魏杰　文欣玥

摘? ?要：資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域已成為金融學(xué)研究的熱點(diǎn)。與傳統(tǒng)因子模型不同，本文提出了加權(quán)非線性因子模型，將公司特征的未知函數(shù)作為因子載荷，時(shí)變的因子收益作為權(quán)重，研究股票超額收益率與公司特征之間是否存在非線性關(guān)系，以及模型對(duì)我國股票市場(chǎng)的適用性和解釋力度。選取1995年7月—2020年6月我國A股上市公司的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，考慮公司規(guī)模特征、價(jià)值特征和動(dòng)量特征，采用核函數(shù)回歸方法同時(shí)估計(jì)出因子載荷和因子收益，結(jié)果發(fā)現(xiàn)三個(gè)特征都是顯著的，并且動(dòng)量特征與收益率成非線性關(guān)系。此外，與美國股票市場(chǎng)相比，本文模型更加適用于中國股票市場(chǎng)，解釋力度更強(qiáng);與Fama-French三因子模型相比，本文估計(jì)誤差更小。本文提出的模型在基本面分析和因子投資策略領(lǐng)域中具有借鑒意義。

關(guān)鍵詞：股票市場(chǎng);加權(quán)非線性因子模型;非參估計(jì);資產(chǎn)定價(jià)

中圖分類號(hào)：F830.91? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B? 文章編號(hào)：1674-2265（2022）05-0080-09

DOI：10.19647/j.cnki.37-1462/f.2022.05.011

一、引言

在我國金融市場(chǎng)中，股票超額收益率的決定因素一直是資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。最為大眾所接受的是Fama和French（1993）[1]提出的三因子模型（以下簡(jiǎn)稱FF三因子模型），他們通過構(gòu)建投資組合研究了公司特征與橫截面收益率之間的線性關(guān)系，而本文利用非參數(shù)估計(jì)方法，將公司特征的函數(shù)作為因子載荷進(jìn)行估計(jì)，研究公司特征與股票收益率之間的非線性關(guān)系。目前，國內(nèi)文獻(xiàn)鮮少運(yùn)用非參數(shù)估計(jì)方法，資產(chǎn)定價(jià)方向的研究主要分為兩類：第一類是通過增加新的因子，構(gòu)建投資組合，研究流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)、投資者情緒、公司治理、全要素生產(chǎn)率對(duì)收益率的影響（宋光輝等，2017;齊岳等，2020;張少華和陳慧玲，2021;李雙琦等，2021;周學(xué)偉等，2020）[2-6];第二類是采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法研究多因子選股對(duì)交易策略的影響（干偉明，2018;周亮，2021）[7，8]。

資產(chǎn)定價(jià)模型的解釋力度在不同國家存在差異，田利輝和王冠英（2014）[9]發(fā)現(xiàn)我國和美國金融市場(chǎng)的定價(jià)因子具有較大差異。Connor等（2012）[10]提出非參因子模型同時(shí)估計(jì)公司特征函數(shù)和因子收益，這種模型在中國股市的適用性也有待驗(yàn)證。

本文以1995年7月—2020年6月的中國股市收益率月度數(shù)據(jù)為樣本，根據(jù)公司市值和賬面市值比特征構(gòu)建資產(chǎn)定價(jià)模型，其中，將公司特征形成的未知函數(shù)作為因子模型中的因子載荷，采用非參估計(jì)核函數(shù)回歸方法，同時(shí)估計(jì)出特征函數(shù)和因子收益，回歸結(jié)果顯著，證明了股票收益率和公司特征之間確實(shí)存在非線性關(guān)系。此外，本文還和美國股市進(jìn)行對(duì)比，實(shí)證結(jié)果發(fā)現(xiàn)本文構(gòu)建的模型對(duì)中國股市的解釋力度更大、誤差更小。本文提出的模型適用于公司特征數(shù)較多、無法構(gòu)建投資組合及高維面板數(shù)據(jù)的情況。

