杜玉琴，孫 超，崔建新

(1.中國(guó)社會(huì)科學(xué)院大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 102488；2.中國(guó)傳媒大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024；3.中鐵投資集團(tuán)有限公司，北京 100039)

由于社會(huì)環(huán)境的不確定性以及實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性和可變性，通常無(wú)法用明晰的數(shù)字來(lái)表示屬性值，尤其是定性屬性值。為了解決這個(gè)問(wèn)題，Zadeh[1]提出了模糊集的概念，隨后Atanassov[2]提出了直覺(jué)模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets, IFS)，它同時(shí)評(píng)估決策問(wèn)題中支持和反對(duì)的替代方案。2013年，Yager等[3]給出了Pythagorean模糊集(Pythagorean Fuzzy Sets, PFS)的定義，其隸屬度μ和非隸屬度v之和可以大于1，并且滿足條件0≤u2+v2≤1。與IFS相比，PFS的應(yīng)用范圍更廣，PFS可以解決IFS無(wú)法解決的一些決策問(wèn)題。之后，許多學(xué)者將PFS進(jìn)一步擴(kuò)展來(lái)解決多屬性群決策問(wèn)題[4-6]。

2017年，Yager[7]在IFS和PFS的基礎(chǔ)上，結(jié)合文獻(xiàn)[8-10]提出了q-階正交模糊集(q-Rung Orthopair Fuzzy sets,q-ROF)的概念，其隸屬度μ的q次冪和非隸屬度v的q次冪之和要求小于等于1，即0≤uq+vq≤1。由于IFS和PFS都是q-ROF的特例，因此q-ROF在處理不確定信息等方面比IFS和PFS更具靈活性，更具有一般性，從而引起了國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者的關(guān)注。Liu等[11]定義了q-階正交模糊加權(quán)平均(q-Rung Orthopair Fuzzy Weighted Average,q-ROFWA)算子和q-階正交模糊加權(quán)幾何(q-Rung Orthopair Fuzzy Weighted Geometry,q-ROFWG)算子。Liu等[12]將Bonferroni平均(Bonferroni Mean, BM)算子與q-階正交模糊數(shù)(q-Rung Orthopair Fuzzy Numbers,q-ROFNs)相結(jié)合，提出了q-階正交模糊BM(q-Rung Orthopair Fuzzy Bonferroni Mean,q-ROFBM)算子和q-階正交模糊幾何BM算子。Wang等[13]提出了q-階正交區(qū)間模糊信息的多屬性群決策方法，并將其應(yīng)用于綠色供應(yīng)商選擇問(wèn)題。Xing等[14]提出了一些q-階正交模糊點(diǎn)加權(quán)集成算子，并將其用于解決多屬性決策問(wèn)題。

算子集成理論是模糊集理論中的一個(gè)重要組成部分，研究信息算子集成問(wèn)題[15]具有一定的理論價(jià)值。由于Einstein T模和Einstein S模[16]是代數(shù)T模和S模的一種推廣，應(yīng)用更廣泛，Zhang[17]定義了擬直覺(jué)模糊Einstein混合加權(quán)平均算子和擬直覺(jué)模糊Einstein混合加權(quán)幾何平均算子。Yu等[18]提出了猶豫的模糊Einstein集成算子并將其應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。Liu等[19]提出了幾種直覺(jué)不確定語(yǔ)言模糊powered Einstein信息集成算子。Garg[20]將Einstein T模和S模推廣到了Pythagorean模糊環(huán)境中，定義了Pythagorean模糊Einstein加權(quán)平均(Pythagorean Fuzzy Einstein Weighted Average, PFEWA)算子。目前，對(duì)Einstein算子在q-階正交模糊環(huán)境下的應(yīng)用的研究尚處于起步階段，Einstein算子在多屬性群決策的應(yīng)用還很少見(jiàn)。

隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，人們生活所處環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜，不確定性因素逐漸增加。q-階正交模糊集涵蓋了直覺(jué)模糊集、Pythagorean模糊集，相對(duì)于直覺(jué)模糊集和Pythagorean模糊集而言，q-階正交模糊集的約束條件更寬，決策者具有更為靈活的應(yīng)用空間，信息失誤范圍會(huì)更小，q-階正交模糊集能夠更好地詮釋人們對(duì)客觀不確定性事物描述的慣性思維。目前q-階正交模糊集被應(yīng)用于供應(yīng)鏈、風(fēng)險(xiǎn)投資、模式識(shí)別等領(lǐng)域，同時(shí)，其也成為了決策領(lǐng)域的一個(gè)重點(diǎn)研究方向。

