孫飛飛 段寧玲

摘要：以結(jié)構(gòu)力學為例，以學生為中心，提出遞進式概念分析教學方法，闡述結(jié)構(gòu)力學教和學的矛盾，將概念分析能力培養(yǎng)分為概念理解能力、概念辨析能力和概念靈活應用能力3個階段。通過設置專項練習，將概念體現(xiàn)在習題中，鍛煉學生從概念分析的角度總結(jié)解題方法并理清解題思路，旨在培養(yǎng)學生的自主學習能力。利用易錯題設置提升學生的概念理解能力，利用易混淆題的多題對比設置提升學生的概念辨析能力，利用多解題設置提升學生的概念靈活應用能力。將概念理解、辨析和靈活應用能力作為階梯，解決概念分析教學的困難。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)力學;教學方法;自主學習;概念理解;概念辨析;概念靈活應用

中圖分類號：G642.0?? 文獻標志碼：A?? 文章編號：1005-2909（2022）03-0109-10

隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，在當代大學生面前，傳統(tǒng)的灌輸式教學魅力和效果大為下降[1]。近年來，在“以學生為中心”的教育理念

下，大學的目的不在“教”，而在于讓每位學生有效地“學”，大學從提供教學轉(zhuǎn)向為學生創(chuàng)造自主學習環(huán)境[2]，教學重心落在培養(yǎng)學生自主思考和自主學習的能力上。

本文以結(jié)構(gòu)力學為例，探討“以學生為中心”的教學模式。在結(jié)構(gòu)力學的傳統(tǒng)教學模式中，教師上課時更注重原理和概念的講解，學生解題時更注重解題步驟和方法，學生面對復雜問題時無法抓住重點，無解題思路。結(jié)構(gòu)力學課程的教學難點在于結(jié)構(gòu)形式多樣化，不同的結(jié)構(gòu)力學問題有不同的特點，雖然對于大多數(shù)問題有矩陣位移法、有限元法等通用解法，只要掌握方法后即可計算，但計算量較大，通常需要借助計算軟件。計算軟件的發(fā)展使結(jié)構(gòu)力學中繁瑣的計算變得容易實現(xiàn)，卻并未使學生的能力素養(yǎng)得到全面提升。反而，過度依賴軟件，部分學生愈加缺乏獨立思考能力，甚至對基本的力學概念和理論理解也變得模糊[3]。因此，結(jié)構(gòu)力學這門課的教學應注重培養(yǎng)學生對概念的理解掌握，根據(jù)結(jié)構(gòu)本身的特點來尋找簡便的計算方法。

為解決上述結(jié)構(gòu)力學教與學的矛盾，提高教學質(zhì)量，提出了面向?qū)W生自主學習能力的概念分析教學方法，以此提高學生的自主學習能力。力學概念是結(jié)構(gòu)力學的基礎(chǔ)和核心，學生只有掌握了力學概念，才能真正學懂結(jié)構(gòu)力學[4]。概念分析對學生的綜合能力有較高的要求，教學難度較大。為實現(xiàn)概念分析教學，本文采用遞進式方法，將概念分析能力培養(yǎng)分為三個階段——概念理解能力、概念辨析能力和概念靈活應用能力，分別設置三個層次的題型——易錯題、易混淆題和多解題。易錯題：設置與基本概念有關(guān)的習題，培養(yǎng)學生的概念理解能力。易混淆題：設置相似卻并不相同的習題，培養(yǎng)學生的概念辨析能力。多解題：設置存在多種解法的復雜習題，培養(yǎng)學生的概念靈活應用能力。

各以一個習題為例分別講解易錯題、易混淆題和多解題設置的方法和要點，并闡述其與概念分析能力培養(yǎng)的關(guān)系。通過遞進式概念分析教學的具體方法，提供可參考的遞進式概念題組。

一、概念理解——易錯題設置

在結(jié)構(gòu)力學的學習中，學生若對基本概念的理解不到位，則無法做到解題過程與前提條件的邏輯一致，會出現(xiàn)許多易錯點，可根據(jù)這些易錯點來設置易錯題。以彎矩分配法為例，彎矩分配法是一種數(shù)值計算方法，因此正負號約定十分重要。在彎矩分配法的解題過程中，由于涉及的彎矩類型和需要判斷彎矩正負號的次數(shù)較多，各類彎矩的符號判斷是一個易錯點。因此，可以將求解彎矩分配法中用于分配的彎矩（以下簡稱待分配彎矩）概念設置為易錯題，讓學生思考并解釋待分配彎矩究竟是什么彎矩，又是如何得到的，加深學生對待分配彎矩概念的理解。不同學生對這個問題的理解角度不同，他們的理解方式和求解方法也不同。

