黃建平，朱德凱，李星星，楊秀麗

（臺州學院 電子與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

0 引言

500 m口徑球面射電望遠鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，F(xiàn)AST）的工作原理是：FAST在反射面板調(diào)節(jié)約束下，確定一個理想拋物面，將反射面通過促動器徑向伸縮量的調(diào)節(jié)變?yōu)楣ぷ鲯佄锩?獲得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果，從而將來自目標天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域。為了獲得盡可能理想的拋物面，提高饋源艙的信號接收效果，本文主要考慮解決以下3個問題：

（1）當待觀測天體S位于基準球面正上方，即α=0°,β=90°時，結(jié)合考慮反射面板調(diào)節(jié)因素，確定理想拋物面。

（2）當待觀測天體S位于α=36.795°,β=78.169°時，確定理想拋物面。建立反射面板調(diào)節(jié)模型，調(diào)節(jié)相關(guān)促動器的伸縮量，使反射面盡量貼近該理想拋物面。

（3）基于問題2的反射面調(diào)節(jié)方案，計算調(diào)節(jié)后饋源艙的接收比，即饋源艙有效區(qū)域接收到的反射信號與300 m口徑內(nèi)反射面的反射信號之比，并與基準反射球面的接收比作比較。

1 模型的建立和求解

1.1 建模前的準備

1.1.1 理想凹面鏡的方程建立

從幾何光學得到理想凹面鏡的方程如下：

其定義域D為：x2+y2≤R2。進而確定該凹透鏡的焦點坐標F為（0，0，p/2）。

1.1.2 相鄰節(jié)點之間的變化

由于制程界限的限制，主索節(jié)點在徑向上可以發(fā)生±0.6 m的變化，而這種變化可能會使相鄰節(jié)點之間的距離發(fā)生一定的變化，從而導致最大形變量不會超過0.07%（這是一個硬性的技術(shù)指標）。經(jīng)驗證，±0.6 m的變化是安全的。具體方法是對一塊反射面板所在的三角網(wǎng)格進行形變分析，其形變情況如圖1所示。圖1左邊為三角網(wǎng)格的立體形變情況圖［1］，右邊為三角網(wǎng)格一條邊的最大形變情況圖。

圖1 三角網(wǎng)格形變情況圖

為了后續(xù)能夠充分利用主索節(jié)點±0.6 m的徑向變化，我們需要保證最大形變量能控制在0.07%內(nèi)。最大形變量的計算公式為：

式（2）中η即為形變量，其中l(wèi)、l′已在圖1中給出幾何意義，Δr為徑變化量。對于l的計算方法，采用每兩個主索節(jié)點之間距離的平均數(shù)，具體計算公式如下：

式（3）中的P代表節(jié)點坐標，N取2226。通過Matlab計算，可以得到最大形變量η=0.053%。

從結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，主索節(jié)點在徑向上變化±0.6 m，其形變量并不會超過0.07%，因此后述中不需要再考慮形變量過大所導致的一系列問題。

1.1.3 空間坐標的變換矩陣

由于基準球面具有各向同性，并且為了在后文中方便計算，需要利用到空間坐標的變換矩陣，即

1.2 問題1的建模與求解

1.2.1 FAST的理想拋物面方程

通過下拉索和促動器的配合工作，能夠保證主索節(jié)點充分地靠近理想拋物面，在此先不考慮徑向伸縮范圍的限制，重點研究FAST理想拋物面方程的構(gòu)建。由于方位角為0°，仰角為90°，這說明星體是處于FAST的中心正上方，于是可以由式（1）得到此時FAST的理想拋物面方程應為：

其定義域D為：x2+y2≤R12。這里的R1取150 m。由于需要保證射向照明區(qū)域的平行光經(jīng)過反射面板反射能夠聚焦在焦面上，則必須要滿足方程的焦點落在該焦面上，其中焦點坐標應為(0,0,-0.534R)，焦距為p/2，于是可以得到p和h之間的關(guān)系式為：