本文的主要貢獻(xiàn)在于：第一，研究范圍更廣。傳統(tǒng)因子模型采用排序方式進(jìn)行分組，只研究了變量間的線性關(guān)系。而本文提出的加權(quán)非線性因子模型包括傳統(tǒng)因子模型的研究范圍，把因子載荷看作公司特征的未知函數(shù)，函數(shù)形式可以是任意的。第二，更符合實(shí)際情況。傳統(tǒng)因子模型假設(shè)因子載荷是已知的，在組內(nèi)是不變的，根據(jù)因子載荷估計(jì)因子收益。而本文模型中因子載荷是未知的，也需要估計(jì)。第三，本文模型可以解決維度詛咒問題，當(dāng)傳統(tǒng)因子模型出現(xiàn)高維數(shù)據(jù)時(shí)，由于構(gòu)建投資組合個(gè)數(shù)有限，過高的維度會(huì)導(dǎo)致參數(shù)無法估計(jì)。本文通過對(duì)高維數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)降維，可以研究連續(xù)變量。第四，本文對(duì)傳統(tǒng)的三因子模型進(jìn)行深入探討，豐富了我國股票超額收益和公司特征存在非線性關(guān)系方面的研究。由于我國金融市場(chǎng)還不是有效市場(chǎng)，本文研究發(fā)現(xiàn)公司特征對(duì)超額收益有非線性影響，可以為基本面分析中國股市的超額收益提供依據(jù)。此外，最近較流行的多因子投資策略也是通過分析各種因子實(shí)現(xiàn)套利，所以本文提出的因子模型可以作為參考。

二、文獻(xiàn)綜述

古今中外，關(guān)于資產(chǎn)定價(jià)模型理論研究的文獻(xiàn)非常多，從單因子模型發(fā)展到八因子模型。Sharpe（1964）[11]、Lintner（1965a;1965b）[12，13]等提出的模型是最早的單因子模型，用以研究資產(chǎn)收益率和市場(chǎng)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系。但是他們沒有考慮規(guī)模效應(yīng)和價(jià)值效應(yīng)。于是，F(xiàn)ama和French（1993）[1]提出FF三因子模型，研究市場(chǎng)、規(guī)模、價(jià)值因子對(duì)股票超額收益率的影響。后來，學(xué)者們又引入動(dòng)量因子（Carhart，1997）[14]、流動(dòng)性因子（Pastor和Stambaugh，2003）[15]構(gòu)建四因子模型，而Novy-Marx（2013）[16]把四因子模型中的規(guī)模因子換成盈利因子進(jìn)行研究。Fama和 French（2015;2016）[17，18]在FF三因子模型基礎(chǔ)上引入公司的盈利和投資因子，發(fā)現(xiàn)價(jià)值因子是“冗余”變量。Hou等（2015a;2015b）[19，20]則提出新的考慮規(guī)模、投資、盈利因子的資產(chǎn)定價(jià)模型。六因子和八因子模型也相繼被提出，發(fā)現(xiàn)模型可以提高解釋力（Barillas和Shanken，2018; Sko?ir和Loncarski，2018）[21，22]。最近幾年，用資產(chǎn)定價(jià)模型來研究我國股票市場(chǎng)的文獻(xiàn)也逐漸增加，主要集中在資產(chǎn)定價(jià)模型對(duì)比、模型的實(shí)證檢驗(yàn)以及多因子選股策略等領(lǐng)域。趙勝民等（2016）[23]發(fā)現(xiàn)FF三因子模型比五因子模型更適合我國股市。李志冰等（2017）[24]檢驗(yàn)了Fama-French五因子模型在我國股權(quán)分置改革前后的因子顯著性。Liu等（2019）[25]提出了適合中國的價(jià)值因子、規(guī)模因子來解釋股市的異象，如用凈利潤(rùn)與市價(jià)比代替賬面市值比。但他們都只研究了因子和超額收益率的線性關(guān)系，沒有擴(kuò)展到一般情況，未關(guān)注公司特征的函數(shù)與收益率之間的非線性關(guān)系。