以一個簡單的單結(jié)點剛架為例，AB段作用均布荷載，A結(jié)點處作用集中力矩，如圖1所示，求此剛架的待分配彎矩。

求解上述習題中的待分配彎矩，有以下幾種常用的理解方式和求解方法。

第一種理解方式從待分配彎矩概念的角度出發(fā)，待分配彎矩是向桿端進行分配的。首先，將該剛架分解為只受集中力矩作用和只受均布荷載作用兩種情況，分別如圖2和圖3所示。先考慮只受結(jié)點集中力矩作用的情況，在順時針集中力矩的作用下，可根據(jù)平衡條件畫出A結(jié)點隔離體彎矩示意圖，如圖4所示。根據(jù)作用力與反作用力原理，可畫出AB、AC、AD三根桿件在靠近A端的桿端彎矩示意圖，如圖5所示。

觀察圖5可發(fā)現(xiàn)，三根桿件靠近A端的桿端彎矩均為順時針，與A結(jié)點的集中外力矩方向相同。說明結(jié)點彎矩荷載和與該結(jié)點相連的桿端彎矩方向相同，彎矩分配法中的待分配彎矩就是作用在結(jié)點上的彎矩?？紤]結(jié)構(gòu)在一般荷載作用下的情況，在結(jié)點處附加剛臂約束，將一般荷載轉(zhuǎn)化成結(jié)點彎矩荷載，再進行分配。附加剛臂約束后，剛結(jié)點處各桿端彎矩的代數(shù)和稱為不平衡彎矩，并由此形成了附加剛臂中的約束力矩[5]。釋放附加剛臂約束后，該約束力矩反向施加在結(jié)點上，轉(zhuǎn)化成結(jié)點彎矩荷載，即待分配彎矩。許多學生將附加剛臂上的約束力矩當作待分配彎矩，這便是對待分配彎矩的概念理解有誤。附加剛臂上的約束力矩是假想的、虛擬的，而待分配彎矩是真實存在、可用于分配的，這二者的概念不能混為一談。根據(jù)上述分析，總結(jié)出一個簡單的待分配彎矩公式：結(jié)點待分配彎矩=該結(jié)點彎矩荷載-該結(jié)點固端彎矩代數(shù)和。

第二種理解方式從固端彎矩符號規(guī)定角度出發(fā)，用上述公式求解時，需注意各類彎矩的正負號。其中，固端彎矩規(guī)定繞桿端順時針為正，該彎矩的符號判斷是學生容易出錯的地方。以兩端固定、跨中作用集中荷載的等值截面桿為例（圖6），取出中間桿單元隔離體（圖7）。對于桿單元隔離體來說，左側(cè)桿端彎矩為上側(cè)受拉，方向為繞左桿端逆時針，彎矩取負號;右側(cè)桿端彎矩也為上側(cè)受拉，方向為繞右桿端順時針，彎矩取正號。綜上，固端彎矩可根據(jù)彎矩圖總結(jié)為“左下右上為正”。求固端彎矩時可通過載常數(shù)表記住彎矩圖形形狀，利用“左下右上為正”的口訣來判斷正負號。

第三種理解方式，學生不考慮各類彎矩的符號規(guī)定，只根據(jù)各類彎矩的方向求解。這種情況下，學生采用同向取正、逆向取負的計算方法求出待分配彎矩的值，降低了判斷正負號時的出錯概率。

第一種方法從待分配彎矩概念的角度給出了待分配彎矩的實質(zhì)，即作用在結(jié)點處的彎矩，并總結(jié)了待分配彎矩的求解公式;第二種方法從固端彎矩符號規(guī)定的角度出發(fā)給出判斷固端彎矩正負號的口訣;第三種方法省去了判斷正負號這一步驟。三種方法各有千秋。