由式（6）可知p可以直接由h表示，所以只需要通過確定最優(yōu)的h，便可確定最理想的拋物面方程。

1.2.2 徑向最大面截距的定義

設散點集合為Q={Q1,Q2,…,Qn}，中心點為C，其中對?i∈{1,2,…,n}，滿足Qi∈ ?3，并且C∈?3?，F(xiàn)有一函數(shù)f也定義在?3并且滿足f:?3??，我們稱散點集合Q到函數(shù)f的徑向（中心點方向）最大面截距為Dm，其幾何意義如圖2所示。

圖2 最大面截距幾何示意圖

首先，通過 ?i∈{1,2,…,n}，可以得到Qi與C的距離，設Qi的坐標為(xi,yi,zi)，C的坐標為(xc,yc,zc)，于是可以得到直線方程：

將式（7）與f聯(lián)立求解，并選取方向上的解作為節(jié)點，記為，最后便得到徑向最大面截距的計算公式為：

1.2.3 問題1模型求解

由式（6）表明p受h影響，因此確定最優(yōu)的h是問題的關(guān)鍵所在。為此，這里采用有限元分析的方法［2］，將以最小化徑向最大面截距為目標函數(shù)進行求解，得

下面從兩個方面確定最優(yōu)解所在區(qū)間。

（1）對解域進行劃分。

由現(xiàn)實情況可以粗略地確定-B≤h≤B,其中B取0.6 m，也就是說h的最優(yōu)解域不可能超出這個范圍，下面將解域進行離散化。

設解域為A，在空間維度上對其進行均勻劃分，即將A劃分為N份，每段的長度為Δh=2B/N，于是得到離散點集H={-B+kΔh|k=1,2,…,N}，與此同時，解域A被分割成子解域。

（2）確定最優(yōu)解所在的子解域。

將所得到的Hi(i∈ 1,2,…,N)代入式（5）中，得到其定義域D為：x2+y2≤R21。根據(jù)所有主索節(jié)點的坐標，將這些散點構(gòu)成的集合記為Q，于是利用式（8）便可以得到與Hi相對應的徑向最大面截距Dm(Hi)，據(jù)此找到min{Dm(Hi)|i=1,2,…,N} 所對應的下標，將其記為b，最后確定最優(yōu)解所在子解域為[Hb-1,Hb+1]。

通過上述（1）（2）兩點的分析可知，在確定了最優(yōu)解所在區(qū)間之后，只需將N變得足夠大就可以確定其近似最優(yōu)解，最終得到的近似最優(yōu)解為：hbest=-300.2860m。經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，其所對應的徑向最大面截距Dm(hbest)為0.3893 m，也就是說每個促動器的伸縮量均在徑向伸縮范圍內(nèi)。最后，再將hbest代入f的方程，便可以得到理想拋物面方程為：

其定義域D為：。該理想拋物面圖像如圖 3所示。

圖3 理想拋物面圖像（深色部分）

1.3 問題2的建模與求解

1.3.1 反射面板和理想拋物面的貼合方式分析

由于本文默認主索節(jié)點均分布在旋轉(zhuǎn)拋物面上，下面對三種貼合方式進行分析，具體情形如圖4所示［3］。

圖4 各種反射面板的貼合方式

根據(jù)圖4得出板間離差公式為：

經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，板間離差的最大值為54.9 μm，說明圖4中第3種采用的貼合方式是較為可靠的，可以在后文中使用。

1.3.2 平行光線的垂直入射板

平行光線從方位角α=36.795°、仰角β=78.169°的方向射向基準球面，由此可知經(jīng)過圓心C的光線必定會和基準球面垂直，聯(lián)立球面方程和光線方程求得目標解的坐標為G(-49.2544,-36.8403,-293.6270)。由于每個主索節(jié)點只能在徑向上進行變化，故垂直入射點并不會因為反射面板的移動而發(fā)生改變。

根據(jù)垂直入射點不變的性質(zhì)，再針對某一塊板或某一個主索節(jié)點計算散點集Q中每個點到G的距離，至少篩選出其中最近的3個點，分別記下它們的坐標和編號，具體如表1所示。

表1 垂直入射點信息

通過相關(guān)的數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，所有主索節(jié)點到達G的距離均比R大了0.4 m，再結(jié)合表1可得出星光的垂直入射點就是編號為“D27”的主索節(jié)點，也就是理想拋物面的頂點，其坐標見表1第2列。

