丁益民
摘要:在一次市級高一數(shù)學期末聯(lián)考命題中,命制了一道解答題。從人教A版高中數(shù)學必修第一冊《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》一章中一道與雙曲函數(shù)有關的恒等式證明題出發(fā),經(jīng)歷了從“原型”到“雛形”、從“雛形”到基本“定形”、推敲打磨細節(jié)、設置參考答案、“再次讀題,調(diào)整表述”的過程,加入了數(shù)學文化情境,擴大了考查范圍,完善了細節(jié)內(nèi)涵,保證了科學嚴謹。
關鍵詞:試題命制;教材;雙曲函數(shù);數(shù)學文化
本文系江蘇省蘇州市前瞻性項目“新時代教育評價改革背景下的精準測評研究”的階段性研究成果。教學離不開評價,評價常常以測試的形式進行量化。新高考評價體系下,如何命題是重要的研究課題。前不久,筆者參加了一次市級高一數(shù)學期末聯(lián)考命題工作,命制了一道解答題。現(xiàn)以該題為例,談談試題命制的基本過程。
一、從“原型”到“雛形”
試題命制通常會在“原型”(如陳題、情境、素材等)的基礎上進行加工。為了確保命題不“走偏”,以教材中的題為“原型”是一個比較可靠、適切的做法。這是因為教材中的例、習題往往具有較強的基礎性、典型性與示范性?!坝媒滩拿}”,一方面可以引導教師重視“用教材教”,另一方面可以充分挖掘教材中典型素材的教學功能。而現(xiàn)實的情況是,在很多單元、期中或期末測試中,由教材例、習題改編而成的試題占比不高;在教學中,教材時常處于一種可有可無、形同虛設的尷尬地位。因此,“用教材命題”是新高考背景下評價教學質(zhì)量的重要途徑,更是糾偏教學中“輕教材、重教輔”現(xiàn)象的有效舉措。
本次命題考查的范圍是人教A版高中數(shù)學[根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》編寫的教材,也是目前蘇州市高一、高二學生使用的教材]必修第一冊中的所有知識。命題之初,筆者認真研讀了該冊教材中的所有例、習題,憑借自己的認知和經(jīng)驗,挑選了一些有研究價值的題目作為“原型”。其中包括第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》復習參考題的第6題:
這道題的訓練點是指數(shù)運算法則以及乘法公式。但如果挖掘下去,就知道f(x)、g(x)分別是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù),即著名的懸鏈線函數(shù),而要證的結(jié)論則是與雙曲函數(shù)有關的幾個相對簡單的恒等式(類似于三角恒等變換的幾個基本公式),進而可以挖出與之相關的數(shù)學史素材。華志遠.高中數(shù)學文化校本選修課的基本樣態(tài)——以《函數(shù)與數(shù)學文化》一課為例[J].教育研究與評論(中學教育教學),2022(1):33。同時,收集往年的高考題和模擬題,也發(fā)現(xiàn)了雙曲函數(shù)的“身影”,如2014年江蘇高考數(shù)學卷第19題、2015年湖北高考文科數(shù)學卷第21題等,均以雙曲函數(shù)為函數(shù)載體??紤]到雙曲函數(shù)的數(shù)學文化屬性,在試題情境方面,采用簡明扼要的數(shù)學文化知識敘述來呈現(xiàn)。這就有了試題的“雛形”:
如圖1,懸索橋的外觀大氣漂亮,它的圖形是平面幾何中的懸鏈線。1691年,萊布尼茨和伯努利推導出懸鏈線的方程為y=c2(exc+e-xc),其中c為參數(shù)。當c=1時,就是雙曲函數(shù),其中雙曲余弦函數(shù)cosh x=ex+e-x2,雙曲正弦函數(shù)sinh x=ex-e-x2。
下列說法正確的是()
A.函數(shù)y=sinh xcosh x為奇函數(shù)
B.cosh2 x-cos2 x=sinh2 x+sin2 x
C.函數(shù)y=cosh 2x+sinh x的最小值為78
D.對x∈0,π2,有cosh(cos x)>sinh (sin x)
