黃麗瓊，王園園

(1.商洛學院數(shù)學與計算機應用學院，陜西 商洛 726000；2.商洛學院電子信息與電氣工程學院，陜西 商洛 726000)

0 引言

輸出調(diào)節(jié)問題是當前切換系統(tǒng)輸出控制的關(guān)鍵性問題之一，一般通過設(shè)計反饋控制器消除外界干擾。然而，由于切換系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng)，容易受到外界環(huán)境影響，存在系統(tǒng)穩(wěn)定性差的問題。因此，離散切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性與反饋問題是切換系統(tǒng)理論研究的重要內(nèi)容，除了強線性分析方法之外，在離散切換系統(tǒng)中，漸近式子系統(tǒng)的穩(wěn)定運行仍是一個難點。為此，需控制離散線性切換系統(tǒng)。

文獻[1]提出了基于平均駐留時間的反饋控制方法，該方法通過控制切換輸出反饋控制器和對切控制器控制離散線性切換系統(tǒng)，該系統(tǒng)在每次切換時，都要執(zhí)行復位操作，以保證每一個切換時刻的狀態(tài)都能實時地控制系統(tǒng)輸出結(jié)果，解決了切換系統(tǒng)輸出的調(diào)節(jié)問題。文獻[2]提出的基于切換原理的反饋控制方法，把刷新時間間隔作為延時變量，并將其轉(zhuǎn)化為動態(tài)數(shù)據(jù)，實現(xiàn)不同子系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)切換，保證輸出結(jié)果趨于穩(wěn)定。上述2種方法受到外界環(huán)境干擾，導致控制效果不佳，因此，提出了干擾輸入影響下離散線性切換系統(tǒng)的反饋控制方法。

1 離散線性切換系統(tǒng)分析

離散線性切換系統(tǒng)運行時，系統(tǒng)的控制層和輸入層決定了系統(tǒng)輸出結(jié)果，并且在該過程中，各個子系統(tǒng)在同一時間內(nèi)只能激活1個子系統(tǒng)。因此，子系統(tǒng)的輸入信號切換性能是決定整個系統(tǒng)的關(guān)鍵因素[3]。設(shè)定矩陣為對稱正定矩陣，描述離散線性切換系統(tǒng)，即

x(k+1)=Aλ(k)x(k)+Bλ(k)u(k)+ω(k)

(1)

x(k)為離散線性切換系統(tǒng)輸入狀態(tài)；u(k)為離散線性切換系統(tǒng)控制輸入；ω(k)為干擾輸入；Aλ(k)、Bλ(k)均為常數(shù)矩陣；λ(k)為依賴于離散線性切換系統(tǒng)輸入狀態(tài)x(k)的切換信號[4-5]。由此構(gòu)建的離散線性切換系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 離散線性切換系統(tǒng)

由圖1可知，該系統(tǒng)的切換穩(wěn)定性不僅受到激活子系統(tǒng)影響，還受到切換規(guī)則的限制[6]。在整個信號切換過程中，一旦選擇的切換規(guī)則不當，就會導致整個切換系統(tǒng)不穩(wěn)定[7]。

基于上述系統(tǒng)，設(shè)定2種情況：

a.離散線性切換信號是唯一的。

如果外部干擾是存在的，則干擾信號ω(k)輸入需滿足

ω(k)Tω(k)≤Z

(2)

其中，Z≥0為常數(shù)。

b.離散線性切換信號是任意的。

如果外部干擾是不存在的，則離散線性切換系統(tǒng)可表示為

x(k+1)=Aλ(k)x(k)+Bλ(k)u(k)

(3)

充分考慮上述2種情況，設(shè)計線性切換狀態(tài)下的反饋控制器，即

(4)

分析所有可能影響系統(tǒng)的切換序列，判斷其穩(wěn)定條件，這對系統(tǒng)的反饋控制具有重要影響[8]。

2 基于輸出反饋的魯棒鎮(zhèn)定控制研究

2.1 輸出反饋的問題描述

在干擾輸入影響下的離散線性切換系統(tǒng)是一個動態(tài)切換過程，被控對象描述為

(5)