1.3.3 理想拋物面以及各工程參數(shù)的求法

由于平行光線是從方位角α=36.795°、仰角β=78.169°的方向射向基準球面的，這會給計算帶來很大的不便。根據(jù)FAST光學面以及主索節(jié)點所在半球面所具有的球面對稱性（各向同性），采用式（7）將原散點集Q變換成為新的散點集合，這樣平行光線能夠從正上方射入，變換矩陣為：

通過新的散點集即可求出最佳的hbest=-300.3360m，其所對應的Dm(hbest)為0.3359 m。再將其代入新坐標系下的拋物面方程，便可計算每個促動器的伸縮量大小，以及新坐標系下理想拋物面上各節(jié)點的坐標′及其編號，最后通過逆變換求出原坐標系下理想拋物面上各節(jié)點的坐標Q′以及原坐標系下拋物面的方程。變換坐標系下的拋物面方程為：

其定義域D為：。原坐標系下理想拋物面的方程為：

理想拋物面在原坐標系下的圖像如圖5所示。

將藜麥種子磨成粉末，過100目篩，取篩下物放入烘箱烘干備用。稱取適量預處理后的藜麥粉并將其與0.20%的NaOH溶液按照1：5的比例混合，攪拌3 h后，靜置18 h。將混合物于4000 r/min離心10 min，去上層黃色蛋白質(zhì)沉淀和下層灰色沉淀，留中間白色淀粉反復離心、洗滌，調(diào)pH至中性，繼續(xù)洗滌至上層無黃色沉淀為止。最后將產(chǎn)物置于 40 ℃烘箱中干燥48 h，粉碎，過100目篩后封袋保存。

圖5 理想拋物面方程圖像

經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，調(diào)節(jié)后反射面300 m口徑內(nèi)的主索節(jié)點一共有692個，部分主索節(jié)點編號及其位置坐標和促動器伸縮量如表2所示。

表2 300 m口徑內(nèi)的主索節(jié)點編號、坐標和促動器伸縮量

1.4 問題3的建模與求解

1.4.1 基準球面的接收比

對于基準球面，其光學面是一個球面，由于球面具有空間對稱性和各向同性的特點，故只需考慮α=0°，β=90°的情況即可。光學面的光路反射圖如圖6所示。

圖6 基準球面的光路反射圖

對圖6分析后可知，光線進入半球面時和地面的夾角為0°，經(jīng)過反射后其夾角變?yōu)棣萶ut=2θ-π/2，再加上空間角的限制，可得出以下結(jié)果：

式（16）中的范圍根據(jù)對稱性只考慮了半邊。對于出射光線能否射入饋源艙，我們只需要考慮出射光線lout和直線y=F-R的交點坐標x(θ)即可。如果它能夠在饋源艙的有效半徑內(nèi)，就說明這部分光線經(jīng)過反射能夠被接收到。根據(jù)入射點Pin的坐標(-Rcosθ,-Rsinθ)，再結(jié)合出射角，便可得到反射光線所在的直線方程為：

將式（17）與y=F-R聯(lián)立即可得到：

函數(shù)圖像如圖7所示。

圖7 函數(shù)x的圖像

對式（18）求駐點，發(fā)現(xiàn)不存在解析解，但是能夠給出其數(shù)值解為1.3522，其對應的x=-3.0581，這說明反射光線一開始不能射入饋源艙，接著一個小角度內(nèi)能射入饋源艙，然后又不能射入饋源艙，最后再次能夠射入饋源艙，共4種狀態(tài)。這4種狀態(tài)的臨界θ值如表3所示。

表3 4種狀態(tài)的臨界θ值

由于光線是垂直入射的，即在面板上單位面積接收到的能量大小是不一樣的，所以這里需要進行相應的調(diào)整，平行光能流通量如圖8所示。

圖8 平行光能流通量圖

因為光具有“沿直線傳播”的特性，而它同時也是一種電磁波信號，所以可以將其看做“無旋場”；而對于來自遙遠星體的平行光線，其能流密度Φ在空間上是均勻的，于是將圖8的“半球殼+頂部”看做一個封閉的曲面，得到方程：

