殷玉楓，武奎揚(yáng)，張 錦，2

（1.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.山西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030031）

1 引言

柔性臂可以滿足高精度、高速度的要求，所以被更多地用在精密工業(yè)機(jī)器人與空間領(lǐng)域，這些機(jī)構(gòu)通常是高度非線性且剛?cè)狁詈系膭恿W(xué)系統(tǒng)。產(chǎn)生的大量彈性振動大大降低了定位精度與穩(wěn)定性。如何建立準(zhǔn)確的動力學(xué)模型并且有效抑制臂桿的彈性振動從而達(dá)到更高的控制精度成為了國內(nèi)外研究者的難題。

建立柔性臂動力學(xué)方程時，文獻(xiàn)[2]發(fā)現(xiàn)，對均勻臂桿采用有限元法計(jì)算效率更高，但對于復(fù)雜程度較高的結(jié)構(gòu)，常常難以求解動力學(xué)方程。文獻(xiàn)[3]發(fā)現(xiàn)集中質(zhì)量法條理清晰但常常難以滿足高精度要求。柔性臂在高速旋轉(zhuǎn)情況下，旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的附加彎矩會對臂桿單元的彎曲變形起到抑制作用發(fā)生動力剛化效應(yīng)。動力學(xué)建模時，經(jīng)常附加動力剛度項(xiàng)。拉格朗日方程形式簡便利于高速求解，目前將柔性臂看成簡支梁，根據(jù)拉格朗日方程建立動力學(xué)方程的方法較為常見[4]。

機(jī)械臂抑振主要從控制算法與規(guī)劃軌跡兩個方面進(jìn)行研究[1]。傳統(tǒng)單一算法很難直接用在柔性機(jī)器人上，文獻(xiàn)[5]采用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PD控制方法研究柔性機(jī)器人。文獻(xiàn)[8]采用力矩反饋控制方法對柔性機(jī)械臂進(jìn)行抑振研究。文獻(xiàn)[10]把機(jī)械臂位移浮動值作為控制量并構(gòu)造多項(xiàng)式軌跡來對雙連桿柔性桿進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]將正弦-梯形基函數(shù)作為柔性臂關(guān)節(jié)角加速度來進(jìn)行抑振研究。

通過控制算法來抑制振動需要測量出柔性桿彈性振動的狀態(tài)變量，而軌跡規(guī)劃則不需要對路徑形狀進(jìn)行描述，只需要對起點(diǎn)和終點(diǎn)的位姿進(jìn)行規(guī)劃[9]。抑振的效果上來看，規(guī)劃角加速度是更加直接有效的方法。為此，科研人員考慮動力剛化效應(yīng)，建立了末端含負(fù)載的動力學(xué)模型，以末端振動作為優(yōu)化對象，用多項(xiàng)式插值結(jié)合正弦-梯形疊加基函數(shù)構(gòu)造出了新的角加速度規(guī)劃函數(shù)，通過規(guī)劃機(jī)械臂角加速度來進(jìn)行振動抑制研究。分別以五次多項(xiàng)式插值函數(shù)和優(yōu)化角加速度規(guī)劃函數(shù)作為輸入進(jìn)行數(shù)值仿真對比研究。

2 動力學(xué)模型建立

2.1 假設(shè)模態(tài)法

柔性臂的振動分為桿沿桿方向的縱向振動與垂直于桿方向的橫向振動和扭曲振動。當(dāng)柔性桿件是細(xì)長桿或扁平長桿時，往往看成是歐拉伯努利梁，忽略剪切和扭曲給梁帶來的變形，只考慮彎曲變形，簡支梁是歐拉-伯努利梁中的一種。將柔性臂看成簡支梁，梁的變形，如圖1所示。

圖1 梁的變形Fig.1 Beam Deformation

簡支梁振型函數(shù)為：

由于振動量主要由低階振動決定，為了簡化計(jì)算通常還要進(jìn)行截?cái)嗵幚?，即將梁的變形簡化為：式中：n—保留模態(tài)數(shù)或者簡稱模態(tài)數(shù)，在柔性臂建模過程中一般

取前兩階。兩連桿振動變形v1和v2可簡化描述為：

2.2 建立線性模型

對雙連桿柔性臂采用割線坐標(biāo)法描述，如圖2所示。

圖2 雙連桿柔性臂模型Fig.2 Two-link Flexible Arm Model

圖中：xoy—基礎(chǔ)坐標(biāo)系，x1oy1和x2o1y2為漂浮坐標(biāo)系；θ1、θ2—關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；L1、L2—虛擬剛性臂長度；m1、m2—末端負(fù)載；M1、M2—柔性桿質(zhì)量；v1、v2—柔性桿橫向振動變形；ρ1、ρ2—線密度；A1、A2—橫截面積。