Cλ為常數(shù)矩陣；Sc為被控對象。假設(shè)被控對象在kT+tik時延下采集到的輸入信號為u(kT+tik),i=1,2,…,p，經(jīng)過零階保持器處理后，能夠產(chǎn)生一個連續(xù)信號u(t)，即為被控對象的輸入信號[9]。零階保持器在信號處理過程中，能夠保持刷新時間不變[10]。

結(jié)合離散線性切換系統(tǒng)實際應用情況，簡化信號非統(tǒng)一輸入過程，詳細內(nèi)容為：

a.實際上在不均勻輸入過程中，輸入信號一般具有時滯性，當前輸入信號與過去的歷史信號是相關(guān)的，即

u(kT+tik)=u(kT-ZT)

(6)

為了計算方便，Z取整數(shù)；T為輸入周期。

b.產(chǎn)生的連續(xù)信號，可表示為

(7)

其中，τk為刷新時間，也是時延。

c.輸入周期是由N個最小周期T0組成的，可表示為

T0=T/N

(8)

由式(8)可知，零階保持器HΓ存在固有的刷新周期。

上述3點在實際不均勻輸入系統(tǒng)中是常見的，如離散線性切換系統(tǒng)的延遲、切換時的信號交換延遲等[11]。

2.2 切換過程分析

通過描述輸出反饋的問題可知，時延變化范圍為0≤τk≤T，在任意切換時間內(nèi)，都存在2個控制量，分別為u(kT)和u(kT-T)，將這2個控制量同時作用于被控對象，由此得到的控制信號時序，如圖2所示。

圖2 控制信號時序

由圖2可知，控制信號u(k)經(jīng)過時延τk=t1-kT后，到達零階保持器端，零階保持器在kT+3T0時間范圍內(nèi)讀取輸入值，將u(k-1)更新為u(k)[12]。

針對任意k>0的輸入值，將u(kT)和u(kT-T)這2個控制量同時作用于被控對象，作用的時間分別為n0(k)T0和n1(k)T0，則有

(9)

n1(k)值與時延大小有關(guān)。對式(9)進行離散化處理時，應充分考慮時延大小，離散線性切換模式的2個輸入矩陣與n1(k)和n0(k)大小有關(guān)[13]。當離散線性切換模式具有多變性時，說明n1(k)和n0(k)的值不一致；當離散線性切換模式具有唯一性時，說明n1(k)和n0(k)的值一致[14]。因此，式(9)可視為子系統(tǒng)數(shù)目有限的切換系統(tǒng)[15]。

2.3 反饋控制流程設(shè)計

2.3.1 降階控制律設(shè)計

為了使離散線性切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，設(shè)計了降階控制律，使其具有加權(quán)增益性能。假設(shè)α為系統(tǒng)的切換信號，[t1,t2]為時間間隔，Nα(t1,t2)為切換次數(shù)。

對于任意條件N0≥1，τa>0，則有

(10)

τa為平均駐留時間；N0為活動界限。

2.3.2 有限時間鎮(zhèn)定反饋控制

通過構(gòu)造一階輸出反饋律，設(shè)計干擾輸入影響下的有限時間鎮(zhèn)定反饋控制方案。在離散線性切換系統(tǒng)切換過程中，由于離散線性切換系統(tǒng)受到外部環(huán)境的干擾，會產(chǎn)生延遲和丟包現(xiàn)象。

以下是通過緩沖器的信號與信號是否傳輸成功之間的關(guān)系，即

(11)

(12)

假定對切換系統(tǒng)作出如下假設(shè)：

a.時延小于系統(tǒng)的切換周期。

b.以時間驅(qū)動方式，保持切換周期一致。

c.在切換過程中，信號可能隨時出現(xiàn)丟失情況，且信號丟失情況一般存在上界。

在假設(shè)條件下，若存在對稱矩陣，則S>0；如果存在變量代換矩陣Y，則實數(shù)γ≥1，則有

(13)