這就說明整個半球面的光能流通量等于半球殼頂部的光能流通量，根據(jù)式（19）可知：

通過前面所得到的θi便可以求出其所對應的Xi，其計算方法為：

將所得到的Xi記入，如表4所示。

表4 4種狀態(tài)的臨界X值

通過表4中X的臨界值，可以確定能夠打到饋源艙上的入射點X所在的區(qū)間范圍為：X∈[1 02.4737,107.8680]∪[0 ,7.3782]，可求得基準反射球面的接收比為：

從式（22）中可以看出，接收比很小。由于未考慮板間縫隙以及饋源艙遮擋情況所帶來的誤差，實際上基準反射球面只能夠?qū)⑸俨糠值墓鈪R聚到饋源艙內(nèi)。

1.4.2 調(diào)節(jié)后饋源艙的接收比

由于問題2中說到光線的入射方向為α=36.795°，β=78.169°，說明光線并不是垂直頂面入射的。為了避免光線斜射帶來的問題，首先可以采用問題2中的變換坐標系來解決；接著利用Monte Carlo算法，通過隨機產(chǎn)生入射光線得到能夠進入饋源倉光線的數(shù)量；最后計算接受比。但是因為所有的反射面板是離散分布的，所以確定入射面板是解決本問題的關(guān)鍵，從以下三方面展開討論：

（1）確定入射面板。

由于結(jié)果是在變換后的坐標系中進行分析的，這里采用的也是變換坐標系下的坐標以及變換坐標系下的拋物面方程，將變換坐標系下的主索節(jié)點向z=0平面進行投影得到的點集記為。通過相關(guān)數(shù)據(jù)，可以確定每個反射面板的三個主索節(jié)點對應的編號，利用該編號便可以找到對應的主索節(jié)點坐標。將該坐標按照T矩陣進行坐標變換便可得到變換坐標系下的主索節(jié)點坐標，也就是將編號與進行了綁定。

采用Monte Carlo算法隨機產(chǎn)生Xi，其坐標滿足，并且其在z軸方向上的投影為0。計算Xi與點集中每個元素的距離，取3個距離最近的點，并找到每個點所對應的，再找到每個點對應的編號，由此可以確定反射面板。下面給出1個入射點與最近的3個點關(guān)系的具體例子，結(jié)果如表5所示。

表5 入射點與最近的3個點關(guān)系的一個具體實例

（2）反射光線的求解。

利用各節(jié)點的編號及其所綁定的，便可計算每個面板的法向量［4］，并選取在z軸方向投影大于0的法向量，得到

反射原理圖如圖9所示。

圖9 反射原理圖

結(jié)合施密特正交分解的方法容易得到反射光線的方程為：

（3）Monte Carlo算法的實現(xiàn)。

將之前得到的反射光線與z=F-R聯(lián)立，得到交點坐標為(xhi,yhi)。通過判斷該點是否滿足，便可確定該反射光線能不能被饋源器接收。也就是說，只要給定入射光線在頂面生成的坐標，就可以得到該光線是否能通過饋源倉。此處會發(fā)現(xiàn)“枚舉法”失效，原因在于頂面半徑為150 m，如果想讓誤差小于0.1 m，則至少需要進行200萬次循環(huán)迭代，從而使時間拉得很長。因此，我們考慮了Monte Carlo算法，并將初值N設為100萬，利用MATLAB運行，得到饋源艙有效區(qū)域接收到的反射信號與300 m口徑內(nèi)反射面的反射信號之比為=29.50%。這就說明基準球面經(jīng)過調(diào)整成為類拋物面的時候，來自星體的平行光線能夠盡可能多地被饋源艙接收到。

2 結(jié)語

針對FAST工作原理，本文對FAST主動反射面板的形狀調(diào)節(jié)進行了研究與探討。為了提高其工作效率，必須將反射面盡可能貼近理想拋物面。因此文中提出一種基于徑向最大面截距的優(yōu)化模型，通過采用有限元分析、蒙特卡洛等算法模擬得到一系列工程參數(shù)在該模型下的標準取值；另外將該模型下建立的工作態(tài)反射面與基準態(tài)反射面對饋源艙信號的接收比進行了比較。結(jié)果表明，本文所提出的方法具有一定的優(yōu)越性。