范俊鍇 原永亮

摘? 要? 研究生專業(yè)課程建設(shè)以及教學(xué)模式的優(yōu)化是保證研究生培養(yǎng)質(zhì)量的重要途徑。對(duì)于工科研究生，特別是機(jī)械、土木等專業(yè)研究生來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)與有限元是其主干必修課程。該門課程具有理論性強(qiáng)、交叉知識(shí)點(diǎn)多和專業(yè)基礎(chǔ)要求高的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的授課方法難以取得良好的教學(xué)效果。案例教學(xué)突破了傳統(tǒng)教學(xué)中以教為主的教學(xué)思路，通過(guò)課程案例將抽象理論具體化，且能夠?qū)崿F(xiàn)教師與學(xué)生的雙向交流，為解決該課程的教學(xué)難題提供新的思路。對(duì)案例教學(xué)在研究生彈性力學(xué)與有限元課程教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行剖析，并通過(guò)具體案例驗(yàn)證案例教學(xué)在該課程中的優(yōu)勢(shì)。與課程教學(xué)內(nèi)容和研究生培養(yǎng)目標(biāo)相匹配，提出該課程的案例庫(kù)建設(shè)思路和具體案例構(gòu)成，對(duì)于提升教學(xué)質(zhì)量具有重要意義。

關(guān)鍵詞? 彈性力學(xué)與有限元；案例教學(xué)模式；研究生；案例庫(kù)

中圖分類號(hào)：G643.2? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2022）22-0093-05

0? 引言

當(dāng)前我國(guó)研究生教育高速發(fā)展，研究生招生人數(shù)逐年提升，如何有效保證研究生教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生對(duì)于專業(yè)知識(shí)的理解吸收以服務(wù)于后期科研能力的培養(yǎng)，成為研究生教育中的重點(diǎn)內(nèi)容。

彈性力學(xué)與有限元是當(dāng)前機(jī)械類研究生的主干課程，與研究生后期的科研緊密相連。該課程綜合了彈性力學(xué)與有限元兩部分內(nèi)容，它們之間既有緊密的聯(lián)系，也有很大的區(qū)別：彈性力學(xué)主要基于各種假設(shè)條件和力學(xué)模型而得到解析解，側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建力學(xué)模型的能力；有限元?jiǎng)t基于數(shù)值計(jì)算方法獲得所求解問(wèn)題的數(shù)值解，側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于具體問(wèn)題的數(shù)值求解能力。

彈性力學(xué)和有限元綜合了以上兩部分內(nèi)容的特點(diǎn)，具有理論性強(qiáng)、交叉知識(shí)點(diǎn)多和抽象化的教學(xué)難題。針對(duì)該課程的特點(diǎn)，目前已經(jīng)提出可視化教學(xué)[1]、課程論文[2]、參與式教學(xué)[3]等教學(xué)模式，但對(duì)于研究生的課程教學(xué)模式探索還鮮有涉及。

案例教學(xué)模式最早被應(yīng)用于商業(yè)教學(xué)中[4]，由于其能夠改變傳統(tǒng)的教師單向?qū)⒅R(shí)傳授給學(xué)生的方式，使學(xué)生在真實(shí)的情境中開(kāi)拓思維能力，提升創(chuàng)新意識(shí)[5-6]，與研究生的課程培養(yǎng)目標(biāo)高度契合，近年來(lái)在工科研究生教學(xué)中受到高度關(guān)注。例如：王洪生[7]分析了當(dāng)前我國(guó)專業(yè)學(xué)位研究生課程教學(xué)中的不足，并提出研究生課程案例教學(xué)的實(shí)施思路和注意事項(xiàng)；王家忠等[8]針對(duì)機(jī)械工程專業(yè)碩士研究生案例教學(xué)中出現(xiàn)的矛盾和問(wèn)題，提出相應(yīng)的解決方法；魏昕蓉[9]圍繞研究生案例教學(xué)模式，從案例教學(xué)模式構(gòu)成要素、作用機(jī)理、存在問(wèn)題和改進(jìn)措施等多個(gè)角度進(jìn)行研究。2015年，教育部[10]在借鑒國(guó)外先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上明確指出：加強(qiáng)案例教學(xué)，是強(qiáng)化專業(yè)學(xué)位研究生實(shí)踐能力培養(yǎng)，推進(jìn)教學(xué)改革，促進(jìn)教學(xué)與實(shí)踐有機(jī)融合的重要途徑，是推動(dòng)專業(yè)學(xué)位研究生培養(yǎng)模式改革的重要手段。

從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，基于機(jī)械類研究生的專業(yè)基礎(chǔ)能力，探究通過(guò)案例教學(xué)模式來(lái)解決教學(xué)中存在的問(wèn)題，通過(guò)具體案例來(lái)說(shuō)明案例教學(xué)在本門課程教學(xué)中的具體應(yīng)用方法和效果，并提出與該課程理論教學(xué)相配套的案例庫(kù)建設(shè)思路，對(duì)于提升本門課程的教學(xué)質(zhì)量具有重要的指導(dǎo)作用。