此類習題的設置目的是引導學生自主思考基本概念，提升學生的概念理解能力。學生從不同角度出發(fā)，總結(jié)不同的解題技巧。在課堂上，學生互相交流各自的理解方式，開拓思維，從不同角度理解同一概念，使學生對概念的理解更深刻。同時，不同學生接受的理解方式不同，從學生的角度提出多種理解方式，根據(jù)需要選擇適合自己的方式。教師也可歸納總結(jié)適合大多數(shù)學生理解的解題方式。譬如此例中，推薦學生采用第一種方式來理解待分配彎矩的概念并求解。

二、 概念辨析——易混淆題的多題對比設置

在結(jié)構(gòu)力學中，存在許多易混淆的概念。學生在解題時，容易混淆題目所給條件與其他相似條件，無法抓住重點，導致出錯。究其根本原因，是學生缺乏概念辨析能力。分別

歸納整理

各類易混淆概念，呈現(xiàn)在習題中，讓學生在解題過程中自主總結(jié)易混淆概念的不同之處和對最終結(jié)果的影響。

下面以力法求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的習題為例進行講解。

力法求解超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于利用變形協(xié)調(diào)條件列出力法基本方程，若多余約束不同，則該多余約束處的實際位移不同，力法基本方程等號右端項就不同。如圖8—圖11所示，這四個超靜定結(jié)構(gòu)中除C處的約束條件不同——分別為可動鉸支座、存在支座位移的可動鉸支座、有軸向剛度的彈性桿和彈簧支座，其余各處的條件均相同，均存在一個多余約束的超靜定結(jié)構(gòu)。

若采用力法來求解其內(nèi)力，都選取C處的約束為多余約束，四題的基本體系相同，如圖12所示。

因為這四題的基本體系和外荷載都相同，所以M1圖和Mp圖也相同，分別如圖13和圖14所示。由圖乘得出的柔度系數(shù)和自由項也相同，分別為δ11=4L33EI，Δ1p=-5qL48EI。

接下來，列出形如式（1）的力法基本方程[5]。由于基本未知量、柔度系數(shù)和自由項都相同，四道習題的力法基本方程等號左邊的式子完全相同。而這四道習題的原結(jié)構(gòu)在C處的約束條件不同，導致其在C處的真實位移Δc不同，所以力法基本方程的右端項不同。例1可動鉸支座的豎向位移為0;例2支座在C處產(chǎn)生-d的支座位移;例3彈性桿產(chǎn)生-X1LEA的軸向位移;例4彈簧支座產(chǎn)生-X1k的彈簧位移。

δ11 X1+Δ1p=Δc （1）

由力法基本方程解得基本未知量，繼而求得四道習題中超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，此處不再贅述。

從上述解題過程可看出，將不同支座的概念放在一套習題中，通過對比來體現(xiàn)概念的差異，讓學生在解題過程中分辨這些易混淆概念。通過多題對比，在解題過程中提高學生的概念辨析能力。

值得注意的是，概念辨析能力建立在學生的概念理解能力基礎(chǔ)上。例如，本章所述習題，學生需要理解彈性桿的概念，根據(jù)題目所給的E、A、I條件，判斷其為彈性桿，產(chǎn)生軸向位移，將其與其他支座區(qū)別，進行對比辨析。在多題對比的過程中，學生的概念理解能力也進一步得到鍛煉。

三、 概念靈活應用——多解題設置

在結(jié)構(gòu)力學中，復雜題目有多種解法，不同解法各有利弊，且時常存在最簡解法。許多學生解題時不靈活，會采用最直接想到的解法，而不去思考是否有簡便解法，常因復雜的解題步驟而出錯。尋找題目的不同解法，需要學生從題目的特征出發(fā)，利用題目所給的一些特殊條件得到簡便解法。多解題的設置，鼓勵學生觀察題目特征，采用多種方法來解題，并自主總結(jié)最簡解法，鍛煉學生對概念的靈活應用能力。

以求解一個在非對稱荷載作用下的對稱結(jié)構(gòu)（圖15）內(nèi)力習題為例進行說明。

首先，可以明確這是一個二次超靜定結(jié)構(gòu)，可以用力法求解，列出如式（2）和式（3）的力法基本方程

δ11 X1+δ12 X2+Δ1p=0 （2）

δ21 X1+δ22 X2+Δ2p=0 （3）

若學生沒有觀察到該結(jié)構(gòu)對稱性的特征，則會選取非對稱的基本體系進行求解，即第一種解法。這里選取如圖16所示的一種非對稱基本體系，畫出M1圖、M2圖和Mp圖，如圖17—圖19所示。求得柔度系數(shù)和自由項分別為δ11=16L33EI，δ12=δ21=-4L3EI，δ22=8L3EI，Δ1p=11pL36EI，Δ2p=-29pL212EI，代入式（2）和式（3），即可求得基本未知量X1和X2。然而按此方法求解X1和X2，需要解二元一次方程組，且圖乘不簡便，系數(shù)項與自由項較復雜，求解過程易出錯。