國外學(xué)者認(rèn)為因子和資產(chǎn)回報(bào)率之間可能存在非線性的關(guān)系，于是提出了非線性因子模型。Connor和Linton（2007）[26]改進(jìn)因子模型的估計(jì)方法，把公司特征的函數(shù)作為因子載荷，進(jìn)行非參核回歸，同時(shí)估計(jì)特征函數(shù)和因子收益，以核函數(shù)為權(quán)重，通過格點(diǎn)將規(guī)模特征和價(jià)值特征對(duì)應(yīng)在一定區(qū)間內(nèi)，構(gòu)建模仿FF三因子的投資組合，證明了因子收益的估計(jì)量比其更有效。但是這種構(gòu)建投資組合的方法只考慮了離散變量的情況，不能解決因子面臨的維度詛咒問題。他們進(jìn)一步完善估計(jì)方法，放松限制，考慮在高維面板數(shù)據(jù)下，在連續(xù)變量存在時(shí)變情況下同時(shí)估計(jì)因子收益和因子特征函數(shù)（Connor和Linton，2012）[10]。這種非參估計(jì)方法比線性回歸和構(gòu)建組合方法的適用范圍更廣，不用構(gòu)建投資組合，不用考慮因子個(gè)數(shù)，適用所有情況，還能解決維度詛咒問題。

近年來，國外學(xué)者深入研究基于公司特征的因子模型，發(fā)現(xiàn)公司特征對(duì)超額收益率影響很大。Freyberger等（2020）[27]利用LASSO方法篩選出公司特征，用非參估計(jì)方法研究這些特征如何影響預(yù)期收益，提供增量信息，從而提高預(yù)測(cè)精度。Raponi等（2020）[28]研究估計(jì)預(yù)期收益時(shí)貝塔資產(chǎn)定價(jià)模型的有效性，假設(shè)特征和因子載荷在不同資產(chǎn)間具有完全異質(zhì)性而且允許在橫截面上是任意相關(guān)的，發(fā)現(xiàn)公司特征的解釋力比因子載荷更強(qiáng)。

通過文獻(xiàn)回顧發(fā)現(xiàn)，國外文獻(xiàn)較多采用非參估計(jì)方法進(jìn)行研究，而國內(nèi)文獻(xiàn)以傳統(tǒng)資產(chǎn)定價(jià)模型的實(shí)證檢驗(yàn)和策略應(yīng)用為主，形成了豐富的研究成果。但是，很少有學(xué)者將國內(nèi)外研究結(jié)合起來，考慮股票收益率和公司特征之間存在非線性關(guān)系，將非參估計(jì)方法應(yīng)用到我國股市的資產(chǎn)定價(jià)模型上。因此，在我國快速發(fā)展的金融市場(chǎng)中，研究非線性因子模型的解釋力度具有一定的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

三、模型構(gòu)建

（一）模型設(shè)定

傳統(tǒng)的資產(chǎn)定價(jià)模型采用的貝塔因子模型如下：

其中，[Rit]是個(gè)股[i]在時(shí)間[t]上的超額收益率，[αi]是截距，代表非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)為0時(shí)的資產(chǎn)收益率，[βiK]是第[i]個(gè)資產(chǎn)第[K]個(gè)因子的因子載荷，[fKt]是第[K]個(gè)因子在時(shí)間[t]的收益。

假設(shè)因子數(shù)據(jù)集與股票收益率之間存在非線性關(guān)系，即因子數(shù)據(jù)集形成的未知函數(shù)和股票收益率存在線性關(guān)系。所以，本文構(gòu)建基于公司特征的因子模型來刻畫股票市場(chǎng)的非線性現(xiàn)象。

其中，[rit]是第[i]個(gè)股票第[t]期的收益率;[rf]是無風(fēng)險(xiǎn)收益率;[fut]和[fjt]是因子收益;[Xij]是可觀測(cè)的股票特征，假設(shè)不會(huì)隨時(shí)間變化;[gjXij]是基于股票特征的未知函數(shù)，不會(huì)隨時(shí)間變化，是模型估計(jì)的非參部分;[εit]是均值為0的股票收益率。因子特征函數(shù)[gjXij]可以把特征[Xij]映射到因子收益，所以因子收益[fjt]和因子特征函數(shù)[gjXij]相關(guān)。

