丁國(guó)龍，吳 熙，張力惟，向 華

(1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430068；2.國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，武漢 430074)

0 引言

汽車(chē)轉(zhuǎn)向器通常采用變速比非圓齒扇齒條副傳動(dòng)，以滿(mǎn)足汽車(chē)駕駛轉(zhuǎn)向性能要求，其中非圓齒扇齒條副傳動(dòng)一直是重要的研究課題。賀敬良等[1]分析了余弦變比傳動(dòng)規(guī)律，唐德威等[2]分析了非圓齒輪副能正確嚙合的條件，丁國(guó)龍等[3-4]研究非圓齒扇三維數(shù)字化建模方法以及非圓齒扇齒廓誤差的測(cè)量方法。這些理論研究為非圓齒扇的插齒加工研究提供了理論基礎(chǔ)。

實(shí)際生產(chǎn)中齒輪往往需要修形以改善齒輪傳動(dòng)性能，在汽車(chē)轉(zhuǎn)向器非圓齒扇變變位修形加工過(guò)程中，長(zhǎng)期存在齒廓過(guò)切現(xiàn)象，導(dǎo)致實(shí)際鼓形量偏小，達(dá)不到理論設(shè)計(jì)值。實(shí)際生產(chǎn)中企業(yè)往往憑借經(jīng)驗(yàn)，反復(fù)試湊非圓齒扇齒廓鼓形量，生產(chǎn)效率低，精度不高。因此，研究非圓齒扇的修形過(guò)切對(duì)改善實(shí)際生產(chǎn)狀況有著重要意義。樊智敏等[5]發(fā)現(xiàn)在齒輪實(shí)際加工中嚙合干涉會(huì)導(dǎo)致過(guò)切現(xiàn)象的發(fā)生。丁國(guó)龍等[6]研究了轉(zhuǎn)向器非圓齒扇加工方法，基于華中8型數(shù)控系統(tǒng)開(kāi)發(fā)了插齒專(zhuān)機(jī)系統(tǒng)。熊鎮(zhèn)芹等[7]基于插齒加工的退刀干涉現(xiàn)象，提出了回轉(zhuǎn)中心偏離法解決問(wèn)題。李麗萍、陳鑫燁[8-9]分析了刀具補(bǔ)償半徑對(duì)加工過(guò)切的影響，發(fā)現(xiàn)了不同的刀具補(bǔ)償方法能緩解過(guò)切。唐德威、黨蘭煥、韓華等[10-12]根據(jù)非圓齒扇加工過(guò)程，分析了尖頂、根切、負(fù)嚙合、過(guò)切等影響加工質(zhì)量的常見(jiàn)因素，提出了一些可行性措施，但由于過(guò)切量較小，影響因素多，只能減少過(guò)切現(xiàn)象發(fā)生。BAIR等[13]研究了使用圓弧齒條刀具對(duì)橢圓齒輪進(jìn)行加工時(shí)，橢圓齒輪的兩長(zhǎng)軸端齒根處因中心距變化而產(chǎn)生的根切現(xiàn)象。上述研究對(duì)解決汽車(chē)轉(zhuǎn)向器非圓齒扇修形過(guò)切問(wèn)題提供了很好的思路和借鑒。

針對(duì)上述問(wèn)題，從運(yùn)動(dòng)學(xué)上分析了汽車(chē)轉(zhuǎn)向器非圓齒扇變變位修形加工過(guò)程，計(jì)算了實(shí)際加工的非圓齒扇齒廓，基于理論齒廓方程提出了反求齒條刀具的過(guò)切消除方法，為改善非圓齒扇變變位修形加工提供新的思路。