若學生觀察到該結(jié)構(gòu)對稱性的特征，則會選取對稱的基本體系，即第二種解法。選取A、C處的約束為多余約束，如圖20所示。由于作用荷載為非對稱荷載，A、C處的約束反力不會相同，得到M1圖、M2圖和Mp圖，如圖21—圖23所示。此方法中，基本體系對稱，基本未知量X1和X2在相互對稱的位置，所以M1圖和M2圖相互對稱，柔度系數(shù)δ11和δ22相等，且δ12與Δ1p、Δ2p的計算也較第一種方法簡便，說明對稱性的初步應用減少了部分計算量與作圖量，在一定程度上降低了出錯率。計算得到柔度系數(shù)與自由項分別為δ11=δ22=32L33EI，δ12=δ21=-8L3EI，Δ1p=-35pL36EI，Δ2p=5pL2EI。此種方法計算基本未知量X1和X2仍然要解二元一次方程組。

若進一步利用對稱性的概念，將第二種方法中的兩個基本未知量替換為一組對稱的基本未知量X1和一組反對稱的基本未知量X2，即第三種解法，如圖24所示。在對稱基本未知量X1作用下的M1圖是對稱的（圖25），在反對稱的基本未知量X2作用下的M2圖是反對稱的（圖26），Mp圖如圖27所示。采用此種方法，M1與M2圖乘得到的交叉系數(shù)項δ12與δ21為零，δ11、δ22和Δ1p、Δ2p的計算也并不復雜。因此，式（2）和式（3）退化為兩個一元一次方程，極大簡化了求解X1和X2的過程，降低了出錯率。求得的柔度系數(shù)和自由項分別為δ11=16L33EI，δ12=δ21=0，δ22=112L33EI，Δ1p=

-5pL36EI，Δ2p=-65pL36EI。

考慮到該結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)，還可采用半結(jié)構(gòu)的解題方法，將二次超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一次超靜定結(jié)構(gòu)，即第四種解法。由于此題中荷載是非對稱的，先將原荷載分解為一組對稱荷載和一組反對稱荷載，分別對其采用半結(jié)構(gòu)解法計算內(nèi)力后再進行疊加。對于此題來說，半結(jié)構(gòu)解法較為復雜，不比第三種解法更簡便，此處不再贅述。

對比以上四種解法發(fā)現(xiàn)，對稱性的充分合理應用可以簡化解題過程，第三種解法是最簡解法。設置此類多解題的習題，鼓勵學生從題目特征出發(fā)，采用多種解法解題，尋找最簡解法，鍛煉對概念的靈活應用能力。

同樣的，概念靈活應用能力建立在概念理解能力與概念辨析能力基礎(chǔ)上。例如，在上述習題中，學生需要理解對稱性的概念，才能準確把握題目特征，提出第二、三、四種解法，并辨別各種解法的優(yōu)缺點。在解多解題的過程中，學生的概念理解和概念辨析能力也會得到進一步提升。

四、遞進式概念分析教學方法的實現(xiàn)

學生自主學習能力的培養(yǎng)應與知識的難易程度安排相結(jié)合[6]。本文提出遞進式概念分析教學方法來降低概念分析教學的難度，具體實現(xiàn)方法為：對于每章節(jié)的內(nèi)容，教學結(jié)束后針對該章節(jié)知識點整理一套包含易錯題、易混淆題和多解題的遞進式概念題組，添加在各章節(jié)的作業(yè)中。遞進式概念題組的內(nèi)在關(guān)系如表1所示。概念題組的遞進關(guān)系從兩方面來實現(xiàn)：1）概念分析上的遞進關(guān)系，從基本概念到分支概念，再到概念的綜合與簡化，是一個由基礎(chǔ)到提升的遞進過程;2）題目難易程度上的遞進關(guān)系，同一概念題組的結(jié)構(gòu)形式相似，從基本題到復合題再到綜合題，由簡單到復雜，存在直觀的遞進關(guān)系。