我們可以看到，公式（2）是一種將基于特征的函數(shù)加權(quán)求和的一元因子模型，其中權(quán)重是因子收益[fjt]，會(huì)隨時(shí)間變化，是時(shí)變參數(shù)。市場(chǎng)因子[fut]反映了和公司特征無關(guān)的資產(chǎn)共同收益的部分，所有資產(chǎn)的市場(chǎng)因子都有單位貝塔。它反映了所有股票共同移動(dòng)的趨勢(shì)，屬于面板數(shù)據(jù)模型的共同因素。

（二）特征函數(shù)識(shí)別條件的提出

我們假設(shè)觀測(cè)的特征都是獨(dú)立同分布的，據(jù)此提出識(shí)別限制：對(duì)于每一個(gè)特征，特征函數(shù)橫截面平均值為0，特征函數(shù)橫截面的方差為1，即[E*gjXji=0，var*gjXji=1]。其中，[E*]是某個(gè)分布[P*]的期望，即[E*gj=gjxdP*jx]。選擇不同的分布函數(shù)會(huì)影響特征的解釋，[var*gjXij=1]這一條件設(shè)置了因子收益的大小，[E*gjXij=0]這一條件會(huì)影響對(duì)截距的解釋。如果我們使用總體分布，則[E*gjXij=0]表示截距可以被解釋為平均資產(chǎn)的收益;如果我們使用流通價(jià)值加權(quán)的總體分布，則[E*gjXij=0]表示截距是流通價(jià)值加權(quán)平均資產(chǎn)的收益。為了簡(jiǎn)化我們的理論，本文使用不加權(quán)總體分布。

四、方法對(duì)比

（一）構(gòu)建投資組合回歸法

我們先來回顧一下FF三因子模型方法。首先，把所有股票按照流通市值從小到大的順序排列，前50%作為小市值（S）組，后50%作為大市值（B）組;用同樣的方法，把所有股票按賬面市值比分為三組，排名前30%的是低賬面市值比（L）組，后30%的是高賬面市值比（H）組，中間40%的是中間（M）組;從而構(gòu)建SH、SM、SL、BH、BM、BL六大類投資組合，計(jì)算出規(guī)模因子（SMB）和價(jià)值因子（HML），而市場(chǎng)因子是市場(chǎng)所有股票的加權(quán)收益率與一個(gè)月國債收益率的差。其次，分別基于市值和賬面市值比的大小將所有股票等分為五組，構(gòu)建出25個(gè)投資組合，以流通市值作為權(quán)重，計(jì)算出加權(quán)的組合收益率。最后，以組合的超額收益率作為被解釋變量，對(duì)市場(chǎng)因子、規(guī)模因子和價(jià)值因子進(jìn)行最小二乘時(shí)間序列回歸。

雖然通過構(gòu)造投資組合方法可以解釋哪些因素影響股票收益率，但是FF三因子模型還存在三點(diǎn)缺陷：第一，當(dāng)因子個(gè)數(shù)較少時(shí)，可以通過有限的分類形成投資組合，但是當(dāng)存在大量因子時(shí)，該方法不再可靠，無法通過構(gòu)造多個(gè)投資組合來實(shí)現(xiàn)估計(jì)，這也正是本文需要解決的問題。第二，在估計(jì)因子載荷時(shí)，該模型沒有考慮到動(dòng)量因子等其他特征因子，誤差項(xiàng)中可能存在和股票收益率相關(guān)性較高但未被解釋的因子，可能會(huì)出現(xiàn)測(cè)量誤差問題。第三，因子載荷的估計(jì)是在已知因子收益的前提下進(jìn)行的，但是在現(xiàn)實(shí)中，因子收益和因子載荷都存在未知的可能性，需要同時(shí)估計(jì)出來。

（二）網(wǎng)格點(diǎn)估計(jì)法

Connor等（2007）[26]提出了新的構(gòu)建組合方法迭。他們的模型采用格點(diǎn)法，每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)特征向量的網(wǎng)格點(diǎn)。和FF三因子模型相比，他們計(jì)算投資組合收益率時(shí)采用核函數(shù)加權(quán)方法而不是流通市值加權(quán)平均法，并且根據(jù)每個(gè)資產(chǎn)的特征向量和目標(biāo)向量的距離確定核函數(shù)的權(quán)重。