兩柔性桿上任意點(diǎn)P1、P2在xoy中的坐標(biāo)為：

可得兩連桿柔性臂的動能表達(dá)式為：

v1和v2參考（3）近似取兩階模態(tài)，得彈性勢能表達(dá)式為：

將T，V代入拉格朗日方程得：

采用懸臂梁二階模態(tài)，代入式（7）得動力學(xué)方程：

式中：q—廣義坐標(biāo)向量；Q—兩輸入轉(zhuǎn)矩；M—慣性矩陣；H—哥氏力和離心力項(xiàng)；K—剛度矩陣；B—輸入矩陣；G—重力項(xiàng)。柔性臂在水平面運(yùn)動，重力勢能不變，所以重力項(xiàng)G為0。

在計(jì)算時候應(yīng)該注意，關(guān)節(jié)O（1肘關(guān)節(jié)）處的驅(qū)動力矩的作用是使兩桿的相對夾角發(fā)生變化，出現(xiàn)在動力學(xué)方程中的θ1、θ2為絕對角度，因此例如對應(yīng)于θ1的廣義力為Q1-Q2，而不是Q1。

2.3 建立動力剛化模型

現(xiàn)有關(guān)于機(jī)械臂耦合作用的研究中，大多沒有考慮高速旋轉(zhuǎn)帶來的剛化效應(yīng)。柔性臂桿的縱向變形會使橫向變形減小，這是導(dǎo)致柔性臂產(chǎn)生動力剛化的原因。結(jié)合式（5）與式（6），Hamilton變分原理可以表示為：

式中：L—Lagrange函數(shù)；Wτ—外力所做虛功（i≠j）。由式（9）可以導(dǎo)出：

式中：ρ—臂桿線密度；c—點(diǎn)P到中心O的距離；x—單位質(zhì)量dm到點(diǎn)P的距離；L—臂桿長度。傳統(tǒng)線性模型是通過對式（10）簡化得到，其方程為：

對v分離變量處理，設(shè)：

將其代入式（11）并將φ和q移到方程兩邊，可得：

式中：ω—臂桿振動頻率，式（11）邊界條件可簡化為：

式（13）可以轉(zhuǎn)化為：

式中：φi、φj—第i階振動陣型、第j階振動陣型；ωi、ωj—第i階振動頻率、第j階振動頻率。將φi代入式（15），并在兩邊同時乘以φj積分可得：

結(jié)合邊界條件式（14）可得：

同理得：

式（17）減去式（18）可得：

可得臂桿模態(tài)滿足正交性，變形v可以表示為：

式中：φ—臂桿的模態(tài)向量；q—模態(tài)坐標(biāo)。將式（21）代入式（10），兩邊同乘φ進(jìn)行積分，再結(jié)合式（16）與式（20）正交性化簡可得：

構(gòu)造附加的動力剛度項(xiàng)，通過考慮運(yùn)動中臂桿梁的軸向力對橫向彈性振動產(chǎn)生的影響，計(jì)入動力剛化的影響，建立了考慮柔性臂動力剛化效應(yīng)的動力學(xué)方程。

2.4 動力學(xué)模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建立模型的有效性，對建立的模型進(jìn)行動力學(xué)求解，為了保證柔性臂處于相同環(huán)境，兩桿各個參數(shù)取和文獻(xiàn)[7]完全相同的值。設(shè)定參數(shù)：兩桿臂長L1=L2=0.75m，兩連桿質(zhì)量M1=1.4kg、M2=1.4kg，連桿剛度E1I1=1220N·m、E2I2=218N·m，載荷質(zhì)量m1=2.5kg、m2=2.75kg，兩桿橫截面積分別為A1=60×15×10-6m2、A2=40×10×10-6m2。

假設(shè)初始時刻，柔性臂水平放置，關(guān)節(jié)夾角為零，變形為零，初始條件：在0時刻角度和角速度都為0。關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角隨時間變化θ和兩桿中點(diǎn)變形v1、v2仿真結(jié)果，如圖3所示。

圖3 仿真驗(yàn)證Fig.3 Simulation

觀察圖3仿真結(jié)果變化情況并與文獻(xiàn)[7]中的仿真結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比，對仿真結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，動力學(xué)方程附加動力剛化項(xiàng)后，從兩桿轉(zhuǎn)角隨時間的變化和兩桿中點(diǎn)變形情況來看，總體變化趨勢以及具體數(shù)值基本一致?？梢源_定所建動力學(xué)模型可以較為準(zhǔn)確地反映出柔性臂的動力學(xué)情況，可以用于進(jìn)行加速度軌跡規(guī)劃。