以彎矩分配法和力法兩章的內(nèi)容為例，可按表2所述知識點分別整理出各章的遞進式概念題組。

為更直觀地體現(xiàn)遞進關(guān)系，按表2所述給出一套力法的遞進式概念題組，供讀者參考。易錯題可按圖28設置，讓學生選擇合適的多余約束并探尋多余約束處變形協(xié)調(diào)條件與力法基本方程的關(guān)系。易混淆題可按圖29—圖32設置，即本文第2章內(nèi)容中所述習題。此題由易錯題衍生，將不同的約束條件整理在一起，供學生辨析。多解題可按圖33設置，該題結(jié)構(gòu)形式與易錯題和易混淆題相似，但超靜定次數(shù)增加，題目難度加大。

五、結(jié)語

為實現(xiàn)“以學生為中心”的教學模式，以結(jié)構(gòu)力學為例，從結(jié)構(gòu)力學教與學的矛盾出發(fā)，給出面向?qū)W生自主學習能力的遞進式概念分析教學方法。將概念分析能力培養(yǎng)分為概念理解、概念辨析和概念靈活應用三個階段，分別設置易錯題、易混淆題和多解題。在各章節(jié)設置遞進式概念題組，引導學生從概念出發(fā)，在解題過程中總結(jié)易錯題的簡便解法、易混淆題的多題對比結(jié)論和多解題的最簡解法，使學生準確理解和把握關(guān)鍵概念并融會貫通。

遞進式概念題組從概念的基礎(chǔ)到提升和題目的由易到難兩方面來實現(xiàn)遞進，可解決學生在概念分析方面的困難。通過易錯題的設置，讓學生關(guān)注基本概念，從不同角度理解同一概念，加強對概念的理解，從而提升概念理解能力;通過易混淆題的設置，將容易混淆的概念歸納整理成習題，讓學生在多題對比的過程中對概念進行對比分析，從而提升概念辨析能力;通過多解題的設置，讓學生從題目特征所涉及的概念出發(fā)，給出多種解法并總結(jié)最簡解法，從而提升概念靈活應用能力。參考文獻：

[1]

邢以群，魯柏祥，施杰，等.以學生為主體的體驗式教學模式探索——從知識到智慧[J].高等工程教育研究，2016（5）：122-128.

[2]周光禮，黃容霞.教學改革如何制度化——“以學生為中心”的教育改革與創(chuàng)新人才培養(yǎng)特區(qū)在中國的興起[J].高等工程教育研究，2013（5）：47-56.

[3]許凱，陳朝峰，楊祖權(quán).定性分析在結(jié)構(gòu)力學教學中的應用研究[J].高等建筑教育，2010，19（6）：98-101.

[4] 杜闖，陳向上，李靜，等.重視結(jié)構(gòu)力學課程力學概念的教學探討[J].高等建筑教育，2014，23（6）：66-69.

[5]朱慈勉.結(jié)構(gòu)力學[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6]袁駟.一個基礎(chǔ)，兩座大廈——《結(jié)構(gòu)力學》課程的改革思路與實踐[J].力學與實踐，1998（4）：56-58.

Progressive teaching method of conceptual analysis for

students’ independent learning capability

SUN Feifei， DUAN Ningling

（College of Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， P. R. China）

Abstract：

Taking the subject of structural mechanics as an example， the teaching method of progressive conceptual analysis is proposed from the perspective of student-centered teaching. The contradiction between teaching and learning of structural mechanics is expounded. The cultivation of conceptual analysis capability is divided into three stages： concept comprehension capability， concept discrimination capability and flexible concept application capability. Setting specific exercises which embody concepts， students are trained to summarize problem solving methods and clarify problem solving ideas from the perspective of conceptual analysis independently. It is aimed at developing student’s independent learning capability. The concept comprehension capability can be improved by setting wrong-prone exercises. The concept discrimination capability can be improved by setting easily confused exercises. The flexible concept application capability can be improved by setting multi-solution exercises. It solves the difficulty of conceptual analysis teaching by using concept comprehension， concept discrimination and flexible concept application capability as steps.

Key words：

structural mechanics; teaching method; independent learning; concept comprehension; concept discrimination; flexible concept application

（責任編輯 周 沫）