假設(shè)[J]個(gè)特征有[M]個(gè)不同的目標(biāo)值，定義隨機(jī)向量[X]集合中的元素[xmj]成為選中的值，所以目標(biāo)特征向量的格點(diǎn)有[H=MJ]種組合，定義所有的目標(biāo)向量組成的集合為[xh=xh1，xh2，…，xhJ′，h=1，2，…，H]，在給定[h]對(duì)應(yīng)的向量[（m1，m2，…，mJ）]，每一個(gè)[xh]是[J]向量的目標(biāo)特征值。從公司[i]中觀察的特征值放入[Xi=Xi1，Xi2，…，XiJ′，i=1，2，…，n]。

其中，[rht]是加權(quán)投資組合收益率，[rit]是第[i]個(gè)股票第[t]期的收益率，[rht]是條件期望[rit]在[Ci=ch]下的非參估計(jì)量，[ωhi]是采用高斯核函數(shù)構(gòu)建的核函數(shù)權(quán)重。

根據(jù)（5）式，構(gòu)建基于核函數(shù)的投資組合收益如下：

對(duì)于每一個(gè)格點(diǎn)[xhj]，都有對(duì)應(yīng)估計(jì)的因子特征值，由于[gj0=0]，[gj1=1]，所以[g1j=0]，[g2j=1]，他們對(duì)[M-2J]個(gè)因子特征函數(shù)g（.）和[J+1T]個(gè)因子收益進(jìn)行估計(jì)，定義[θ=M-2J+J+1T]列向量參數(shù)矩陣，將公式（6）改寫成非線性形式，得到：

其中，[δhj，m]是虛擬變量，當(dāng)組合[h]有目標(biāo)值[xmj]時(shí)，它就是1，否則就是0。

其中，加權(quán)矩陣[V]是對(duì)稱正定矩陣，可以從數(shù)據(jù)中估計(jì)出來。[Qnθ]是四次多項(xiàng)式，有唯一合適的緊集。他們采用迭代加權(quán)最小二乘方法找到最小值[θ=gT，fTT]，使它滿足：

Connor等（2007）[26]提出的估計(jì)方法可以同時(shí)估計(jì)因子特征函數(shù)和因子收益，得到的估計(jì)量是一致的且更有效。但是，此方法的缺點(diǎn)在于太過于依賴多元核函數(shù)方法創(chuàng)造投資組合，當(dāng)遇到高維數(shù)據(jù)時(shí)，這些多元核函數(shù)會(huì)嚴(yán)重限制因子的個(gè)數(shù)，所以因子個(gè)數(shù)較多時(shí)，該方法變得不可靠。而本文提出的方法不需要多元核函數(shù)就可以進(jìn)行估計(jì)。

（三）加權(quán)非線性因子模型非參估計(jì)

上述兩個(gè)估計(jì)方法要求構(gòu)建多個(gè)投資組合和多元核函數(shù)，估計(jì)的特征數(shù)目有限，而本文提出了一種新的估計(jì)策略，能快速估計(jì)出因子收益和因子特征函數(shù)，并且適用于多特征的情況。在非參估計(jì)部分，我們把問題分解成單獨(dú)估計(jì)每個(gè)特征的子問題，子問題之間不斷地迭代，最終得到估計(jì)結(jié)果，這是加權(quán)非參回歸方法中的標(biāo)準(zhǔn)技巧。

我們先建立總體最小二乘標(biāo)準(zhǔn)：

只要滿足上文提到的兩個(gè)識(shí)別條件，就可以找到最小化的[QTf，g]了。

由于本文模型中[f]和[g]未知，都需要估計(jì)出來，而且最小化問題沒有唯一解而是一組向量空間，所以我們采用無約束變量[gjxj]來替代[gjxj]。

其中，[P*jxj]是特征[j]的概率分布函數(shù)。

由于真實(shí)期望值無法得到，所以我們采用有界可調(diào)整的核函數(shù)回歸估計(jì)量。我們估計(jì)條件期望[Eyit|Xij=x]如下：

比如，[Khx，y=Kxhx-y=h-1Kxh-1x，y]表示[x]在[Xij]內(nèi)部支持。[K]是核函數(shù)，[h]是帶寬。我們假設(shè)每個(gè)協(xié)變量在已知區(qū)間[[x，x]]里，協(xié)變量密度是非0有界的。我們需要對(duì)核函數(shù)做出有界調(diào)整確保誤差在每個(gè)地方都是相同大小的。