1? 課程教學(xué)現(xiàn)狀及存在的問(wèn)題

彈性力學(xué)與有限元具有理論性強(qiáng)的特點(diǎn)，課程教學(xué)中涉及大量的概念、公式推導(dǎo)，內(nèi)容抽象化強(qiáng)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的力學(xué)理論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，學(xué)生對(duì)于一些概念和公式的應(yīng)用場(chǎng)景模糊，難以建立明確的課程知識(shí)體系。隨著近年來(lái)研究生招生規(guī)模的擴(kuò)大，研究生的理論基礎(chǔ)總體上呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)，許多學(xué)生存在科研成績(jī)高，但本科知識(shí)體系弱、理論基礎(chǔ)差的特點(diǎn)。這些因素進(jìn)一步加劇了該課程培養(yǎng)目標(biāo)與傳統(tǒng)教學(xué)方式之間的矛盾。

在課程內(nèi)容上，彈性力學(xué)與有限元涵蓋了彈性力學(xué)和有限單元法兩部分主體內(nèi)容，這兩部分內(nèi)容既存在聯(lián)系也存在差別。對(duì)于一個(gè)具體的工程問(wèn)題，彈性力學(xué)為構(gòu)建模型的力學(xué)基礎(chǔ)，而有限元為求解該力學(xué)模型的有效工具，兩者之間存在緊密的關(guān)聯(lián)。目前，國(guó)內(nèi)關(guān)于彈性力學(xué)與有限元的教材較少，且普遍采用彈性力學(xué)在前、有限元在后的教材內(nèi)部排布方式，割裂了兩者之間的聯(lián)系。在課程目標(biāo)上，彈性力學(xué)與有限元應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生解決具體的工程問(wèn)題能力為教學(xué)目標(biāo)，而現(xiàn)有的課程內(nèi)容安排和教學(xué)模式均難以達(dá)到教學(xué)預(yù)期。如圖1所示，目前該課程在教學(xué)中存在的問(wèn)題主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：

1）部分研究生基礎(chǔ)較為薄弱，對(duì)于抽象的力學(xué)模型難以理解和重構(gòu)，彈性力學(xué)理論性強(qiáng)的特點(diǎn)導(dǎo)致學(xué)生缺少學(xué)習(xí)興趣；

2）對(duì)于研究生來(lái)說(shuō)，本課程教學(xué)的首要目的是能夠?qū)⑺鶎W(xué)內(nèi)容應(yīng)用于具體的問(wèn)題分析中，但傳統(tǒng)以理論為主的教學(xué)模式割裂了所學(xué)內(nèi)容與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系；

3）學(xué)生對(duì)于有限元軟件學(xué)習(xí)興趣高，但多是根據(jù)相關(guān)指導(dǎo)材料的按步操作，對(duì)于操作背后的理論知識(shí)不甚了解；

4）由于力學(xué)理論基礎(chǔ)薄弱，學(xué)生在有限元分析結(jié)果合理性判定方面能力較弱。

近年來(lái)的案例教學(xué)方法為解決以上問(wèn)題提供了新的思路：在一個(gè)具體的工程案例下，通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的解析，可以有效地將彈性力學(xué)知識(shí)和有限元技術(shù)有效結(jié)合起來(lái)，且彈性力學(xué)解析解和有限元數(shù)值解之間可以相互印證，從而進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2? 案例教學(xué)模式的應(yīng)用解析

對(duì)于彈性力學(xué)與有限元課程來(lái)說(shuō)，采用案例教學(xué)模式就是要打破傳統(tǒng)的兩部分內(nèi)容割裂的組織架構(gòu)，在具體的工程案例中將兩者有效地統(tǒng)一起來(lái)。在教學(xué)目標(biāo)上，彈性力學(xué)部分著重于基礎(chǔ)理論的推演和對(duì)有限元基礎(chǔ)理論的構(gòu)建，有限元部分則通過(guò)結(jié)果可視化特點(diǎn)深化對(duì)力學(xué)概念和基礎(chǔ)理論應(yīng)用邏輯的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而構(gòu)成閉環(huán)的課程目標(biāo)體系，如圖2所示。在課堂教學(xué)中，首先采用傳統(tǒng)的教學(xué)模式引入課程內(nèi)容，而后通過(guò)具體的工程案例引導(dǎo)學(xué)生使用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析和求解，所引入工程案例的重點(diǎn)和難點(diǎn)要與所講授的課程內(nèi)容高度重合，以提升學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)理論和應(yīng)用場(chǎng)景的理解。在教學(xué)安排上，通過(guò)分組討論的形式，讓學(xué)生之間、學(xué)生與教師之間對(duì)于相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入交流，加深對(duì)于關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的理解。

以彈性力學(xué)中的圣維南原理為例，該原理是力學(xué)模型中邊界條件簡(jiǎn)化的一種重要方法，但其使用需要滿足特定的模型條件。同時(shí)，該原理目前尚沒(méi)有有效的理論證明，僅為力學(xué)問(wèn)題的文字描述，在傳統(tǒng)教學(xué)模式下很難使學(xué)生有清晰的理解。針對(duì)該部分內(nèi)容，采用案例教學(xué)的形式，充分利用有限元的結(jié)果可視化特征，能夠?qū)崿F(xiàn)良好的教學(xué)效果。