3 軌跡規(guī)劃

柔性臂工作情況復(fù)雜，為了保證任務(wù)順利完成，應(yīng)提前對其進(jìn)行合理的路徑軌跡規(guī)劃。軌跡規(guī)劃是為了使機(jī)械臂在運(yùn)動時，獲得平滑連續(xù)的角加速度且峰值盡量小，避免剛性沖擊，減小機(jī)械臂的彈性振動，提高末端精度[9]。

3.1 常規(guī)軌跡規(guī)劃

進(jìn)行規(guī)劃時，起始位置與終止位置的位姿需要進(jìn)行設(shè)定，計(jì)算出各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的起始角度。采用五次多項(xiàng)式插值軌跡規(guī)劃使計(jì)算更加簡便，只需保證在時間區(qū)間內(nèi)機(jī)械臂各個位移、速度、加速度連續(xù)。在運(yùn)動過程中，設(shè)定末端P點(diǎn)在0時刻起始位置是θ0，在tf時的終止位置是θf，兩點(diǎn)間存在多條插值曲線，假設(shè)五次多項(xiàng)式插值函數(shù)為：

為保證平穩(wěn)運(yùn)動，軌跡函數(shù)需要滿足以下條件：

則可求得五次多項(xiàng)式系數(shù)c0、c1、c2、c3、c4、c5的值。假定機(jī)械臂末端運(yùn)動軌跡為一個正圓，水平位置作為初始位置，經(jīng)過6π秒，機(jī)械臂末端正好轉(zhuǎn)過一周。

3.2 加速度優(yōu)化軌跡規(guī)劃

單一曲線規(guī)劃都會產(chǎn)生剛性或柔性沖擊，難以滿足要求，需要將多類曲線疊加構(gòu)造成新的規(guī)劃曲線。五次多項(xiàng)式軌跡計(jì)算簡單，但往往峰值較大，會伴隨較大的沖擊振動。正弦-梯形曲線光滑且連續(xù)，伴隨產(chǎn)生的沖擊也較小，但需選擇合適的系數(shù)aNi計(jì)算較為繁瑣，因此選擇合適的階次n并且結(jié)合五次插值多項(xiàng)式，這樣就能夠獲得幅值增加不大同時又較為平滑的加速度曲線函數(shù)，通過減小慣性力使臂桿能夠平穩(wěn)、精確的到達(dá)指定位置[9]。構(gòu)造正弦-梯形函數(shù)（ft）：

正弦-梯形基函數(shù)疊加公式為：

式中：-1≤ani≤1，選擇合適的階次n將正弦-梯形函數(shù)與五次多項(xiàng)式相結(jié)合，因?yàn)槲宕味囗?xiàng)式求加速度所得為三次多項(xiàng)式，取a0=2c2、a1=6c3、a21=12c4、a22=20c5，可以通過調(diào)節(jié)T1、T2和H的值來得到各種函數(shù)，從而能夠疊加出不同的規(guī)劃加速度函數(shù)曲線來滿足機(jī)械臂運(yùn)動要求。

角加速度疊加規(guī)劃曲線為：

4 仿真及結(jié)果分析

4.1 仿真計(jì)算

為了研究不同規(guī)劃曲線對柔性臂桿的抑振效果，依據(jù)上述動力學(xué)方程，分別以五次多項(xiàng)式規(guī)劃函數(shù)和角加速度疊加規(guī)劃函數(shù)作為輸入進(jìn)行仿真。

仿真數(shù)據(jù)：L1=1.5m、L2=1.5m，m1=6kg、m2=6kg，M1=1.4kg、M2=0.62kg，A1=60×15×10-6m2，A2=40×10×10-6m2，E1I1=1220N·m、E2I2=218N·m，H=2，T1=2，T2=4π，T=6π。假定P點(diǎn)的軌跡為半徑1m的圓，π起始位置為水平方向。則五次多項(xiàng)式規(guī)劃函數(shù)為：

疊加角加速度規(guī)劃函數(shù)為：

由于已知運(yùn)動規(guī)劃軌跡即各個關(guān)節(jié)的角加速度，要求解柔性臂振動情況，需要對所建立的動力學(xué)方程進(jìn)行逆向求解，動力學(xué)方程復(fù)雜且高度非線性，很難求得解析解，因此利用matlab來求其數(shù)值解。

將加速度規(guī)劃函數(shù)先代入式（22）求出兩桿的模態(tài)坐標(biāo)a1、b1、a2、b2。運(yùn)用matlab中的ode45進(jìn)行求解，首先建立各個系數(shù)矩陣的自定義函數(shù)，然后設(shè)置[t，y]=ode45（@mydy，tspan，y0），y0即為t=0時刻規(guī)劃函數(shù)的數(shù)值，求解時間范圍為0到12π。