這樣命制是基于三方面的思考。一是對學生而言,函數(shù)載體取自教材,測試背景是公平的,也能間接地反映平時的教學是否真正重視教材、研究教材。二是以數(shù)學文化情境呈現(xiàn)試題,運用數(shù)學史簡述雙曲函數(shù)的由來,對接新高考的命題風格,發(fā)揮數(shù)學文化在命題上的點綴功能。三是最重要的,即將指數(shù)運算、指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)(在必修第一冊第五章)等基礎知識,通過運算、復合等手段整合在一起,考查學生對基礎知識和基本方法的掌握情況,進而考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。四個選項分別考查代數(shù)運算、函數(shù)性質(zhì)的不同方面:除了B選項繼續(xù)考查教材原題第1小題的雙曲函數(shù)恒等式之外,A選項實際上考查的是雙曲正切函數(shù)的奇偶性;C選項則既考查了教材原題第3小題和第1小題的雙曲函數(shù)恒等式,又在雙曲正弦函數(shù)與二次函數(shù)復合的基礎上,考查雙曲正弦函數(shù)的值域和二次函數(shù)的最值;D選項則在三角函數(shù)與雙曲函數(shù)復合的基礎上,考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及相關的不等關系。
二、從“雛形”到基本“定形”
從“原型”到“雛形”,更多考慮知識范圍及考查內(nèi)容。此后,需要重點關注學生能力與題型特點、考查要求,對“雛形”進行改造、確定,讓試題基本“定形”。
命題組成員認為,“雛形”中這種同一情境下“拼盤式”的多選題對學生的能力要求頗高,可能起不到很好的測試效果。首先,從題目本身來看,一些學生可能在選擇A選項后便“收工”了,這就導致B、C、D三個選項起不到預設的測試效果,進而影響試題的效度。其次,高一的學生對D選項的外在形式容易產(chǎn)生畏懼心理,可能會直接放棄;若進行嚴格的推斷,也具有一定的難度(需要分類討論,找到反例)。再者,四個選項均以運算、推演為主要的思維活動,若要完整地解答,需要較長的時間,這使得整道題難度、容量過大。鑒于此,命題組一致認為,應該將此題調(diào)整為解答題并適當減少考查點。
解答題的命制,首先要考慮各個小題的配置,既要有一定的難易梯度,還要有相對理想的區(qū)分度。一開始,我們?yōu)樵摻獯痤}設計了以下三個小題:
(1)求證:cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x;
(2)求函數(shù)y=cosh 2x+sinh x的最小值;
(3)求證:對x∈-3π4,π4,cosh (cos x)>sinh (sin x)。
第1小題就是教材原題的第3小題,繼續(xù)考查雙曲函數(shù)恒等式的證明,并且降低了難度(去掉了之前B選項中的三角函數(shù)式),定位是基礎題,考查學生運用指數(shù)運算法則進行數(shù)學運算的素養(yǎng)。第2小題由之前的C選項轉(zhuǎn)化而來,繼續(xù)考查通過雙曲函數(shù)之間的關系將原題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,定位是中檔題,考查學生數(shù)學運算及邏輯推理的素養(yǎng)。第3小題由之前的D選項轉(zhuǎn)化而來,并且基于結(jié)論“對x∈-3π4,π4,cos x>sin x”調(diào)整了變量的取值范圍(避免了分類討論),定位是難題,考查學生綜合運用知識進行邏輯推理的素養(yǎng)。
回過頭來看教材原題,我們發(fā)現(xiàn),這樣的設計有些偏離了教材原題考查雙曲函數(shù)恒等式證明的初衷。而且,第1小題和第2小題分為兩小題,也在一定程度上割裂了它們之間的關聯(lián):借助第1小題的雙曲函數(shù)恒等式,代換轉(zhuǎn)化第2小題的函數(shù)表達式,發(fā)現(xiàn)它是復合而成的二次函數(shù),從而解決第2小題。另外,從設問的風格看,兩個證明題中夾著一個求最值題,顯得極不協(xié)調(diào)。
綜合考量這些問題,我們將上述第1小題和第2小題合并成試題基本“定形”的第1小題(自然,上述第3小題就成了試題基本“定形”的第2小題):
請從下列三個結(jié)論中選擇一個進行證明,并求函數(shù)y=cosh 2x+sinh x的最小值;
①cosh2 x-sinh2 x=1;
②sinh 2x=2sinh xcosh x;
③cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x。
這一調(diào)整也能體現(xiàn)開放設問的意味,可以滿足不同學生的答題需求,契合了新高考對新題型不斷探索與實驗的做法。
三、推敲打磨細節(jié)
試題命制基本完成后,需要對其中的一些細節(jié),如數(shù)據(jù)的大小、條件的開放與限制等,進行推敲打磨,以追求更好的考查效果。
對于試題基本“定形”的第2小題,命題組成員提出:-3π4,π4這樣的范圍設計是否過于簡單(可以直接得出cos x>sin x)?是否可以擴大(保持結(jié)論成立)?如果可以擴大,擴大到哪里比較合適(高一學生能夠用所學的數(shù)學知識證明結(jié)論)?