在教材中，圣維南原理一般表述為：如果作用在彈性體一小塊表面上的力被作用于同一塊表面上的靜力等效力系替代，這種替換僅使局部表面產(chǎn)生顯著的應(yīng)力變化，而在比應(yīng)力變化表面的線性尺寸更遠(yuǎn)的地方，其影響可忽略不計(jì)。依據(jù)該原理的文字描述，可建立圖3所示三個(gè)對(duì)照有限元案例模型。三個(gè)有限元模型的左端均采用對(duì)稱邊界條件，而右端則分別采用均布力、拋物線變化力和集中力，但右端力的總和相等。有限元分析云圖結(jié)果直觀地表明，雖然三個(gè)模型右端力的形式不同，但模型中間位置的圓孔周圍應(yīng)力相同。模型右端不同力學(xué)形式的影響僅集中在模型右端一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)。進(jìn)一步提取模型位移場(chǎng)的流線結(jié)果，可以更加直觀地看到模型右端載荷在模型內(nèi)部的均勻化過(guò)程。

通過(guò)該案例，圣維南定理的有效性和適用條件得以直觀展現(xiàn)，通過(guò)分組討論和相互交流，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)該原理的理解。同時(shí)，有限元結(jié)果可視化的特點(diǎn)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效保證教學(xué)效果。

3? 課程案例庫(kù)建設(shè)路徑

建立教學(xué)案例庫(kù)是案例教學(xué)的核心內(nèi)容，所選擇的教學(xué)案例必須充分把握課程的內(nèi)容安排和教學(xué)邏輯。在以培養(yǎng)研究生解決具體工程問(wèn)題能力為教學(xué)目標(biāo)的前提下，彈性力學(xué)與有限元課程應(yīng)根據(jù)彈性力學(xué)和有限元的關(guān)聯(lián)邏輯，在內(nèi)容深度上采用層層遞進(jìn)的策略建立系統(tǒng)的課程案例庫(kù)。

基于本課程的特點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)，案例庫(kù)的構(gòu)建邏輯如圖4所示。案例庫(kù)以彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)作為基礎(chǔ)，通過(guò)彈性力學(xué)中的位移解法，引入有限元理論?；趶椥粤W(xué)對(duì)具體的工程問(wèn)題進(jìn)行力學(xué)模型抽取，結(jié)合有限元理論，建立有限元模型。通過(guò)具體的有限元模型，探究具體有限元案例的求解策略。同時(shí)，通過(guò)有限元結(jié)果可視化技術(shù)，與彈性力學(xué)理論解進(jìn)行相互印證，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解。課程案例庫(kù)構(gòu)建的最終目標(biāo)是要實(shí)現(xiàn)學(xué)生針對(duì)具體的工程問(wèn)題，能夠以彈性力學(xué)為基礎(chǔ)理論，構(gòu)建有限元分析模型，并通過(guò)適當(dāng)?shù)那蠼獠呗缘玫綔?zhǔn)確的有限元分析結(jié)果。

基于以上案例庫(kù)構(gòu)建邏輯，本門課程所建立的案例庫(kù)如圖5所示。該案例庫(kù)在課程目標(biāo)上涵蓋了力學(xué)模型抽取、有限元模型構(gòu)建、有限元求解策略、分析結(jié)果評(píng)定和工程問(wèn)題求解等五個(gè)主題。每個(gè)主題均包含多個(gè)案例，每個(gè)案例突出解決在該課程中的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。同時(shí)，該案例庫(kù)還充分考慮了本校研究生的研究領(lǐng)域，以提升研究生采用本門課程知識(shí)點(diǎn)解決具體科研問(wèn)題的能力。

4? 結(jié)束語(yǔ)

在以提升研究生科研能力為教學(xué)目標(biāo)的背景下，對(duì)于彈性力學(xué)與有限元課程，傳統(tǒng)教學(xué)模式的弊端愈發(fā)明顯，采用案例教學(xué)模式可以為該門課程的教學(xué)提供新的思路。通過(guò)具體的工程案例，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，更能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)于相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用，符合研究生的培養(yǎng)目標(biāo)。當(dāng)前，彈性力學(xué)與有限元課程案例教學(xué)模式還處于探索階段，繼續(xù)豐富和挖掘該門課程案例教學(xué)的課程體系，是持續(xù)提升課程教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。

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*基金項(xiàng)目：河南理工大學(xué)2020年度研究生案例庫(kù)課程建設(shè)項(xiàng)目“《彈性力學(xué)與有限元技術(shù)》案例庫(kù)”（2020YAL06）。

作者：范俊鍇，河南理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，講師，博士，研究方向?yàn)榻饘贇浯嗉皵?shù)值模擬技術(shù)；原永亮，通信作者，河南理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，講師，博士，研究方向?yàn)槎鄬W(xué)科協(xié)同優(yōu)化及數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)技術(shù)（454000）。