由于q-階正交區(qū)間模糊變量[7]可以更客觀、更準(zhǔn)確地表達(dá)客觀世界的不確定性和模糊性，因此，本文在q-階正交區(qū)間模糊集和文獻(xiàn)[21]的基礎(chǔ)上，研究了q-階正交區(qū)間模糊環(huán)境下的Einstein信息算子的應(yīng)用問(wèn)題，并將其應(yīng)用到高校教育教學(xué)優(yōu)劣評(píng)估的多屬性決策的問(wèn)題中，同時(shí)驗(yàn)證了所提方法的實(shí)用性和正確性。

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

αj的精確值函數(shù)H(αj)定義為

(2)

定義3[13]令α1和α2為任意兩個(gè)q-階正交區(qū)間模糊變量，則q-階正交區(qū)間模糊變量的排序方法可定義如下:

1) 如果E(α1)>E(α2)，那么，α1>α2;

2) 如果E(α1)=E(α2)，那么，若H(α1)>H(α2),則α1>α2;若H(α1)=H(α2)，則α1=α2。

定義4[16]Enistein T模和S模的表達(dá)形式如下:

式中:x,y∈[0,1]。

2 q-階正交區(qū)間模糊環(huán)境下Enistein信息集成算子的運(yùn)算規(guī)則

根據(jù)q-階正交區(qū)間模糊變量和Enistein T模和S模的定義，下面定義了q-階正交區(qū)間模糊環(huán)境下Enistein信息集成算子的運(yùn)算規(guī)則。

容易證明上述幾種計(jì)算結(jié)果仍為q-階正交區(qū)間模糊變量。

定義6設(shè)αi和αj為兩個(gè)q-階正交區(qū)間模糊變量，k,ki,kj≥0，則有如下運(yùn)算規(guī)則:

1)αi⊕αj=αj⊕αi；2)αi?αj=αj?αi；3)k(αi⊕αj)=kαi⊕kαj；4) (ki⊕kj)αi=kiαi⊕kjαi；

結(jié)論易證，此處省略。

3 q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子

根據(jù)q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子的運(yùn)算規(guī)則，下面定義兩種q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子。

定義7設(shè)αj(j=1,2,…,n)是一組q-階正交區(qū)間模糊變量，則q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均(q-Rung Interval-Valued Orthopair Fuzzy Einstein Weighted Average,q-RIVOFEWA)算子可定義如下，且有

q-RIVOFEWA:Ωn→Ω，

(3)

q-RIVOFEWA(α1,α2,…,αn)=a。

證明比較容易，略。

則有

即有

根據(jù)定義2和定義3可得

證畢。

定理3(單調(diào)性)設(shè)αj，α′j(j=1,2,…,n)是兩組q-階正交區(qū)間模糊變量，對(duì)所有的j，均有αj≤α′j，那么

q-RIVOFEWA(α1,α2,…,αn)≤q-RIVOFEWA(α′1,α′2,…,α′n)。

與有界性證明類似，此處省略。

定義8設(shè)αj(j=1,2,…,n)是一組q-階正交區(qū)間模糊變量，那么q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均(q-Rung Interval-Valued Orthopair Fuzzy Einstein Weighted Geometry,q-RIVOFEWG)算子可定義如下，且有

q-RIVOFEWG:Ωn→Ω，

(4)

顯然，與q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均算子(q-RIVOFEWA)類似，q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均算子(q-RIVOFEWG)也同樣具有界性、冪等性、單調(diào)性等性質(zhì)。

有時(shí)雖然獲得了屬性的位置權(quán)重，但卻很難獲得其權(quán)重信息，上述集成算子無(wú)法解決這種問(wèn)題。針對(duì)此種情形，我們定義了有序加權(quán)信息集成算子。

q-RIVOFEOWA:Ωn→Ω，

式中:sσ(j)為sj(s=u,v;j=1,2,…,n)中第j大的元素；Ω為所有q-階正交區(qū)間模糊變量的集合。

與q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均(q-RIVOFEWA)算子類似，q-階正交區(qū)間模糊Enistein有序加權(quán)算術(shù)平均(q-RIVOFEWA)算子同樣具有界性、冪等性、單調(diào)性等性質(zhì)。

q-RIVOFEOWG:Ωn→Ω，

式中:sσ(j)為sj(s=u,v;j=1,2,…,n)中第j大的元素；Ω為所有q-階正交區(qū)間模糊變量的集合。

4 q-階正交區(qū)間模糊Enistein集成算子在決策中的應(yīng)用

步驟1 運(yùn)用q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均算子(q-RIVOFEWA)或q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均算子(q-RIVOFEWG)對(duì)R=[αij]m×n中的第i行進(jìn)行集成，并求方案Ai的屬性值αi:

或

步驟2 計(jì)算Ai(i=1,2,…,m)方案的期望函數(shù)E(Ai)，若出現(xiàn)E(Ai)=E(Ai′)(i≠i′)，根據(jù)定義2，則需要進(jìn)一步計(jì)算Ai(i=1,2,…,m)方案的精確函數(shù)H(Ai)(i=1,2,…,m)。

步驟3 根據(jù)定義3，選出最佳方案。

由于q-階正交區(qū)間模糊集比直覺(jué)模糊集和Pythagorean模糊集應(yīng)用范圍更廣，而Enistein T模和S模不僅可以進(jìn)行運(yùn)算，而且比代數(shù)運(yùn)算更靈活，效果更好，本節(jié)基于q-階正交區(qū)間模糊集和Enistein算子，提出了基于q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均算子和q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均算子的兩種多屬性決策方法，這兩種方法可以處理更復(fù)雜的信息，專家或決策者可以根據(jù)自身的興趣和實(shí)際需求，來(lái)選擇適當(dāng)?shù)膓的值,在應(yīng)用上具有一定的方便性和靈活性。

5 示 例

某教育部門(mén)對(duì)當(dāng)?shù)氐?個(gè)學(xué)校{A1,A2,A3,A4}進(jìn)行教學(xué)評(píng)估，從以下方面進(jìn)行考核: 教學(xué)運(yùn)行與監(jiān)控C1；教育質(zhì)量與成果C2；專業(yè)建設(shè)C3；社會(huì)評(píng)價(jià)C4。這4個(gè)方面的屬性權(quán)重為w=(0.25,0.30,0.30,0.15)。專家運(yùn)用q-階正交區(qū)間模糊集給出各個(gè)學(xué)校的評(píng)價(jià)值R=[αij]m×n，見(jiàn)表1。請(qǐng)根據(jù)評(píng)估結(jié)果對(duì)上述4個(gè)學(xué)校進(jìn)行優(yōu)劣排序。

表1 4個(gè)學(xué)校的評(píng)價(jià)值

下面研究當(dāng)q=3時(shí)4個(gè)學(xué)校的優(yōu)劣排序情況。

方法1 運(yùn)用q-RIVOFEWA算子。

步驟1 根據(jù)式(5)，利用q-RIVOFEWA算子對(duì)矩陣R=[αij]m×n中的第i行進(jìn)行集成，得到Ai的屬性值αi。

步驟2 由定義2可以計(jì)算出αi的期望值:

E(α1)=0.445,E(α2)=0.373,E(α3)=0.343,E(α4)=0.420。

步驟3 根據(jù)定義3,對(duì)方案Ai(i=1,2,3,4)進(jìn)行排序，其中得分函數(shù)s(Ai)=E(αi)，得A1?A4?A2?A3，可知A1為最佳選擇方案。

方法2 運(yùn)用q-RIVOFEWG算子，得出的結(jié)論和方法1相同，此處省略。

我們通過(guò)分別改變q-RIVOFEWA算子和q-RIVOFEWG算子中q的值來(lái)描述參數(shù)對(duì)排序結(jié)果的影響，見(jiàn)表2和表3。

表2 根據(jù)不同的q值運(yùn)用q-RIVOFEWA算子對(duì)方案Ai進(jìn)行優(yōu)劣排序

表3 根據(jù)不同的q值運(yùn)用q-RIVOFEWG算子對(duì)方案Ai進(jìn)行優(yōu)劣排序

由表2和表3可知，基于q-RIVOFEWA算子和q-RIVOFEWG算子的群決策方法，隨著q由1增加到12，示例中顯示的排序結(jié)果趨于穩(wěn)定，用兩種不同的決策方法得出的最終結(jié)果是一致的，A1的評(píng)估分?jǐn)?shù)最高，即A1為最佳選擇方案。

為了更好地闡述文中所提方法的正確性和實(shí)用性，下面分別運(yùn)用現(xiàn)有的幾種決策方法對(duì)示例進(jìn)行求解:

1) 基于區(qū)間直覺(jué)模糊加權(quán)算術(shù)平均(Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Weighted Average, IVIFWA)算子和區(qū)間直覺(jué)模糊加權(quán)幾何平均(Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Weighted Geometry, IVIFWG)算子[22]的群決策方法進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果如表4所示。

表4 基于IVIFWA算子和IVIFWG算子的決策方法求解的結(jié)果

2) 運(yùn)用優(yōu)劣解距離(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution, TOPSIS)方法[23]，對(duì)上述例題求其貼進(jìn)度，可求得上述多屬性群決策問(wèn)題的優(yōu)劣排序?yàn)锳1?A4?A2?A3，即A1為最優(yōu)方案。

從排序結(jié)果來(lái)分析，基于IVIFWA算子和IVIFWG算子的方法與運(yùn)用TOPSIS方法所得的結(jié)論一致，即A1為最優(yōu)方案。這與我們基于q-RIVOFEWA算子的評(píng)價(jià)方法和基于q-RIVOFEWG算子的評(píng)價(jià)方法的結(jié)論相同。

通過(guò)與其他兩種方法的比較，本文提出的決策方法具有以下的優(yōu)點(diǎn):

1) 第1種方法運(yùn)用區(qū)間直覺(jué)模糊集來(lái)處理決策問(wèn)題，由于此模糊集具有一定的局限性，無(wú)法解決隸屬度與非隸屬度之和大于1的情形，本文運(yùn)用的q-階正交區(qū)間模糊集是區(qū)間直覺(jué)模糊集的推廣，能更好地處理此類問(wèn)題，并且可以根據(jù)決策者偏好，適當(dāng)選擇q的取值來(lái)研究決策問(wèn)題。

2) 第2種方法運(yùn)用了TOPSIS方法，由于此方法在研究貼進(jìn)度時(shí)有一定的缺陷性，最優(yōu)解與負(fù)理想解的距離越遠(yuǎn)，越無(wú)法滿足最優(yōu)解靠近正理想解，而本文提出的方法可以有效避免上述問(wèn)題。因此，本文所提方法更加優(yōu)越，適用性更廣。文中所提出的兩種算子比區(qū)間直覺(jué)模糊算子和直覺(jué)模糊算子在應(yīng)用上更具有一般性和普遍性，從而驗(yàn)證了文中所提方法的有效性和正確性。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文在q-階正交區(qū)間模糊集的基礎(chǔ)上研究Enistein算子在多屬性決策中的應(yīng)用問(wèn)題，此類研究在國(guó)內(nèi)外尚處于起步階段，本文的研究具有較大的理論價(jià)值和實(shí)際意義。

本文首先在q-階正交區(qū)間模糊集和Enistein算子的基礎(chǔ)上，定義了Enistein算子在q-階正交區(qū)間模糊環(huán)境下的運(yùn)算公式、期望函數(shù)、精確函數(shù)以及比較大小的規(guī)則；然后，定義了幾種q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子，如q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均算子、q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均算子、q-階正交區(qū)間模糊Enistein有序加權(quán)算術(shù)平均算子、q-階正交區(qū)間模糊Enistein有序加權(quán)幾何平均算子，并給出了算子具有的冪等性、單調(diào)性、有界性等性質(zhì)；最后，將這些算子應(yīng)用于屬性權(quán)重確知且屬性值以q-階正交區(qū)間模糊變量形式給出的教育評(píng)估決策問(wèn)題中。

本文有如下創(chuàng)新: 1) 將q-階正交區(qū)間模糊集和Enistein算子相結(jié)合，提出了q-階正交區(qū)間模糊Enistein算子的運(yùn)算規(guī)則以及比較原則；2) 定義了兩種q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子；3) 介紹了兩種不同的方法來(lái)研究多屬性群決策問(wèn)題，本文提出的群決策方法可進(jìn)一步運(yùn)用到風(fēng)險(xiǎn)管理、最優(yōu)化理論、供應(yīng)鏈等領(lǐng)域。

致謝:感謝中國(guó)社會(huì)科學(xué)院大學(xué)2019年校級(jí)拔尖項(xiàng)目(20190027)、中國(guó)社會(huì)科學(xué)院大學(xué)2019年校級(jí)卓越項(xiàng)目(20190006)、中國(guó)社會(huì)科學(xué)院大學(xué)2020年重大專項(xiàng)項(xiàng)目(2020-KYLX01-06)對(duì)本研究的大力支持！