當(dāng)資產(chǎn)總體是固定的時(shí)候，最小化問題可以看作一系列線性回歸問題，采用最小二乘法估計(jì)系數(shù)。但是當(dāng)資產(chǎn)總體是隨機(jī)的時(shí)候，我們先固定因子特征函數(shù)[g.]，分別對(duì)（11）式中的[fut]和[fjt]求一階導(dǎo)，得到：

接著，我們?cè)俟潭ㄒ蜃邮找鎇fut]和[fjt]，采用Gateaux對(duì)（11）式在[ψ.]函數(shù)方向上求點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。

我們通過不斷迭代解決這一問題，共分為四步：

第一步是設(shè)置第一次迭代的初始值[f0]和[g0]，滿足一致性;第二步是按照（18）式，根據(jù)[f0]估計(jì)第二次迭代的[g1]：

五、實(shí)證研究

（一）數(shù)據(jù)來源及說明

本文從國泰安數(shù)據(jù)庫中選取了中國A股市場(chǎng)所有股票的個(gè)股收益率和公司財(cái)務(wù)報(bào)表等信息，研究區(qū)間是1995年7月—2020年6月，總共有300個(gè)月，樣本量為382884。。因?yàn)锳股市場(chǎng)于1995年才開始逐漸發(fā)展壯大，之前上市公司數(shù)量不夠多，信息不夠齊全，而且每年末的公司財(cái)務(wù)報(bào)表會(huì)在下一年的7月份之前全部披露完成，所以選擇1995年7月作為樣本區(qū)間起點(diǎn)。我們把1995年7月—1996年6月的數(shù)據(jù)看作1995年的年度數(shù)據(jù)，以此類推。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選和預(yù)處理，剔除掉流通市值排名后10%的公司。為了防止出現(xiàn)借殼上市的公司，不考慮上市時(shí)間小于6個(gè)月的公司、金融行業(yè)公司和ST股票。以流通市值加權(quán)平均法計(jì)算的考慮現(xiàn)金紅利再投資的綜合A股市場(chǎng)回報(bào)率作為市場(chǎng)收益率，以月度化定期整存整取一年的利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率，以考慮現(xiàn)金紅利再投資的月度個(gè)股回報(bào)率作為股票收益率。使用市值賬面比（流通市值與所有者權(quán)益的比值）作為價(jià)值特征，個(gè)股超額收益率是個(gè)股回報(bào)率減去無風(fēng)險(xiǎn)收益率，市場(chǎng)因子收益是市場(chǎng)收益率減去無風(fēng)險(xiǎn)收益率。為了方便研究，以上數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成月度數(shù)據(jù)。

以往文獻(xiàn)研究發(fā)現(xiàn)，規(guī)模效應(yīng)、價(jià)值效應(yīng)、動(dòng)量效應(yīng)對(duì)股票橫截面收益有重大影響。因此，構(gòu)建基于公司規(guī)模、價(jià)值、動(dòng)量特征的非線性因子模型：

其中，[rit]是個(gè)股收益率，[rf]是無風(fēng)險(xiǎn)收益率，市場(chǎng)因子[fut]反映了和公司特征無關(guān)的資產(chǎn)共同收益的一部分，G（.）表示基于公司特征的特征函數(shù)，[Size]是流通市值，[Value]是市值與賬面價(jià)值的比，[Mom]是個(gè)股的前12個(gè)月收益率之和，[fit]代表因子收益。

（二）評(píng)價(jià)模型解釋力度

本文評(píng)價(jià)模型解釋力度的指標(biāo)共有兩個(gè)，分別是根均方誤差（[RMSE]）和平均去中心化的[R2]統(tǒng)計(jì)量（[UR2]）。[RMSE]值越小，[UR2]值越大，則代表模型的解釋力度越強(qiáng)。

其中，[yit]是真實(shí)的個(gè)股超額收益率，[yit]是模型估計(jì)出的擬合值。

（三）描述性統(tǒng)計(jì)

