曾鵬 李志青

【摘要】泰勒公式是微積分理論的重要內(nèi)容，本文首先應(yīng)用泰勒展開式推導(dǎo)出函數(shù)代數(shù)和的等價無窮小，其次探索了函數(shù)代數(shù)和的等價無窮小在求極限上的應(yīng)用，最后通過研究生入學(xué)考試試題給出了具體的應(yīng)用與解題技巧.

【關(guān)鍵詞】泰勒公式;等價無窮小;極限

【基金項目】本文系廣東省青年創(chuàng)新人才項目.（項目編號：2020KQNCX132）

極限是高等數(shù)學(xué)中的重要概念，高等數(shù)學(xué)中的很多概念都是用極限語言定義的.如：函數(shù)的連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，定積分，等等.極限是一種很重要的思想，實際生活中很多沒辦法量化的問題，如不規(guī)則圖形的面積、周長等都可以通過求極限來解決.在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程當(dāng)中，有關(guān)于極限的計算一直是我們學(xué)習(xí)的重點以及難點，主要是由于極限的題目靈活多變，方法也多種多樣，如定義法，零因子消去法，無窮大量約去法，洛必達(dá)法則等.當(dāng)然，對于一些復(fù)雜的題目，在短時間內(nèi)解決有一定的難度，并且對于不同的題目，如果選擇的方法不恰當(dāng)，也會導(dǎo)致題目解不出來.對于一些復(fù)雜題型的極限計算，我們發(fā)現(xiàn)利用泰勒公式計算過程簡便，并且不容易出錯.因而我們有必要探討泰勒公式在函數(shù)極限運算中的一些研究.

泰勒公式是微積分理論的重要內(nèi)容，主要的思想就是用簡單的多項式近似表達(dá)較復(fù)雜的函數(shù)，在解決函數(shù)極限、不等式.近似計算等方面有著廣泛的應(yīng)用，解決了用微分計算函數(shù)值或函數(shù)增量精確度不高的問題，也為我們提供了一種誤差的估計公式，并實現(xiàn)了對誤差的一種有效控制.本文著重應(yīng)用泰勒展開式推導(dǎo)出函數(shù)代數(shù)和的等價無窮小，從而探索出等價無窮小代換往往不適用于函數(shù)的代數(shù)和求極限的本質(zhì)，并通過多年教學(xué)經(jīng)驗和考研數(shù)學(xué)的研究，總結(jié)了泰勒公式在極限應(yīng)用方面的一些解題技巧.

一、一道例題引發(fā)的思考

例1 求limx→0tan x-sin xsin3x

錯解 當(dāng)x→0時，tan x～x，sin? x～x

因此原式=limx→0x-xx3=limx→00x3=0.

錯誤原因是等價無窮小量代換求極限只適用于乘除法運算，不適用于加減法運算.

下面我們用一般方法來求上例極限.

正解 當(dāng)x→0時，1-cos x～12x2，sin? x～x

∴l(xiāng)imx→0tan x-sin? xsin3x=limx→0sin? x1cos x-1sin3x=limx→01-cos xsin2xcos x=limx→012x2x2cos x=12.

在課堂上，我們常常給學(xué)生們強調(diào)等價無窮小量代換求極限問題只適用于加減法，并不適用于乘除法運算，可能很多同學(xué)不太明白其中的原理.下面我們用泰勒展開式來尋找其根源.

在學(xué)習(xí)泰勒公式之前，我們先來了解下它產(chǎn)生的背景.在學(xué)習(xí)微分的時候，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一個近似公式：f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0），此時，我們可以把函數(shù)f（x）用一次函數(shù)去逼近，但是為了提高精度，可以利用洛必達(dá)法則和二階導(dǎo)數(shù)的定義，可以把上面的一次函數(shù)修正為二次函數(shù)去逼近，即f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2，以此類推，我們就可以得到n階泰勒多項式了.總的來說，泰勒展開其實就是用簡單的多項式來近似表示在x0鄰域內(nèi)的函數(shù)，并且如果要提高精度，那么展開的項數(shù)也要增多.