為了找到合適的范圍,我們借助繪圖軟件作出了y=cosh (cos x)、y=sinh (sin x)的圖像(如圖2所示)。根據(jù)圖像,我們形成了“可以擴大變量的取值范圍,讓學生分類討論證明結(jié)論”的共識。同時,我們聯(lián)想到,2020年全國新高考適應性考試(八省聯(lián)考)數(shù)學卷的最后一道題也是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的組合題,也是分成兩段區(qū)間討論解決的,從而堅定了上述共識。
在此基礎上,我們先將范圍調(diào)整為-5π4,π4,但嘗試解答后發(fā)現(xiàn),解答起來有點拖泥帶水,不夠簡潔;繼而將范圍調(diào)整至-π,π4,解答只需要進行兩次討論即可。
四、設置參考答案
推敲打磨細節(jié)后,還需要設置參考答案(解題過程),一來檢查題目是否可解、是否適合學生解答,二來給閱卷評分提供參考。設置參考答案時,我們的原則是盡可能從學生的角度出發(fā)思考。
試題基本“定形”的第1小題,解題思路比較清晰,解答過程也比較簡單。這里重點談談第2小題參考答案的設置。
作差法應該是學生首選的解題方法,因為作差法是研究不等關系最樸素、最基本的一種方法。于是,我們從作差比大小的角度探索解題思路。cosh(cos x)-sinh(sin x)=ecos x+e-cos x2-esin x-e-sin x2,下面的問題就是如何判斷符號。注意到四項中只有-esin x為負數(shù),其余三項均為正數(shù),將三個正數(shù)項與-esin x組合來判斷符號應該是自然的想法。
比如組合成12[(ecos x-esin x)+(e-cos x+e-sin x)],就需要比較ecos x、esin x的大小,自然想到運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化成比較cos x、sin x的大小,這就需要分x∈-3π4,π4和x∈-π,-3π4兩種情況討論。當x∈-3π4,π4時,解題過程如下:
當x∈-3π4,π4時,cos x≥sin x,且y=ex在R上單調(diào)遞增,得ecos x≥esin x,即ecos x-esin x≥0。又e-cos x>0,e-sin x>0,得cosh (cos x)-sinh (sin x)>0,即cosh (cos x)>sinh (sin x)。
而當x∈-π,-3π4時,用上述組合無法判斷,可考慮重新組合(這正是思維的難點所在)。比如組合成12[(ecos x+e-cos x)+(e-sin x-esin x)],只需要說明e-sin x>esin x。解題過程如下:
當x∈-π,-3π4時,sin x≤0,由y=ex的單調(diào)性,得e-sin x≥esin x,故cosh(cos x)>sinh (sin x)。
當然,也可以分x∈[-π,0)和x∈0,π4兩種情況討論,分別用上述組合處理。
此外,當x∈0,π4時(也是判斷試題“雛形”中D選項時的一種分類),也可以在復合函數(shù)的視角下審視函數(shù)變化的快慢以及最值,但這要求學生對常見函數(shù)(雙曲線型函數(shù))有足夠的理解:
當x∈0,π4時,令t=esin x,s=ecos x,則t∈[1,e22],s∈[e22,e],由于12t-1t≤12e22-e-22,12s+1s≥12e22+e-22,所以cosh (cos x)>sinh (sin x)。
五、再次讀題,調(diào)整表述
最后,需要再次完整讀題,調(diào)整表述(力求完美):既要逐字逐句地讀文字表述,對可能存在的歧義以及不嚴謹之處予以糾正,也要一一檢查數(shù)據(jù)、圖表,避免出現(xiàn)科學上的問題。
閱讀試題基本“定形”的題干時,我們發(fā)現(xiàn),“它(懸索橋)的圖形是平面幾何中的懸鏈線”這樣的表述并不嚴謹,因為懸索橋不僅僅包括懸索,還有其他結(jié)構(gòu),于是將其調(diào)整為“懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線”。我們又發(fā)現(xiàn),“當c=1時,就是雙曲函數(shù),其中雙曲余弦函數(shù)cosh x=ex+e-x2,雙曲正弦函數(shù)sinh x=ex-e-x2”這樣的表述也不嚴謹,因為由推導出的懸鏈線方程,當c=1時只能得到雙曲余弦函數(shù),于是將其調(diào)整為“當c=1時,該方程就是雙曲余弦函數(shù)cosh x=ex+e-x2。類似地,我們得到雙曲正弦函數(shù)sinh x=ex-e-x2”。
另外,對于本題中懸索橋的圖片,我們也花費了一定的心思:在網(wǎng)絡上找了很多圖片進行對比,從清晰度、美觀性和印刷影響等方面綜合考量,最終選定為圖3。