1 非圓齒扇變變位修形運(yùn)動(dòng)分析

1.1 變變位修形原理分析

非圓齒扇變變位修形加工在三軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控插齒機(jī)完成，如圖1a所示。以齒條刀具上下沖程運(yùn)動(dòng)為主運(yùn)動(dòng)，徑向進(jìn)給軸為Y軸，水平移動(dòng)軸為X軸，工件旋轉(zhuǎn)軸為C軸。其中展成運(yùn)動(dòng)由X、C軸按給定的變傳動(dòng)比曲線(xiàn)完成，修形運(yùn)動(dòng)由Y、C軸按給定的分段線(xiàn)性修形函數(shù)完成，展成運(yùn)動(dòng)與修形運(yùn)動(dòng)同時(shí)完成。修形運(yùn)動(dòng)時(shí)，齒條刀具沿Y軸進(jìn)、退刀運(yùn)動(dòng)加工變變位修形鼓形量，其修形函數(shù)曲線(xiàn)如圖1b所示。

(a) 非圓齒扇修形加工運(yùn)動(dòng)示意圖 (b) 分段線(xiàn)性函數(shù)修形曲線(xiàn)

修形量e是齒扇轉(zhuǎn)角θ的函數(shù)，函數(shù)表達(dá)式為：

(1)

式中，em為最大修形量；C1、C2為線(xiàn)性變化起始角和終止角。

理論上，每一個(gè)齒扇轉(zhuǎn)角θ對(duì)應(yīng)一個(gè)修形量e。在齒扇轉(zhuǎn)角θ∈[C1,C2]時(shí)，取若干個(gè)轉(zhuǎn)角值，如圖2a所示，取區(qū)間內(nèi)10個(gè)轉(zhuǎn)角值-d5～d5，其中d1=C1，d5=C2。根據(jù)式(1)計(jì)算各轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的修形量，將修形量e沿嚙合點(diǎn)公法線(xiàn)方向轉(zhuǎn)化成鼓形量esinφ，φ為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的齒扇轉(zhuǎn)角，e1～e5為對(duì)應(yīng)角度的鼓形量，在修形加工過(guò)程中，希望得到如圖2b所示的鼓形齒廓，即在[C1,C2]范圍內(nèi)齒厚增加的部分。

(a) 修形量與齒扇轉(zhuǎn)角關(guān)系示意圖 (b) 齒廓法向鼓形量疊加示意圖

1.2 余弦變傳動(dòng)比傳動(dòng)分析

常見(jiàn)的變傳動(dòng)比有：梯形變比、余弦變比、多項(xiàng)式變比和反向變比等。其中余弦函數(shù)變傳動(dòng)比曲線(xiàn)如圖3所示。

圖3 余弦變傳動(dòng)比函數(shù)曲線(xiàn)

余弦變比的傳動(dòng)比函數(shù)如下：

(2)

1.3 非圓齒扇變變位修形理論齒廓方程求解

無(wú)修形時(shí)，根據(jù)齒輪的嚙合原理得，齒扇齒條副的嚙合瞬心點(diǎn)K0在齒扇和齒條的連心線(xiàn)上，因此OK0即為齒扇旋轉(zhuǎn)一定角度θ時(shí)的瞬心半徑r0，r0的計(jì)算表達(dá)式如下：

(3)

式中，L0為滾珠絲桿的導(dǎo)程；i為轉(zhuǎn)向器的傳動(dòng)比。

已知齒條刀具齒廓(xt,yt,1)T,根據(jù)齒輪嚙合原理，計(jì)算無(wú)修形非圓齒扇齒廓坐標(biāo)(xg,yg,1)T的公式為：

(4)

式中，d表示齒扇坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系的距離；l表示刀具水平方向移動(dòng)的距離。

根據(jù)式(4)將修形量e沿?zé)o修形的非圓齒扇公法線(xiàn)方向疊加，如圖2b所示，得到變變位修形的理論齒廓坐標(biāo)方程：

(5)

1.4 非圓齒扇變變位修形實(shí)際齒廓方程求解

變變位修形過(guò)程，即齒條刀具沿y軸進(jìn)、退刀過(guò)程，如圖4所示。

圖4 變變位系數(shù)修形的嚙合運(yùn)動(dòng)分析

圖中點(diǎn)K0和K1分別為無(wú)修形時(shí)和變變位修形時(shí)齒扇齒條嚙合的瞬心點(diǎn)；P0和P1分別為相同轉(zhuǎn)角下無(wú)修形和變變位修形的嚙合點(diǎn)。圖中詳細(xì)符號(hào)說(shuō)明如表1所示。過(guò)變變位修形瞬心點(diǎn)向齒扇齒條副連心線(xiàn)作垂線(xiàn)，設(shè)ɑ為V1與x軸夾角，即為速度方向和垂線(xiàn)夾角，β為OK1與y軸夾角，則β為ɑ的外切角，β=ɑ。OK1為瞬心點(diǎn)與齒扇回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)連線(xiàn)。