定理1[1] 泰勒公式

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上n+1階連續(xù)可導(dǎo)，且x0∈（a，b），則對任意的x∈（a，b）有：

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2+…+1n！f（n）（x0）（x-x0）n+Rn（x）其中，Rn（x）=fn+1ξ（n+1）?。▁-x0）n+1，這里ξ介于x和x0之間.

當(dāng)上面x0=0時.我們得到泰勒公式的一個特殊情況，稱之為麥克勞林公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+12！f″（0）x2+…+1n！f（n）（0）xn+o（xn）.

定理2 β與α是等價無窮小的充分必要條件是β=α+o（α）

證 必要性 設(shè)α～β，limβ-αα=limβα-1=0，∴β-α=o（α），即β=α+o（α）.

充分性 設(shè)β=α+o（α），limβα=limα+o（α）α=1+limo（α）α=1，∴α～β.

如果f（x）和g（x）為x→0時的無窮小量，那么f（x）±g（x）也為一個無窮小，因此，由定理2可以知道，我們需要找到f（x）±g（x）的等價無窮小函數(shù)h（x），使得f（x）±g（x）=h（x）+o（x），這時泰勒展開式就為我們提供了尋找h（x）的方法.

如例1，我們可以給出一種簡潔的方法：

由于tan x=x+x33+o（x3），sin x=x-x33！+o（x3），則tan x-sin? x=12x3+o（x3），

即tan x-sin? x～12x3x→0，

則limx→0tan x-sin? xsin3x=limx→012x3x3=12.

那么例1錯解的原因在哪呢？我們發(fā)現(xiàn)主要是因為tan x=x+o（x），sin? x=x+o（x），從而tan x-sin? x=0+o（x）.換句話說，這時的h（x）=0，這顯然是不合適的.也就是說，我們需要利用泰勒展開公式找到一個不等于0的h（x）與函數(shù)的代數(shù)和進行無窮小量等價代換，再去求極限，從而可以達(dá)到我們的簡化目的.

二、常見初等函數(shù)的泰勒公式

泰勒展開公式是一元微分學(xué)的重要公式，也是考研數(shù)學(xué)中?？贾R點.泰勒展開公式的主要作用是將不同類型的復(fù)雜函數(shù)都能轉(zhuǎn)化為更容易處理的冪函數(shù)，從而使復(fù)雜的極限問題得到化簡.原則上講，泰勒展開公式是求極限問題中的通用方法，相比于洛必達(dá)法則更具有優(yōu)勢，下面我們給出一些常見初等函數(shù)的泰勒展開公式：

1.ex=1+x+12！x2+13！x3+…+1n！xn+o（xn）

2.sin? x=x-13！x3+15！x5+…+（-1）n1（2n+1）！x2n+1+o（x2n+1）

3.cos x=1-12！x2+14！x4+…+（-1）n1（2n）！x2n+o（x2n）

4.（1+x）a=1+ax+a（a-1）2！x2+…+a（a-1）…（α-n+1）n！xn+o（xn）

5.ln（1+x）=x-12x2+13x3-…+（-1）n-1nxn+o（xn）

6.tan x=x+13x3+215x5+o（x6）

7.arcsin? x=x+16x3+340x5+o（x6）

8.arctan x=x-13x3+15x5+…+（-1）m-12m-1x2m-1+o（x2m）

9.11-x=1+12x+3·14·2x2+…+（2n-1）?。。?n）??！xn+o（xn）

注：根據(jù)sin? x與x 是互為等價無窮小，所以sin? x的泰勒展開公式的首項為x，再結(jié)合“跳著走”規(guī)律記住sin? x的規(guī)律，也可以記住cos x的泰勒展開公式.arcsin? x的導(dǎo)數(shù)為11-x2在結(jié)合11-x的泰勒展開公式即可記住.

下面，我們通過一個例子來學(xué)習(xí)泰勒公式在函數(shù)極限中的一個應(yīng)用.

例2[2] 求limx→0xsin? x-ln（1+x2）e-x22-cos x

解 ∵sin? x=x-13！x3+o（x3），ln（1+x2）=x2-12x4+o（x4）.

e-x22=1-x22+12！-x222+o（x4），cos x=1-12！x2+14！x4+o（x4）.

