丁國(guó)龍,吳 熙,張力惟,向 華
(1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,武漢 430068;2.國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,武漢 430074)
汽車(chē)轉(zhuǎn)向器通常采用變速比非圓齒扇齒條副傳動(dòng),以滿(mǎn)足汽車(chē)駕駛轉(zhuǎn)向性能要求,其中非圓齒扇齒條副傳動(dòng)一直是重要的研究課題。賀敬良等[1]分析了余弦變比傳動(dòng)規(guī)律,唐德威等[2]分析了非圓齒輪副能正確嚙合的條件,丁國(guó)龍等[3-4]研究非圓齒扇三維數(shù)字化建模方法以及非圓齒扇齒廓誤差的測(cè)量方法。這些理論研究為非圓齒扇的插齒加工研究提供了理論基礎(chǔ)。
實(shí)際生產(chǎn)中齒輪往往需要修形以改善齒輪傳動(dòng)性能,在汽車(chē)轉(zhuǎn)向器非圓齒扇變變位修形加工過(guò)程中,長(zhǎng)期存在齒廓過(guò)切現(xiàn)象,導(dǎo)致實(shí)際鼓形量偏小,達(dá)不到理論設(shè)計(jì)值。實(shí)際生產(chǎn)中企業(yè)往往憑借經(jīng)驗(yàn),反復(fù)試湊非圓齒扇齒廓鼓形量,生產(chǎn)效率低,精度不高。因此,研究非圓齒扇的修形過(guò)切對(duì)改善實(shí)際生產(chǎn)狀況有著重要意義。樊智敏等[5]發(fā)現(xiàn)在齒輪實(shí)際加工中嚙合干涉會(huì)導(dǎo)致過(guò)切現(xiàn)象的發(fā)生。丁國(guó)龍等[6]研究了轉(zhuǎn)向器非圓齒扇加工方法,基于華中8型數(shù)控系統(tǒng)開(kāi)發(fā)了插齒專(zhuān)機(jī)系統(tǒng)。熊鎮(zhèn)芹等[7]基于插齒加工的退刀干涉現(xiàn)象,提出了回轉(zhuǎn)中心偏離法解決問(wèn)題。李麗萍、陳鑫燁[8-9]分析了刀具補(bǔ)償半徑對(duì)加工過(guò)切的影響,發(fā)現(xiàn)了不同的刀具補(bǔ)償方法能緩解過(guò)切。唐德威、黨蘭煥、韓華等[10-12]根據(jù)非圓齒扇加工過(guò)程,分析了尖頂、根切、負(fù)嚙合、過(guò)切等影響加工質(zhì)量的常見(jiàn)因素,提出了一些可行性措施,但由于過(guò)切量較小,影響因素多,只能減少過(guò)切現(xiàn)象發(fā)生。BAIR等[13]研究了使用圓弧齒條刀具對(duì)橢圓齒輪進(jìn)行加工時(shí),橢圓齒輪的兩長(zhǎng)軸端齒根處因中心距變化而產(chǎn)生的根切現(xiàn)象。上述研究對(duì)解決汽車(chē)轉(zhuǎn)向器非圓齒扇修形過(guò)切問(wèn)題提供了很好的思路和借鑒。
針對(duì)上述問(wèn)題,從運(yùn)動(dòng)學(xué)上分析了汽車(chē)轉(zhuǎn)向器非圓齒扇變變位修形加工過(guò)程,計(jì)算了實(shí)際加工的非圓齒扇齒廓,基于理論齒廓方程提出了反求齒條刀具的過(guò)切消除方法,為改善非圓齒扇變變位修形加工提供新的思路。
非圓齒扇變變位修形加工在三軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控插齒機(jī)完成,如圖1a所示。以齒條刀具上下沖程運(yùn)動(dòng)為主運(yùn)動(dòng),徑向進(jìn)給軸為Y軸,水平移動(dòng)軸為X軸,工件旋轉(zhuǎn)軸為C軸。其中展成運(yùn)動(dòng)由X、C軸按給定的變傳動(dòng)比曲線(xiàn)完成,修形運(yùn)動(dòng)由Y、C軸按給定的分段線(xiàn)性修形函數(shù)完成,展成運(yùn)動(dòng)與修形運(yùn)動(dòng)同時(shí)完成。修形運(yùn)動(dòng)時(shí),齒條刀具沿Y軸進(jìn)、退刀運(yùn)動(dòng)加工變變位修形鼓形量,其修形函數(shù)曲線(xiàn)如圖1b所示。
(a) 非圓齒扇修形加工運(yùn)動(dòng)示意圖 (b) 分段線(xiàn)性函數(shù)修形曲線(xiàn)
修形量e是齒扇轉(zhuǎn)角θ的函數(shù),函數(shù)表達(dá)式為:
(1)
式中,em為最大修形量;C1、C2為線(xiàn)性變化起始角和終止角。
理論上,每一個(gè)齒扇轉(zhuǎn)角θ對(duì)應(yīng)一個(gè)修形量e。在齒扇轉(zhuǎn)角θ∈[C1,C2]時(shí),取若干個(gè)轉(zhuǎn)角值,如圖2a所示,取區(qū)間內(nèi)10個(gè)轉(zhuǎn)角值-d5~d5,其中d1=C1,d5=C2。根據(jù)式(1)計(jì)算各轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的修形量,將修形量e沿嚙合點(diǎn)公法線(xiàn)方向轉(zhuǎn)化成鼓形量esinφ,φ為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的齒扇轉(zhuǎn)角,e1~e5為對(duì)應(yīng)角度的鼓形量,在修形加工過(guò)程中,希望得到如圖2b所示的鼓形齒廓,即在[C1,C2]范圍內(nèi)齒厚增加的部分。
(a) 修形量與齒扇轉(zhuǎn)角關(guān)系示意圖 (b) 齒廓法向鼓形量疊加示意圖
常見(jiàn)的變傳動(dòng)比有:梯形變比、余弦變比、多項(xiàng)式變比和反向變比等。其中余弦函數(shù)變傳動(dòng)比曲線(xiàn)如圖3所示。
圖3 余弦變傳動(dòng)比函數(shù)曲線(xiàn)
余弦變比的傳動(dòng)比函數(shù)如下:
(2)
無(wú)修形時(shí),根據(jù)齒輪的嚙合原理得,齒扇齒條副的嚙合瞬心點(diǎn)K0在齒扇和齒條的連心線(xiàn)上,因此OK0即為齒扇旋轉(zhuǎn)一定角度θ時(shí)的瞬心半徑r0,r0的計(jì)算表達(dá)式如下:
(3)
式中,L0為滾珠絲桿的導(dǎo)程;i為轉(zhuǎn)向器的傳動(dòng)比。
已知齒條刀具齒廓(xt,yt,1)T,根據(jù)齒輪嚙合原理,計(jì)算無(wú)修形非圓齒扇齒廓坐標(biāo)(xg,yg,1)T的公式為:
(4)
式中,d表示齒扇坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系的距離;l表示刀具水平方向移動(dòng)的距離。
根據(jù)式(4)將修形量e沿?zé)o修形的非圓齒扇公法線(xiàn)方向疊加,如圖2b所示,得到變變位修形的理論齒廓坐標(biāo)方程:
(5)
變變位修形過(guò)程,即齒條刀具沿y軸進(jìn)、退刀過(guò)程,如圖4所示。
圖4 變變位系數(shù)修形的嚙合運(yùn)動(dòng)分析
圖中點(diǎn)K0和K1分別為無(wú)修形時(shí)和變變位修形時(shí)齒扇齒條嚙合的瞬心點(diǎn);P0和P1分別為相同轉(zhuǎn)角下無(wú)修形和變變位修形的嚙合點(diǎn)。圖中詳細(xì)符號(hào)說(shuō)明如表1所示。過(guò)變變位修形瞬心點(diǎn)向齒扇齒條副連心線(xiàn)作垂線(xiàn),設(shè)ɑ為V1與x軸夾角,即為速度方向和垂線(xiàn)夾角,β為OK1與y軸夾角,則β為ɑ的外切角,β=ɑ。OK1為瞬心點(diǎn)與齒扇回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)連線(xiàn)。
表1 符號(hào)說(shuō)明
無(wú)修形時(shí),齒條節(jié)曲線(xiàn)與齒扇節(jié)曲線(xiàn)的切點(diǎn)即為瞬心點(diǎn),瞬心點(diǎn)K0始終在齒扇與齒條的連心線(xiàn)上,即K0點(diǎn)在y軸上。K0水平方向速度為V0x,大小為:
V0x=r0ω
(6)
式中,ω為齒扇旋轉(zhuǎn)角速度。
變變位修形時(shí),齒條刀具增加了徑向速度V1y,水平速度V1x沒(méi)有改變,因此:
(7)
V1x=V0x=r0ω
(8)
根據(jù)速度三角形法,代入式(6)~式(8)可得:
(9)
根據(jù)式(9)可得無(wú)修形瞬心半徑和變變位修形瞬心半徑的關(guān)系為:
r1cosβ=r0
(10)
式(10)表明,變變位修形加工的任意時(shí)刻,從變變位修形瞬心點(diǎn)K1向齒扇齒條副連心線(xiàn)作垂線(xiàn),垂足正是無(wú)修形瞬心點(diǎn)K0,即齒扇中心點(diǎn)、變變位修形瞬心點(diǎn)和無(wú)修形瞬心點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形。變變位修形瞬心點(diǎn)始終在無(wú)修形瞬心點(diǎn)沿x軸負(fù)方向的延長(zhǎng)線(xiàn)上,在齒條刀具沿y軸進(jìn)退刀加工變變位修形鼓形量時(shí),瞬心點(diǎn)位置沿x軸水平方向移動(dòng)。
根據(jù)分段線(xiàn)性修形曲線(xiàn)表達(dá)式(1),得:
(11)
在RtΔOK1K0中,瞬心點(diǎn)K1(xk1,yk1)在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為:
(12)
將式(6)、式(10)和式(11)代入式(12)整理得瞬心點(diǎn)K1(xk1,yk1)的坐標(biāo)如下:
(13)
根據(jù)齒廓法線(xiàn)法,齒扇和齒條的嚙合點(diǎn)就是公法線(xiàn)與公切線(xiàn)的交點(diǎn),所以嚙合點(diǎn)坐標(biāo)可由公法線(xiàn)和公切線(xiàn)方程聯(lián)立求解。
在圖4中,設(shè)P1(x,y)為嚙合點(diǎn),Prc(x0,y0)為齒條齒廓上的一個(gè)已知點(diǎn),公法線(xiàn)為K1P1,公切線(xiàn)為P1Prc,即齒條刀具齒廓線(xiàn)。
公切線(xiàn)P1Prc方程為:
y-y0=tan(α1+π/2)(x-l-x0)
(14)
式中,α1為齒條上參與嚙合的齒廓的壓力角。
公法線(xiàn)K1P1方程為:
y-yK1=tanα1(x-xK1)
(15)
聯(lián)立式(14)和式(15),計(jì)算出嚙合點(diǎn)在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為:
(16)
式(16)為嚙合點(diǎn)P1在定坐標(biāo)系[O0,x0,y0]中的軌跡方程。
將P1變換到齒扇坐標(biāo)系[O1,x1,y1]中,則:
(17)
代入式(16)得:
式(18)即在齒扇坐標(biāo)系[O1,x1,y1]下變變位修形實(shí)際齒廓坐標(biāo)方程。
式(5)為變變位修形非圓齒扇理論齒廓坐標(biāo)方程,即非圓齒扇齒廓在沒(méi)有發(fā)生過(guò)切的理論情況下的齒廓方程。
在圖3中,齒條刀具在y軸上的移動(dòng)量為l。理論非圓齒扇齒廓坐標(biāo)在齒扇坐標(biāo)系[O1,x1,y1]下的坐標(biāo)為(xg,yg),坐標(biāo)系[O2,x2,y2]到坐標(biāo)系[O1,x1,y1]的變換表達(dá)式為:
(19)
將式(19)改寫(xiě)為矩陣形式,可得:
(20)
現(xiàn)已知[O1,x1,y1]坐標(biāo)系求[O2,x2,y2]坐標(biāo)系下的坐標(biāo),則需轉(zhuǎn)換成如下表達(dá)式:
(21)
齒廓曲線(xiàn)和共軛齒條模型是根據(jù)齒輪嚙合原理按照節(jié)曲線(xiàn)做純滾動(dòng),如果已知其中任意一個(gè)齒廓坐標(biāo),即可通過(guò)坐標(biāo)變換推導(dǎo)出另一個(gè)齒廓坐標(biāo),因此根據(jù)以上坐標(biāo)變換可由理論非圓齒扇坐標(biāo)得出其共軛齒條的齒廓坐標(biāo),理論非圓齒扇與生成齒條間的無(wú)齒側(cè)間隙嚙合方程為:
rt=M-1(rg-rd)
(22)
化簡(jiǎn)得以理論的非圓齒扇齒廓反求的齒條刀具齒廓方程為:
(23)
齒條刀具如圖5所示,各參數(shù)取值如表2所示。
圖5 刀具示意圖
表2 齒條刀具的參數(shù)
傳動(dòng)比模型為余弦函數(shù)變比傳動(dòng),其函數(shù)圖像如圖3所示,傳動(dòng)比參數(shù)如表3所示。
表3 傳動(dòng)比參數(shù)
變變位修形函數(shù)圖像如圖1b所示,齒扇修形參數(shù)如表4所示。
表4 齒扇修形參數(shù)
余弦變比非圓齒扇的工件參數(shù)如表5所示。
表5 工件參數(shù)
將實(shí)際修形齒廓、無(wú)修形齒廓和理論修形齒廓進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比圖如圖6所示。將齒扇轉(zhuǎn)角在-5°附近的齒廓放大,可以明顯看出實(shí)際修形齒廓的鼓形量小于理論齒廓鼓形量,因此實(shí)際加工中存在過(guò)切現(xiàn)象。
圖6 三種齒廓對(duì)比圖 圖7 反求齒條刀具嚙合運(yùn)動(dòng)示意圖
根據(jù)齒廓展成原理,利用理論齒扇齒廓反求齒條刀具齒廓,反求加工過(guò)程仿真如圖7所示。
反求齒條刀具齒廓如圖8所示,與原普通齒條刀具齒廓對(duì)比,反求齒條刀具齒廓的齒廓中部有明顯內(nèi)凹。
圖8 反求齒條刀具齒廓圖
用反求齒條刀具加工變變位修形非圓齒扇的過(guò)程如圖9所示。
圖9 反求齒條刀具加工非圓齒扇示意圖 圖10 反求齒條刀具加工的非圓齒扇齒廓與理論齒廓對(duì)比
其可看成齒條齒扇無(wú)側(cè)隙純滾動(dòng)嚙合過(guò)程,齒條刀具不需要沿y軸進(jìn)、退刀。將加工后的齒扇齒廓與變變位修形理論齒廓對(duì)比,結(jié)果如圖10所示。
可以看出,兩種齒廓重合,鼓形量相等,徹底消除了加工過(guò)程中的過(guò)切。
(1)變變位修形的任意時(shí)刻,齒扇回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)、變變位修形瞬心點(diǎn)和無(wú)修形瞬心點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形,該規(guī)律是計(jì)算變變位修形嚙合瞬心點(diǎn)位置和速度的基礎(chǔ)。
(2)提出了一種反求齒條刀具的計(jì)算方法,用反求的刀具加工非圓齒扇,可以消除非圓齒扇修形中的過(guò)切,通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的正確性。