表1 符號(hào)說(shuō)明

無(wú)修形時(shí)，齒條節(jié)曲線(xiàn)與齒扇節(jié)曲線(xiàn)的切點(diǎn)即為瞬心點(diǎn)，瞬心點(diǎn)K0始終在齒扇與齒條的連心線(xiàn)上，即K0點(diǎn)在y軸上。K0水平方向速度為V0x，大小為：

V0x=r0ω

(6)

式中，ω為齒扇旋轉(zhuǎn)角速度。

變變位修形時(shí)，齒條刀具增加了徑向速度V1y，水平速度V1x沒(méi)有改變，因此：

(7)

V1x=V0x=r0ω

(8)

根據(jù)速度三角形法，代入式(6)～式(8)可得：

(9)

根據(jù)式(9)可得無(wú)修形瞬心半徑和變變位修形瞬心半徑的關(guān)系為：

r1cosβ=r0

(10)

式(10)表明，變變位修形加工的任意時(shí)刻，從變變位修形瞬心點(diǎn)K1向齒扇齒條副連心線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足正是無(wú)修形瞬心點(diǎn)K0，即齒扇中心點(diǎn)、變變位修形瞬心點(diǎn)和無(wú)修形瞬心點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形。變變位修形瞬心點(diǎn)始終在無(wú)修形瞬心點(diǎn)沿x軸負(fù)方向的延長(zhǎng)線(xiàn)上，在齒條刀具沿y軸進(jìn)退刀加工變變位修形鼓形量時(shí)，瞬心點(diǎn)位置沿x軸水平方向移動(dòng)。

根據(jù)分段線(xiàn)性修形曲線(xiàn)表達(dá)式(1)，得：

(11)

在RtΔOK1K0中，瞬心點(diǎn)K1(xk1,yk1)在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

(12)

將式(6)、式(10)和式(11)代入式(12)整理得瞬心點(diǎn)K1(xk1,yk1)的坐標(biāo)如下：

(13)

根據(jù)齒廓法線(xiàn)法，齒扇和齒條的嚙合點(diǎn)就是公法線(xiàn)與公切線(xiàn)的交點(diǎn)，所以嚙合點(diǎn)坐標(biāo)可由公法線(xiàn)和公切線(xiàn)方程聯(lián)立求解。

在圖4中，設(shè)P1(x,y)為嚙合點(diǎn)，Prc(x0,y0)為齒條齒廓上的一個(gè)已知點(diǎn)，公法線(xiàn)為K1P1，公切線(xiàn)為P1Prc，即齒條刀具齒廓線(xiàn)。

公切線(xiàn)P1Prc方程為：

y-y0=tan(α1+π/2)(x-l-x0)

(14)

式中，α1為齒條上參與嚙合的齒廓的壓力角。

公法線(xiàn)K1P1方程為：

y-yK1=tanα1(x-xK1)

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)，計(jì)算出嚙合點(diǎn)在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

(16)

式(16)為嚙合點(diǎn)P1在定坐標(biāo)系[O0,x0,y0]中的軌跡方程。

將P1變換到齒扇坐標(biāo)系[O1,x1,y1]中，則：

(17)

代入式(16)得：

式(18)即在齒扇坐標(biāo)系[O1,x1,y1]下變變位修形實(shí)際齒廓坐標(biāo)方程。

2 反求齒條刀具消除過(guò)切

2.1 反求刀具齒廓方程

式(5)為變變位修形非圓齒扇理論齒廓坐標(biāo)方程，即非圓齒扇齒廓在沒(méi)有發(fā)生過(guò)切的理論情況下的齒廓方程。

在圖3中，齒條刀具在y軸上的移動(dòng)量為l。理論非圓齒扇齒廓坐標(biāo)在齒扇坐標(biāo)系[O1,x1,y1]下的坐標(biāo)為(xg,yg)，坐標(biāo)系[O2,x2,y2]到坐標(biāo)系[O1,x1,y1]的變換表達(dá)式為：