∴xsin? x-ln（1+x2）=xx-16x3-x2-12x4+o（x4）=13x4+o（x4）～13x4，

e-x22-cos x=1-x22+18x4-1-x22+124x4+o（x4）=112x4+o（x4）～112x4，

因此，原式=limx→013x4112x4=4.

在運算的過程中，我們常常會考慮一個問題，就是展開到第幾項才合適呢？經(jīng)過分析我們發(fā)現(xiàn)，只要展開到分子分母同時出現(xiàn)不為0（消不掉）的最小次數(shù)n即可，一般情況下，要求的極限是x→0時的極限，就算有時x不是趨于0，也常?？梢酝ㄟ^換元方法變成上述類型.使用泰勒展開式，我們期望得到的式子是多項式除以多項式的形式，并且最后是想要分子的最低次數(shù)和分母的相同，以便能夠在趨于0的時候可以約去，從而得到一個常數(shù)（帶一個無窮小量），也就是說，我們展開的最終目標(biāo)的形式應(yīng)該是：limx→0f（x）=limx→0Axk+oxkBxk+oxk.

我們見到的極限題目，要么乘除，要么加減，因此，我們把這兩類題型歸結(jié)為“AB”型、“A-B”型以及這兩者的結(jié)合.

1.“AB”型

對于“AB”型，我們利用泰勒展開式可以遵循“分式上下同階原則”，簡單地說就是如果能夠確定分母（分母）的x的次冪后，就要把分子（分母）展開到x的同次冪.

例3 求limx→0ex（x-2）+x+2x3

解 ∵ex=1+x+12x2+16x3+o（x3），

∴ex（x-2）+x+2=1+x+12x2+16x3+o（x3）（x-2）+x+2=16x3+16x4+o（x3）～16x3.因此，原式=limx→016x3x3=16.

解析 本例中因為分母是x3，根據(jù)“上下同階”原則，因此我們需要把分子也展開到x3，但在此題中，我們需要注意的是應(yīng)當(dāng)要把所有涉及x的立方項都要展開出來，所以在對ex進行泰勒展開時，我們要展開到x的立方項，主要是和后面因子中常數(shù)項2相乘會出現(xiàn)x的立方項，這樣才能恰好出現(xiàn)所有的x的立方項，在講解的過程中，我們發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)由于展開得不夠，出現(xiàn)了以下的錯誤：

錯解 ∵ex=1+x+12x2+o（x2）

因此，原式=limx→01+x+12x2（x-2）+x+2x3=limx→012x3x3=12.

例4 求limx→0sin? x-xcos xsin3x

正如上面所說，希望分子分母同階（或分子階數(shù)比分母更高），一般來說，我們先確定分母或者分子的階數(shù)，在按照所給的階數(shù)展開另一部分，例4中顯然分母是三階的，因此我們只要將分子也展開到三階即可，解法如下：

解 ∵sin? x=x-x33！+o（x3），xcos x=x-x32！+o（x3）.

因此，原式=limx→013x3+o（x3）x3=13.

2.“A-B”型

對于“A-B”型，我們利用泰勒展開式可以遵循“加減冪次最低原則”，簡單地說就是將A與B展開到它們的系數(shù)不相等的x的最低次冪為止.

例5 求limx→0x2e2x+ln（1-x2）xcos x-sin? x

解 ∵e2x=1+2x+o（x），ln（1-x2）=-x2+o（x3），cos x=1-12x2+o（x2），sin? x=x-16x3+o（x3）.

∴x2e2x+ln（1-x2）=x2（1+2x+o（x））-x2+o（x3）=2x3+o（x3）～2x3，

xcos x-sin? x=x-12x3-x+16x3+o（x3）～-13x3.因此，原式=limx→02x3-13x3=-6.

解析 首先觀察到分母是“A-B”型，根據(jù)“加減冪次最低原則”，因此我們只需展開到第一個不相等的冪次就可以了，從而分母我們就展開到了x的三次冪，然后整體就可以化為“AB”型，我們再利用“分式上下同階原則”，分子也要展開到了x的三次冪，因此我們就能夠確定展開的階數(shù).