其中0到6π輸入加速度為規(guī)劃函數(shù)，6π到12π輸入調(diào)為0，觀察停止驅(qū)動后的柔性臂桿殘余振動情況。

將五次多項(xiàng)式插值規(guī)劃函數(shù)和優(yōu)化角加速度函數(shù)作為輸入分別進(jìn)行仿真求解?？梢缘玫綌?shù)值解，插值規(guī)劃所得數(shù)值解，如圖4所示。優(yōu)化角加速度規(guī)劃所得數(shù)值解，如圖5所示。

圖5 優(yōu)化角加速度規(guī)劃Fig.5 Optimize Angular Acceleration

4.2 結(jié)果分析

從模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)來看，不論哪種規(guī)劃所得模態(tài)響應(yīng)，一階模態(tài)響應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大過二階模態(tài)響應(yīng)，符合振動描述時低階模態(tài)起主要作用的理論[9]，所以在柔性臂建模中一般取前兩階模態(tài)。

從兩種規(guī)劃函數(shù)所得模態(tài)坐標(biāo)來分析，疊加角加速度函數(shù)所得的每根桿的各階模態(tài)響應(yīng)與對應(yīng)五次插值所得模態(tài)響應(yīng)相比都有大幅度降低。其中桿1的二階模態(tài)和桿2的一、二階模態(tài)在不同基函數(shù)規(guī)劃下都相差了不止10倍，而桿1的一階模態(tài)更是相差了約100倍，這是因?yàn)樵趶椥哉駝又幸浑A模態(tài)響應(yīng)起主要作用，并且O（1肘關(guān)節(jié)）處的驅(qū)動力矩作用是使兩桿的夾角發(fā)生相對變化，所以在進(jìn)行抑振優(yōu)化時，效果也更為明顯。從桿中點(diǎn)彈性振動情況上看，經(jīng)過疊加優(yōu)化后桿1和桿2的彈性振動以及停止驅(qū)動后的殘余振動都得到了大幅度的抑制。與五次多項(xiàng)式規(guī)劃相比，角加速度經(jīng)過疊加規(guī)劃后，末端振動大幅度減小。由此可以證明疊加角加速度規(guī)劃方法，可以有效抑制柔性臂桿振動。

5 結(jié)論

（1）利用Hamilton變分原理建立微分方程，用假設(shè)模態(tài)法描述柔性桿變形，考慮桿的橫向變形對縱向變形的影響，推導(dǎo)出含附加動力剛化項(xiàng)的動力學(xué)方程。對傳統(tǒng)的零次模型進(jìn)行了完善，可用于高速旋轉(zhuǎn)的柔性桿系統(tǒng)分析研究。新建的動力學(xué)模型可以較為準(zhǔn)確地描述和反映出柔性桿臂動態(tài)特性，為進(jìn)一步的加速度規(guī)劃和振動抑制研究奠定基礎(chǔ)。

（2）將振動抑制問題轉(zhuǎn)變?yōu)闇p小桿臂模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)問題，通過對比不同規(guī)劃情況下的前兩階模態(tài)坐標(biāo)得出抑振效果，使研究過程以具體化、數(shù)據(jù)化的形式呈現(xiàn)。

（3）將優(yōu)化角加速度規(guī)劃應(yīng)用于所建動力學(xué)模型，與五次多項(xiàng)式規(guī)劃相比，振動抑制效果更加良好。減小了振動沖擊，使柔性臂各個關(guān)節(jié)能連續(xù)平穩(wěn)運(yùn)行，提高了定位精度。

（4）在五次多項(xiàng)式插值規(guī)劃下，所求角加速度為三次多項(xiàng)式，將三次多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)作為正弦-梯形疊加函數(shù)的系數(shù)，將五次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃與正弦-梯形基函數(shù)相結(jié)合，通過調(diào)整基函數(shù)幅值與變化周期，構(gòu)造出幅值較小且平滑新的關(guān)節(jié)角優(yōu)化角加速度。新的規(guī)劃角加速度既融合了多項(xiàng)式規(guī)劃的計(jì)算簡便易操作特點(diǎn)，又結(jié)合了正弦-梯形疊加函數(shù)，使獲得的角加速度連續(xù)且平緩。

（5）研究中所用的動力學(xué)模型都是建立在理想情況下，實(shí)際中很難獲得準(zhǔn)確的數(shù)值。僅從原理上證明了方法的有效性。但由于參數(shù)誤差客觀存在，結(jié)合實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究會更加接近實(shí)際情況。