(19)

將式(19)改寫(xiě)為矩陣形式，可得：

(20)

現(xiàn)已知[O1,x1,y1]坐標(biāo)系求[O2,x2,y2]坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，則需轉(zhuǎn)換成如下表達(dá)式：

(21)

齒廓曲線(xiàn)和共軛齒條模型是根據(jù)齒輪嚙合原理按照節(jié)曲線(xiàn)做純滾動(dòng)，如果已知其中任意一個(gè)齒廓坐標(biāo)，即可通過(guò)坐標(biāo)變換推導(dǎo)出另一個(gè)齒廓坐標(biāo)，因此根據(jù)以上坐標(biāo)變換可由理論非圓齒扇坐標(biāo)得出其共軛齒條的齒廓坐標(biāo)，理論非圓齒扇與生成齒條間的無(wú)齒側(cè)間隙嚙合方程為：

rt=M-1(rg-rd)

(22)

化簡(jiǎn)得以理論的非圓齒扇齒廓反求的齒條刀具齒廓方程為：

(23)

2.2 用反求刀具加工非圓齒扇

齒條刀具如圖5所示，各參數(shù)取值如表2所示。

圖5 刀具示意圖

表2 齒條刀具的參數(shù)

傳動(dòng)比模型為余弦函數(shù)變比傳動(dòng)，其函數(shù)圖像如圖3所示，傳動(dòng)比參數(shù)如表3所示。

表3 傳動(dòng)比參數(shù)

變變位修形函數(shù)圖像如圖1b所示，齒扇修形參數(shù)如表4所示。

表4 齒扇修形參數(shù)

余弦變比非圓齒扇的工件參數(shù)如表5所示。

表5 工件參數(shù)

將實(shí)際修形齒廓、無(wú)修形齒廓和理論修形齒廓進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比圖如圖6所示。將齒扇轉(zhuǎn)角在-5°附近的齒廓放大，可以明顯看出實(shí)際修形齒廓的鼓形量小于理論齒廓鼓形量，因此實(shí)際加工中存在過(guò)切現(xiàn)象。

圖6 三種齒廓對(duì)比圖 圖7 反求齒條刀具嚙合運(yùn)動(dòng)示意圖

根據(jù)齒廓展成原理，利用理論齒扇齒廓反求齒條刀具齒廓，反求加工過(guò)程仿真如圖7所示。

反求齒條刀具齒廓如圖8所示，與原普通齒條刀具齒廓對(duì)比，反求齒條刀具齒廓的齒廓中部有明顯內(nèi)凹。

圖8 反求齒條刀具齒廓圖

用反求齒條刀具加工變變位修形非圓齒扇的過(guò)程如圖9所示。

圖9 反求齒條刀具加工非圓齒扇示意圖 圖10 反求齒條刀具加工的非圓齒扇齒廓與理論齒廓對(duì)比

其可看成齒條齒扇無(wú)側(cè)隙純滾動(dòng)嚙合過(guò)程，齒條刀具不需要沿y軸進(jìn)、退刀。將加工后的齒扇齒廓與變變位修形理論齒廓對(duì)比，結(jié)果如圖10所示。

可以看出，兩種齒廓重合，鼓形量相等，徹底消除了加工過(guò)程中的過(guò)切。

3 結(jié)論

(1)變變位修形的任意時(shí)刻，齒扇回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)、變變位修形瞬心點(diǎn)和無(wú)修形瞬心點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，該規(guī)律是計(jì)算變變位修形嚙合瞬心點(diǎn)位置和速度的基礎(chǔ)。

(2)提出了一種反求齒條刀具的計(jì)算方法，用反求的刀具加工非圓齒扇，可以消除非圓齒扇修形中的過(guò)切，通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的正確性。