因此，狀態(tài)反饋控制器可以用離散線性切換系統(tǒng)來表示為

u′(k)=YS-1x(k)

(14)

在式(14)下，離散線性切換系統(tǒng)處于有限時間穩(wěn)定狀態(tài)。

3 仿真實例

設(shè)考慮被控對象為

(15)

采樣周期為10 ms，將采樣周期均等分為10份，每份為1 ms，控制器可表示為

(16)

假設(shè)控制器工作的最大時延為4 ms，輸入5種輸入信號時延的取值情況，即τ(k)∈{0,1,2,3,4}，也說明離散線性切換系統(tǒng)存在5個子系統(tǒng)。用Sci(i=0,1,2,3,4)表示這5個子系統(tǒng)，對應的輸入矩陣都是由n1(k)和n0(k)決定的，相應的取值依次為[0 10]，[1 9]，[2 8]，[3 7]，[4 6]。

當時延為0時，Sc0為閉環(huán)采樣系統(tǒng)模型；當時延發(fā)生改變時，Sc1為閉環(huán)采樣系統(tǒng)模型。結(jié)合LMI的可行解問題解算器feasp，確定對稱矩陣的可行解，即

上述得到的解滿足輸入條件，即指數(shù)衰減率滿足最小解，因此，輸出反饋控制器能夠使離散線性切換系統(tǒng)保持穩(wěn)定，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 系統(tǒng)x1(k+1)輸出

圖4 系統(tǒng)x2(k+1)輸出

在圖3和圖4中，模擬結(jié)果顯示，系統(tǒng)明顯收斂到0，且是逐漸穩(wěn)定的，由此也說明在滿足切換條件下，離散線性切換系統(tǒng)輸出指數(shù)穩(wěn)定。

為了證明所研究方法的有效性，在最大時延6 ms情況下，輸入7種輸入信號時延的取值情況，τ(k)∈{0,1,2,3,4，5,6}，也說明離散線性切換系統(tǒng)存在7個子系統(tǒng)，與此對應的x1(k)、x2(k)響應曲線，如圖5所示。

圖5 最大時延上界為6 ms的控制情況

由圖5可知，x1(k)、x2(k)輸出指數(shù)呈負線性相關(guān)關(guān)系，在時間為0～100 s時，x1(k)輸出指數(shù)變化范圍為0.10～0，x2(k)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10～0。在時間為100～300 s時，x1(k)、x2(k)輸出指數(shù)一致，均為0，趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

基于此，分別使用平均駐留時間的反饋控制方法、基于切換原理的反饋控制方法和基于輸出反饋的魯棒鎮(zhèn)定控制研究方法，對比分析x1(k+1)、x2(k+1)響應曲線變化情況，如圖6所示。

圖6 3種方法x1(k+1)、x2(k+1)響應曲線變化對比

由圖6可知，使用平均駐留時間的反饋控制方法，在時間為0～300 s時，x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10～-0.02，x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10～0.02，相交點為100 s，此時x1(k+1)、x2(k+1)輸出指數(shù)均為0；使用基于切換原理的反饋控制方法，在時間0～300 s時，x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10～0，x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10～0，相交點為150 s，此時x1(k+1)、x2(k+1)輸出指數(shù)均為0；使用基于輸出反饋的魯棒鎮(zhèn)定控制方法，在時間為0～300 s時，x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10～0，x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10～0，相交點為100 s，與實際最大時延上界為6 ms的控制情況一致，說明使用該方法反饋控制效果較好。

4 結(jié)束語

本文提出了一種用于求解具有平均停留時間的切換離散線性內(nèi)容的降階控制律，將控制問題引入到綜合控制問題中，并在統(tǒng)一的框架下建立了具有保證穩(wěn)定性和最佳加權(quán)增益性能的降階控制器。