本文對(duì)原始三個(gè)特征進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)（見表1）。由于篇幅限制，只列舉每隔5年以及中間年的6月份的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，規(guī)模特征的均值最大，動(dòng)量特征的標(biāo)準(zhǔn)差最小。

把每年的7月作為橫截面，將3個(gè)公司特征兩兩匹配得到3組橫截面之間的相關(guān)系數(shù)（見圖1）。從圖中可以看出，這3個(gè)特征之間的相關(guān)性都是從負(fù)數(shù)到正數(shù)持續(xù)震蕩。平均來說，動(dòng)量特征和規(guī)模特征成正相關(guān)，動(dòng)量特征和價(jià)值特征成負(fù)相關(guān)，價(jià)值特征和規(guī)模特征成正相關(guān)。

六、模型效果

（一）估計(jì)結(jié)果

當(dāng)解釋變量是時(shí)變的，直接估計(jì)特征函數(shù)是不可行的。我們將因子載荷的估計(jì)集中在-3和3之間的61個(gè)等距網(wǎng)格點(diǎn)上，相鄰網(wǎng)格點(diǎn)間隔0.1，使用線性插值法計(jì)算因子載荷，再根據(jù)資產(chǎn)收益率和因子載荷估計(jì)因子收益。由于因子載荷和格點(diǎn)是線性關(guān)系，這個(gè)過程可以提高算法速度。

選擇高斯核進(jìn)行非參估計(jì)條件期望，這種核的優(yōu)點(diǎn)在于能夠平滑地估計(jì)連續(xù)變量。設(shè)置格點(diǎn)的帶寬等于樣本密度的10%分位數(shù)，這就暗示了90%的觀測(cè)值不在格點(diǎn)內(nèi)。當(dāng)帶寬越窄時(shí)，數(shù)據(jù)更密集一些，反之，數(shù)據(jù)更稀疏一些。

將估計(jì)出來的因子載荷進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（見圖2）。從圖2可以看出，這3個(gè)特征函數(shù)都是單調(diào)遞增的，規(guī)模特征、價(jià)值特征的函數(shù)接近于線性，而動(dòng)量特征的曲線是非線性的。

（二）模型解釋力度

在每一步迭代估計(jì)中，因子收益是前一個(gè)迭代因子特征函數(shù)的回歸系數(shù)。為了衡量因子解釋力，我們采用最后一步的特征函數(shù)估計(jì)值，并且對(duì)所有特征、單個(gè)特征、剩余特征進(jìn)行橫截面回歸（見表2）。表2中第一行是只對(duì)當(dāng)前的特征進(jìn)行回歸得到的[UR2]，第二行是剩余特征的[UR2]，最后一行是三個(gè)特征非線性回歸得到的[UR2]。從表2中可以看到，市場(chǎng)因素在解釋力上是主要的，其次是規(guī)模特征、動(dòng)量特征和價(jià)值特征。

為了和Connor（2012）[10]研究美國股票市場(chǎng)的[UR2]進(jìn)行對(duì)比，選擇1995—2007年的中國股票市場(chǎng)作為觀測(cè)區(qū)間，計(jì)算出[UR2]為35.97%，比美國股市[UR2]19.81%要大一些，說明本文提出的模型解釋力度更強(qiáng)，更適用我國的股票市場(chǎng)。

我們通過計(jì)算橫截面上估計(jì)系數(shù)的[t]統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)每個(gè)特征的顯著性（見表3），發(fā)現(xiàn)在95%置信水平上，每個(gè)特征的顯著月份的比重都超過50%，說明所有特征是顯著的。

將25年數(shù)據(jù)拆分為5個(gè)5年估計(jì)區(qū)間，分別估計(jì)特征函數(shù)，并且進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，如圖3所示。結(jié)果發(fā)現(xiàn)這三個(gè)特征的每五年特征函數(shù)相差不是很大，大體保持在一條線上。說明本文估計(jì)的特征函數(shù)具有穩(wěn)健性。

（三）與FF三因子模型對(duì)比

本文按照FF三因子模型，構(gòu)建25個(gè)投資組合的加權(quán)平均收益率，計(jì)算規(guī)模因子和價(jià)值因子，進(jìn)行回歸（見表4）。結(jié)果發(fā)現(xiàn)所有投資組合中市場(chǎng)因子均顯著，而在有些投資組合中規(guī)模因子和價(jià)值因子不顯著。但是，本文構(gòu)建的非線性因子模型中市場(chǎng)、規(guī)模和價(jià)值三個(gè)特征都顯著，非線性因子模型[RMSE]值為0.324，比FF三因子模型的PMSE值?。ㄒ姳?），說明本文提出的模型解釋效果更好。

七、結(jié)論

本文提出一種新的估計(jì)方法，構(gòu)建加權(quán)非線性因子模型，研究公司特征與股票收益率存在的非線性關(guān)系以及模型的解釋力度，能有效解決維度詛咒問題，適用于公司特征數(shù)較多、無法構(gòu)建投資組合及高維面板數(shù)據(jù)的情況，豐富了我國股票收益率和公司特征存在非線性關(guān)系方面的研究。

本文選取了1995年7月—2020年6月我國A股上市公司的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，考慮公司規(guī)模特征、價(jià)值特征和動(dòng)量特征，把這些特征的未知函數(shù)作為因子載荷，時(shí)變因子收益作為權(quán)重，采用格點(diǎn)法將特征函數(shù)映射到格點(diǎn)區(qū)間內(nèi)，用高斯核估計(jì)條件期望，通過對(duì)高維數(shù)據(jù)不斷迭代估計(jì)參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)降維，同時(shí)估計(jì)出特征函數(shù)和因子收益，得到回歸結(jié)果。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，特征函數(shù)滿足識(shí)別條件，是單調(diào)遞增的，其中動(dòng)量特征和收益率是非線性關(guān)系。我們還通過計(jì)算模型的[UR2]研究了模型的解釋力度，發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)因素在解釋股票收益率上占主要地位，其次是規(guī)模特征、動(dòng)量特征和價(jià)值特征，回歸結(jié)果中這三個(gè)特征是顯著的。此外，本文還將中美兩國股票市場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比，研究發(fā)現(xiàn)本文提出的模型更加適用于中國，解釋力度更大;將本文的模型和FF三因子模型進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)FF三因子模型構(gòu)建的所有投資組合中市場(chǎng)因子均顯著，而在有些投資組合中規(guī)模因子和價(jià)值因子不顯著，而且估計(jì)誤差比本文模型更大，說明本文模型的解釋效果比傳統(tǒng)三因子模型更好。本文提出的非線性因子模型，有助于通過基本面分析研究我國股市的超額收益，也能為金融市場(chǎng)的多因子投資策略提供參考建議。

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Are Company Characteristics and Stock Return in a Non-linear Relationship？

——Based on the Empirical Research of Chinese Stock Market

Wei Jie/Wen Xinyue

（School of Economics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan? ?430000，Hubei，China）

Abstract：Asset pricing has been overwhelmingly researched in finance. A weighted nonlinear factor model is established based on existing research results，with unknown functions of firm characteristics as factor loadings and time-varying factor returns as weights，to investigate whether there is a nonlinear relationship between stock excess returns and firm characteristics，and the applicability and explanatory strength of the model to China's stock market. The financial data of China's A-share listed companies from July 1995 to June 2020 are selected，and the characteristic functions and factor returns are estimated simultaneously by using kernel function regression method considering firm size characteristics，value characteristics and momentum characteristics，and it is found that all three characteristics are significant and the momentum characteristics are nonlinearly related to the returns. In addition，the model in this paper is more applicable to the Chinese stock market and has stronger explanatory power compared to the US stock market; compared with the Fama-French three-factor model，the estimation error in this paper is smaller. The model proposed in this paper has implications in the field of fundamental analysis and factor investment strategies.

Key Words：stock market，weighted nonlinear factor model，nonparametric estimation，asset pricing

（責(zé)任編輯? ? 關(guān)? ?健;校對(duì)? ?LY，WY）

收稿日期：2021-12-09? ? ? 修回日期：2022-01-21

作者簡(jiǎn)介：魏杰，男，華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)槲⒂^計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、因子模型;文欣玥（通訊作者），女，華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，研究方向?yàn)橘Y產(chǎn)定價(jià)。