我們平時見到的大部分極限，除了有些我們作為常識的階數(shù)，大部分的分子分母我們還是很難看出它的階數(shù)的，一般“A-B”型的階數(shù)，我們采用的方法一般都是一項項比，直到?jīng)]法消去為止.

例6 求limx→0exsin? x-（1+x）ln（1+x）-12x2x3

解 根據(jù)分母知，分子需要展開到3階.首先考慮exsin? x=1+x+12x2+o（x2）x-x33！+o（x3）=x+x2+13x3+o（x3）

再考慮（1+x）ln（1+x）=（1+x）x-12x2+13x3+o（x3）=x+12x2-16x3+o（x3）

于是

exsin? x-（1+x）ln（1+x）-12x2=x+x2+13x3-x+12x2-16x3-12x2+o（x3）=12x3+o（x3）因此，原式=limx→012x3+o（x3）x3=12.

三、泰勒公式在考研數(shù)學(xué)極限中的應(yīng)用

極限是考研數(shù)學(xué)中重要的題型，很多同學(xué)在面對復(fù)雜的極限計算時沒有思路，無從下手.下面我們利用泰勒公式在極限中的應(yīng)用，對近年考研數(shù)學(xué)中的極限問題進行解答，讓同學(xué)更好地認(rèn)識和理解泰勒公式在極限問題的計算過程和解題技巧.

例7 （2021年數(shù)學(xué)一考研真題）：

求limx→01+∫x0et2dtex-1-1sin? x

解 limx→01+∫x0et2dtex-1-1sin? x

=limx→0sin? x1+∫x0et2dt-（ex-1）（ex-1）sin? x

又因為∫x0et2dt=∫x0（1+t2+o（t2））dt

=x+13x3+o（x3），sin? x=x-13！x3+o（x3），

ex-1=x+12！x2+o（x2），ex-1～x，sin? x～x.

∴sin? x1+∫x0et2dt-（ex-1）

=x-16x3+o（x3）1+x+13x3+o（x3）

-x+12x2+o（x2）

=12x2+o（x2）～12x2，

即原式=limx→012x2x2=12.

解析 本例中通分后分母可通過等價無窮小量代換為x2，因此只要將分子展開至分母的階數(shù)x2項即可進行等價代換求極限.

例8 （2012年數(shù)學(xué)三考研真題）：求limx→0ex2-e2-2cos xx4

解 limx→0ex2-e2-2cos xx4=limx→0e2-2cos xex2-2+2cos x-1x4

=limx→0x2-2+2cos xx4.

又由于cos x=1-12！x2+14！x4+o（x4），∴x2-2+2cos x=x2-2+21-12x2+124x4+o（x4）=112x4+o（x4）～112x4.

因此原式=limx→0112x4x4=112.

解析 本例中沒有直接用泰勒展開公式對分子進行展開，而是先進行變形，將分子兩項“融合”在一起，再利用等價無窮小代換，最后在利用泰勒展開式進行運算.

四、結(jié)語

極限的計算一直是高等數(shù)學(xué)的重點和難點，也是考研數(shù)學(xué)必考的問題，對于復(fù)雜函數(shù)的極限問題，用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)是我們解決問題的關(guān)鍵點，而泰勒展開公式能夠?qū)⒁磺泻瘮?shù)表示成冪級數(shù)的和，因此為我們提供了一個將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的理論基礎(chǔ)，所以，牢固掌握泰勒展開公式，在解決函數(shù)極限問題上可以起到化繁為簡的效果，但在使用泰勒展開定理求極限時，需要注意不能不寫無窮小量，也不要還沒取極限就約掉了，泰勒展開式等式，不是近似等式.當(dāng)已確定階數(shù)時，遇到A，B（A，B都需要泰勒展開時），建議將A和B都先展開到該階數(shù)然后再去相乘，否則容易導(dǎo)致錯誤.對于乘式的展開和復(fù)合函數(shù)的展開巨大的運算量，要學(xué)會適當(dāng)估計階數(shù)，扔掉太小的無窮小量.著重注意應(yīng)該展開到第幾階才是合適的，因此在解題的過程中，我們應(yīng)該遵循“分式上下同階原則”以及“加減冪次最低原則”，從而為我們展開到合適的階數(shù)確定一定的方向.

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