǒng)(1)對(duì)外界干擾具有有界H∞抑制性能.

2 四旋翼飛行器系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有界H∞跟蹤控制器

2.1 控制策略

該文將采用雙閉環(huán)策略對(duì)四旋翼飛行器系統(tǒng)進(jìn)行控制. 外環(huán)控制為位置控制, 根據(jù)參考值xd,yd,zd與實(shí)際值x,y,z的差值, 設(shè)計(jì)位置控制器u1,ux,uy;內(nèi)環(huán)控制為姿態(tài)控制, 通過(guò)ux和uy, 求得橫滾角參考值φd和俯仰角參考值θd.根據(jù)參考值φd,θd,ψd和實(shí)際值φ,θ,ψ的差值，設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器u2,u3,u4.圖1為四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制框圖.

圖1 四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制框圖

下面的控制設(shè)計(jì)中需用到的坐標(biāo)變換為

zi=xi-xid,

zi+1=xi+1-αi,

(10)

其中：x1d=zd,x3d=xd,x5d=yd,x7d=φd,x9d=θd,x11d=ψd;αi為虛擬控制律；i=1,3,5,7,9,11.

2.2 位置控制器的設(shè)計(jì)

高度子系統(tǒng)為

(11)

位置控制器設(shè)計(jì)的步驟如下:

第1步 考慮如下Lyapunov 函數(shù)

(12)

對(duì)V1求導(dǎo)，可得

(13)

選取虛擬控制律α1為

(14)

其中：設(shè)計(jì)參數(shù)υ1>0.將式(14)代入(13)后整理可得

(15)

第2步 選取Lyapunov函數(shù)為

(16)

對(duì)V2求導(dǎo), 由式(10)～(11)，(13)可得

(17)

根據(jù)引理3, 有

(18)

將式(18)代入(17)后整理可得

(19)

選取控制律u1為

(20)

注1式(20)中的x7和x9分別表示橫滾角和俯仰角. 在四旋翼飛行器飛行過(guò)程中,x7和x9的取值范圍不會(huì)導(dǎo)致cosx7cosx9為零, 因此u1不會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)問(wèn)題.

將式(20)代入(19)后整理可得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

注2式(23)，(25)中,u1為垂直于無(wú)人機(jī)機(jī)身的向上升力, 其值不會(huì)為零，因此ux和uy不會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)問(wèn)題.

通過(guò)相關(guān)計(jì)算可得

(26)

(27)

(28)

(29)

2.3 俯仰角和橫滾角參考值的求解

由四旋翼無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程可知, 其水平控制通道和俯仰、橫滾控制通道聯(lián)系緊密.水平控制量ux和uy的表達(dá)式[4]分別為

(30)

根據(jù)式(30)可解得橫滾角和俯仰角參考值.根據(jù)四旋翼飛行器定點(diǎn)飛行的特點(diǎn), 設(shè)偏航角參考值ψd=0 rad，據(jù)此解得俯仰角參考值φd和橫滾角參考值θd分別為

(31)

2.4 姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)

橫滾角子系統(tǒng)為

(32)

姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)的步驟如下:

第1步 選取Lyapunov函數(shù)為

(33)

對(duì)V7求導(dǎo), 由式(10)，(32)可得

(34)

利用RBFNN對(duì)Φ7(Z7)進(jìn)行估計(jì), 得到Φ7(Z7)的估計(jì)值為

(35)

根據(jù)引理1，3有

(36)

(37)

(38)

(39)

其中：設(shè)計(jì)參數(shù)h7>0.將式(38)和(39)代入(37)后整理可得

(40)

第2步 選取Lyapunov函數(shù)為

(41)

對(duì)V8求導(dǎo), 由式(10),(32)，(40)可得

(42)

根據(jù)引理3，有

(43)

將式(43)代入(42)后整理可得

(44)

(45)

根據(jù)引理1，3，有

(46)

(47)

(48)

(49)

將式(48)，(49)代入(47)后整理可得

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

通過(guò)相關(guān)計(jì)算可得

(59)

(60)

(61)

(62)

定義四旋翼飛行器系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(63)

注3m0為輔助參數(shù), 不參與控制器的設(shè)計(jì), 選取合適的m0使V>0,以保證系統(tǒng)對(duì)外界干擾具有有界H∞抑制性能.

將式(21)，(27)，(29)，(50)，(60)，(62)求和，可得

(64)

至此, 四旋翼飛行器系統(tǒng)(1)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有界H∞跟蹤控制器設(shè)計(jì)完畢. 設(shè)計(jì)結(jié)果可歸納為定理1.

定理1對(duì)于滿足假設(shè)1的四旋翼飛行器系統(tǒng)(1), 若控制律按(14)，(20)，(22)～(25)，(38)，(48)，(51)～(54)選取，自適應(yīng)律按(39)，(49)，(55)～(58)選取, 則四旋翼飛行器系統(tǒng)能跟蹤參考軌跡, 閉環(huán)系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的，且對(duì)外界干擾具有有界H∞抑制性能.

證明(1) 閉環(huán)系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的.令外部擾動(dòng)di=0(i=1,2,…,6), 則有

(65)

(66)

由引理2可知，閉環(huán)系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的.

(2) 系統(tǒng)對(duì)外界干擾具有有界H∞抑制性能.定義輔助函數(shù)H為

(67)

H≤b0.

(68)

由式(63)可知，V>0, 因此一定存在一個(gè)未知常數(shù)ρ>0, 且滿足

(69)

則有

(70)

從0到T對(duì)式(70)進(jìn)行積分，可得

(71)

(72)

下面用反證法證明ψ(T)>0.假設(shè)ψ(T)≤0, 則有

(73)

式(73)與式(63)矛盾,則有

(74)

可見(jiàn)，系統(tǒng)(1)對(duì)外界干擾具有有界H∞抑制性能. 因此，定理1得證.

3 仿真結(jié)果

圖2為四旋翼飛行器系統(tǒng)的跟蹤效果.從圖2可看出, 四旋翼飛行器系統(tǒng)能較精確地跟蹤參考軌跡. 圖3為位置子系統(tǒng)的跟蹤效果；圖4為姿態(tài)子系統(tǒng)的跟蹤效果； 圖5為控制輸入u1,u2；圖6為控制輸入u3,u4.從圖3～6可看出, 第10秒時(shí)給四旋翼飛行器系統(tǒng)加入外部擾動(dòng)后, 系統(tǒng)控制器能迅速做出調(diào)整, 保證飛行器的正常飛行, 表明該文設(shè)計(jì)的控制器具有有效性.

圖2 四旋翼飛行器系統(tǒng)的跟蹤效果 圖3 位置子系統(tǒng)的跟蹤效果 圖4 姿態(tài)子系統(tǒng)的跟蹤效果

圖5 控制輸入u1,u2

圖6 控制輸入u3,u4

4 結(jié)束語(yǔ)

該文綜合考慮了各子系統(tǒng)間的耦合項(xiàng)、空氣阻力及外界干擾對(duì)四旋翼飛行器系統(tǒng)的影響，解決了四旋翼飛行器系統(tǒng)在有界穩(wěn)定情況下難以實(shí)現(xiàn)的H∞跟蹤控制問(wèn)題.所設(shè)計(jì)的控制器能保證四旋翼飛行器系統(tǒng)較精確地跟蹤參考軌跡, 且對(duì)外界干擾具有有界H∞抑制性能，該文的研究結(jié)果為四旋翼飛行器系統(tǒng)的抗干擾設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo).