潘楚光，譚 平，熊瑞平，楊 康

(四川大學機械工程學院，成都 610065)

0 引言

擬人機械手作為一種模擬人類手臂運動機制的仿生機構具有與人類手臂類似的優(yōu)點[1]。然而，受工作環(huán)境和機械結構的限制，擬人機械手的總長度往往受到一定程度的限制，這極大影響其運動性能[2]。在滿足約束的前提下，通過優(yōu)化擬人機械手的連桿長度來提高運動性能已成為擬人機械手設計的重要工作。

為了更好地模擬人體手臂的操作，擬人機械手既要具備良好的靈活性，又要保證機械手末端具有較高的精度。因此，擬人機械手的靈活性/可操作性和端部剛度性能成為優(yōu)化連桿長度參數(shù)的主要參考[3]。為了提升擬人機械手的靈活性，賈世元等[4]提出使用可操作性作為連桿長度參數(shù)的評價指標，研究了機械手的尺寸優(yōu)化方法。劉亞軍等[5]揭示了機械臂可達工作空間隨結構尺度參數(shù)和關節(jié)運動范圍的變化規(guī)律，綜合得出一組最優(yōu)的機械臂結構尺度參數(shù)。劉海濤等[6]基于工作空間、奇異性、各向同性等性能評價指標優(yōu)化機械臂連桿長度參數(shù)。陳世鐘等[7]基于靜態(tài)剛度模型，分析了如何通過優(yōu)化機械手的長度和配置來提高剛度。提出了一個全局剛度性能指標，并將其用作優(yōu)化機械手連桿長度的目標函數(shù)。焦嘉琛等[8]基于靜態(tài)剛度模型設計了六自由度串聯(lián)機器人的綜合剛度性能評價指標。陳偉海等[9]分析了繩驅動七自由度擬人機械手的笛卡爾剛度，并提出一種優(yōu)化算法以提高機械手在運動過程中的剛度性能。

對于擬人機械臂的連桿長度參數(shù)優(yōu)化設計問題，大多數(shù)研究僅從可操作性或剛度性能單方面展開。然而，僅以剛度性能指標作為評價指標來優(yōu)化機械手的連桿長度，并不能保證機械手的可操作性[10]。因此，為了平衡擬人機械手的可操作性和剛度性能，本文綜合考慮可操作性以及端部剛度性能建立多目標優(yōu)化模型，利用MOGMO求解擬人機械手連桿長度參數(shù)的優(yōu)化設計問題。

1 人體手臂的運動機制和配置分析

1.1 人體手臂運動機制

開發(fā)擬人機械手時需要對人體手臂的運動機制進行分析，以便更好地模擬人體手臂。在人體運動解剖學中，人體手臂自上而下由肩關節(jié)、上臂、肘關節(jié)、前臂和腕關節(jié)組成，其運動主要來自于關節(jié)的運動。人體手臂通常被簡化為具有7個自由度的機構，包括肩關節(jié)的3個自由度、肘關節(jié)的1個自由度和腕關節(jié)的3個自由度[11]。

人體手臂的肩關節(jié)是典型的球窩關節(jié)，是人體最靈活的關節(jié)。其運動形式包括前屈后伸、外展內收、內旋外旋。肘關節(jié)是單自由度旋轉關節(jié)，可實現(xiàn)人體手臂的屈曲和伸展。腕關節(jié)由橈關節(jié)和腕骨關節(jié)組成。由于兩個關節(jié)可以相互獨立運動，因此腕關節(jié)可以看作是由具有單自由度的環(huán)軸關節(jié)和具有兩個自由度的髁關節(jié)組成。腕關節(jié)的運動形式包括伸屈、橈屈和尺屈、前后旋轉。通過實際測量和數(shù)據分析，可以得到人體手臂的運動形式和相應的運動范圍，如表1所示。

表1 人體手臂運動形式和運動范圍

1.2 人體手臂的配置分析

開發(fā)擬人機械手的基本出發(fā)點是使其在工作環(huán)境中更具靈活性和適應性，從而實現(xiàn)與人類手臂類似的運動性能和工作空間。受機械結構的限制，難以完全復制人類手臂的結構。人體手臂的每個關節(jié)都可以等效為一個具有相同運動形式的機械運動副，然后可以根據具體的配置選擇合理的設計方案。目前人體手臂大多采用7自由度配置，肩關節(jié)由3個串聯(lián)的旋轉關節(jié)組成，肘關節(jié)為1個旋轉關節(jié)，腕關節(jié)與肩關節(jié)類似由3個串聯(lián)旋轉關節(jié)組成。

對于7自由度人體手臂結構，不同關節(jié)設置的擬人機械手具有不同的配置，如圖1所示的配置被認為是最佳的。與廣泛使用的6自由度機械手配置相比，該配置在關節(jié)2和關節(jié)4之間沿兩條平行軸的公共法線方向增加了一個旋轉關節(jié)3。

圖1 最佳的擬人機械手配置

2 擬人機械手的性能評價指標

具有7自由度的擬人機械手不僅可以消除工作空間中的奇異構型，還可以靈活避開關節(jié)限制和空間障礙，實現(xiàn)人體手臂的操作姿態(tài)和功能。在確定配置后，根據具體的任務需求優(yōu)化機械手的連桿長度參數(shù)是擬人機械手設計過程中的關鍵步驟。本文主要依據可操作性和端部剛性性能指標對擬人機械手的連桿長度參數(shù)進行優(yōu)化設計。

2.1 擬人機械手的正運動學

對于圖1所示的擬人機械手的配置，連桿長度分別為l1、l2、l3、l4、l5、l6、l7，如圖2所示。

圖2 擬人機械手的連桿參數(shù)

圖中，d1=l1+l2；d2=l3+l4；d3=l5+l6；d4=l7。

利用螺旋理論建立擬人機械手的運動學模型。首先，建立基坐標系Os-XsYsZs以及末端坐標系Ot-XtYtZt，如圖3所示。其中ωi是關節(jié)i旋轉軸的單位向量。

圖3 擬人機械手的螺旋坐標

機械手初始姿態(tài)的齊次變換矩陣為：

(1)

關節(jié)i對應的旋轉軸單位向量ωi=(ωix,ωiy,ωiz)T以及位置向量pi=(pix,piy,piz)T，因此對應的運動螺旋坐標ξi為：

(2)

每個關節(jié)的單位旋轉軸向量ωi和位置向量pi如表2所示。

表2 擬人機械手關節(jié)軸向量與位置坐標

根據表2及式(2)可以得到每個關節(jié)的運動螺旋坐標ξi如表3所示。

表3 擬人機械手關節(jié)運動螺旋坐標

(3)

(4)

姿態(tài)矩陣的指數(shù)形式為：

(5)

運動螺旋矩陣的指數(shù)形式為：

(6)

根據上述公式，可以得到每個關節(jié)的指數(shù)積。

因此擬人機械手的正向運動學為：

(7)

(8)

式中，

2.2 建立性能評價指標

由于雅可比矩陣J表示末端運動速度與關節(jié)運動速度之間的映射關系，因此雅可比矩陣的代數(shù)特征，如行列式、條件數(shù)、最大和最小奇異值等通常作為評價擬人機械手靈活性的性能指標。為了保證運動精度和動態(tài)性能，需要同時考慮機械手的剛度性能。

(2)靜態(tài)剛度性能指標。在擬人機械手的設計過程中，端部剛度也是一個重要的性能評價指標。端部剛度取決于關節(jié)剛度矩陣和雅可比矩陣[13]。具有n個自由度機械手的關節(jié)i的剛度用Kqi(i=1,2,…,n)表示，關節(jié)剛度矩陣Kq表示為：

Kq=diag(Kq1,Kq2,…,Kqn)

(9)

擬人機械手的雅可比矩陣J∈R6×7，端部剛度矩陣K可以根據雅可比矩陣的廣義逆J+被表示為：

K=(J+)KqJ+

(10)

代入J+=JT(JJT)-1到式(10)并化簡得：

K=(JJT)-TJKqJT(JJT)-1

(11)

取剛度矩陣K的最小奇異值為σmin(K)。對于整個工作空間，機械手末端在奇異值最小的位置剛度最弱，擬人機械手末端的變形最大。因此，最小奇異值σmin(K)越大，對應的剛度越大。

為了衡量擬人機械手在整個工作空間的性能，可操作性指標和靜態(tài)剛度性能指標分別在整個工作空間上積分，得到對應的全局性能指標。

(12)

(13)

式中，f1為可操作性的全局性能指標；f2為端部剛度性能的全局性能指標；W為擬人機械手的工作空間；ψ為關節(jié)運動空間；θi為擬人機械手的關節(jié)角。

3 擬人機械手的連桿長度參數(shù)優(yōu)化

3.1 建立優(yōu)化模型

機械手連桿長度參數(shù)優(yōu)化是在機械手的長度約束范圍內，尋找一組最優(yōu)的連桿長度參數(shù)，在給定的優(yōu)化性能指標下。擬人機械手的全局性能指標f1和f2為機械手連桿長度l1,l2,…,ln的函數(shù)。由于f1和f2這兩個優(yōu)化目標相互之間矛盾性，因此建立如下所示的多目標優(yōu)化模型：

根據機械手的運動學模型，雅可比矩陣中的連桿長度變量可以用d1、d2、d3、d4來表示，因此減少了優(yōu)化變量，加快了優(yōu)化計算速度。因此，最終的多目標優(yōu)化設計模型為：

在擬人機械手的設計過程中，機械手的關節(jié)運動范圍通常設置得比實際人體手臂關節(jié)的運動范圍稍大。機械手各個關節(jié)的運動約束可以根據表1的數(shù)據確定。連桿長度參數(shù)的約束根據實際工作空間的需求而設置。擬人機械手的關節(jié)運動范圍約束以及連桿長度參數(shù)的約束如表4所示。

表4 關節(jié)以及連桿長度的約束

3.2 多目標灰狼優(yōu)化(MOGWO)算法

灰狼優(yōu)化(GWO)算法是一種模擬灰狼種群的社會領導力和捕獵行為的群智能優(yōu)化算法。為了對灰狼的社會等級進行數(shù)學建模，最優(yōu)的解被認為是α狼，第二個和第三個次優(yōu)解分別為β和δ狼。剩余的候選解為ω狼。在GWO中，優(yōu)化過程受α、β和δ狼的指引，ω狼跟隨這三者搜索最優(yōu)解。

除了社會領導關系，為了模擬灰狼種群在捕獵過程中的包圍行為，采用以下方程更新灰狼的位置：

D=|C·Xp(t)-X(t)|

(14)

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(15)

式中，t表示當前迭代步；A和C為系數(shù)向量；Xp為獵物的位置向量；X表示灰狼的位置向量；·表示哈達瑪乘積。

系數(shù)向量A和C計算如下：

A=2a·r1-a

(16)

C=2r2

(17)

式中，a的元素在迭代過程中從2線性減小到0；r1和r2為[0,1]之間的隨機向量。

GWO算法利用模擬的社會領導關系和捕獵時對獵物的包圍機制來尋找優(yōu)化問題的最優(yōu)解。該算法保存迄今為止獲得的前3個最優(yōu)解，其他個體根據這3組解更新自身的位置。在優(yōu)化過程中每個個體根據以下公式來更新自身的位置搜索最優(yōu)解的區(qū)域。

Dα=|C1·Xα-X|

(18)

Dβ=|C2·Xβ-X|

(19)

Dδ=|C3·Xδ-X|

(20)

X1=Xα-A1·Dα

(21)

X2=Xβ-A2·Dβ

(22)

X3=Xδ-A3·Dδ

(23)

(24)

為了將GWO算法擴展到多目標優(yōu)化，在GWO算法基礎上加入存檔機制，將迄今為止搜索到的非支配帕累托最優(yōu)解保存。同時引入領導選擇策略從存檔中選擇α、β和δ解來領導灰狼個體的位置更新。

基于GWO擴展得到的MOGWO算法的主要步驟如下：

步驟1：初始化灰狼種群Xi(i=1,2,…,n)，初始化a、A、C；

步驟2：計算每個個體的目標函數(shù)值，找到非支配帕累托最優(yōu)解并存檔；

步驟3：在存檔中選擇Xα，Xβ，Xδ，t=1；

步驟4：當t小于最大迭代次數(shù)繼續(xù)，否則轉步驟9；

步驟5：根據式(18)～式(24)更新每個個體的位置，根據式(16)和式(17)更新a、A、C；

步驟6：計算每個個體的目標函數(shù)值，找到非支配帕累托最優(yōu)解并更新存檔；

步驟7：在存檔中選擇Xα，Xβ，Xδ；

步驟8：t=t+1，跳轉到步驟4；

步驟9：算法終止，返回存檔中的解。

MOGWO算法繼承了GWO算法的特點，具有與GWO算法相似的收斂屬性。兩者的主要區(qū)別在于MOGWO算法圍繞一組檔案成員進行搜索，而GWO算法只保存迄今為止找到的前3個最優(yōu)解。

3.3 優(yōu)化模型求解

根據驅動和傳動部分的性能參數(shù)，每個關節(jié)的剛度為Kq1=Kq2=6.5e5 N·m/rad，Kq3=Kq4=3.0e4 N·m/rad，Kq5=Kq6=5.8e3 N·m/rad，Kq7=3.0e3 N·m/rad。因此，擬人機械手的關節(jié)剛度矩陣(單位：N·m/rad)為：

Kq=diag(6.5e5 6.5e5 3.0e4 3.0e4 5.8e3 5.8e3 3.0e3)

根據MOGWO算法的搜索最優(yōu)解的步驟，在MATLAB環(huán)境中對之前建立的多目標優(yōu)化模型進行求解。其中，設置灰狼種群的大小為GreyWolves=100，MOGWO算法的最大迭代次數(shù)為MaxIt=500，存檔大小為ArchiveSize=100。采用與多目標粒子群優(yōu)化(MOPSO)算法類似的網格機制實現(xiàn)對Xα、Xβ、Xδ的選擇以及當存檔達到上限值時對存檔進行刪除、插入操作。因此，設置目標函數(shù)空間每一維度的網格數(shù)為nGrid=10，領導者選擇壓力參數(shù)和存檔成員刪除壓力分別為beta=4，gamma=2。最終求解得到的非支配帕累托最優(yōu)解如圖4所示。

圖4 多目標優(yōu)化模型的非支配帕累托最優(yōu)解

由圖4所示的多目標優(yōu)化求解結果可得，提升擬人機械手的可操作性指標與提高其端部剛度性能指標之間是相互矛盾的。追求單個性能的最優(yōu)化會導致另一個性能的下降。因此，對擬人機械手的連桿長度的設計應該同時考慮這兩個性能指標，根據實際的使用需求選擇一個合理的解決方案。

為了研究擬人機械手的連桿長度參數(shù)對可操作性以及端部剛度的影響，分別選取f1和f2達到最大值所對應的非支配帕累托最優(yōu)解，兩個解之間的比較如表5所示。

表5 單獨最優(yōu)的非支配帕累托最優(yōu)解比較

其中，*表示d4參數(shù)對可操作性以及端部剛度性能無影響，可在約束范圍內根據需求選取。根據表5展示的結果可知，當單一的性能達到最優(yōu)時，連桿長度參數(shù)分別接近約束的上、下邊界，因此連桿長度的約束成為限制單一性能繼續(xù)提升的主要因素。同時，根據表5所示的結果，f1相比于f2變化的幅度更大，說明連桿長度參數(shù)對可操作性能的影響大于對端部剛度性能的影響。

在獲得d1、d2、d3、d4的最優(yōu)解后，可根據d1、d2、d3、d4與l1、l2、l3、l4、l5、l6、l7之間的關系得到擬人機械手每個連桿的長度，實現(xiàn)擬人機械手的連桿長度設計，為后續(xù)的傳動系統(tǒng)設計奠定基礎。

4 結論

針對擬人機械手的連桿長度優(yōu)化設計問題，基于螺旋理論建立了擬人機械手的運動學模型，并根據運動學模型得到相應的可操作性指標以及端部剛度性能指標?？紤]到兩個性能指標之間的矛盾性，建立了擬人機械手連桿長度參數(shù)的多目標優(yōu)化模型。利用基于GWO算法擴展得到的MOGWO算法對多目標優(yōu)化模型進行了求解。

求解結果顯示，機械手的可操作性指標與端部剛度性能指標之間存在矛盾，單獨提升一個性能會導致另一個性能下降。機械手的連桿長度參數(shù)的改變對可操作性指標的影響大于對端部剛度性能指標的影響。影響性能指標提升的主要因素為機械手連桿長度的約束。設計人員可以根據實際需求選擇一組帕累托最優(yōu)解作為機械手連桿長度參數(shù)的初步設計，將該優(yōu)化算法應用于工業(yè)機器人三維數(shù)字化設計仿真平臺上，可實現(xiàn)多種單組模型可重構優(yōu)化(大于6種模型)。

由于只考慮了擬人機械手的連桿長度參數(shù)以及可操作性和端部剛度這兩個性能指標，得到的優(yōu)化設計結果無法體現(xiàn)出機械手的綜合性能，因此，考慮更多性能指標以及包含更多結構設計參數(shù)的擬人機械手的優(yōu)化設計值得進一步研究。