嚴(yán)晶

【摘? ?要】數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生在做練習(xí)時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。教師應(yīng)當(dāng)以研究者的心態(tài)從容應(yīng)對(duì)，及時(shí)、正面分析錯(cuò)誤資源，幫助學(xué)生直面錯(cuò)誤原因，從顯性的作業(yè)練習(xí)錯(cuò)題入手，引導(dǎo)學(xué)生收集錯(cuò)誤中的“真”問(wèn)題，進(jìn)行錯(cuò)因的“真”分析，鼓勵(lì)對(duì)錯(cuò)題的“真”思考，整理錯(cuò)例的“真”成果，形成個(gè)性化的錯(cuò)題集本，減少重復(fù)機(jī)械的作業(yè)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)錯(cuò)題;作業(yè);學(xué)習(xí)共同體

數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生在做練習(xí)時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，歸納起來(lái)有這樣兩種現(xiàn)象：一是不同班級(jí)、不同學(xué)校甚至不同年代的學(xué)生在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些相同的錯(cuò)誤;二是學(xué)生在新授課中出現(xiàn)的錯(cuò)誤在單元練習(xí)與期末復(fù)習(xí)中也會(huì)出現(xiàn)。作為引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)研究者，我們是否應(yīng)該思考：如何幫助學(xué)生降低錯(cuò)誤的發(fā)生率？如何讓學(xué)生在錯(cuò)題中汲取經(jīng)驗(yàn)引以為戒？

基于上述思考，我們制訂了“數(shù)學(xué)錯(cuò)題‘四真學(xué)習(xí)方案”，幫助學(xué)生正確面對(duì)和處理學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤。它主要包括：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題資源進(jìn)行收集與整理，組建學(xué)習(xí)共同體自主交流探討，利用課堂來(lái)展示內(nèi)化，發(fā)展學(xué)生的反思能力和應(yīng)用能力，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。流程如圖1所示。

一、收集“真”問(wèn)題——設(shè)計(jì)個(gè)性化錯(cuò)題推薦卡

在日常的課堂練習(xí)和課外作業(yè)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的題目比較集中。如學(xué)習(xí)“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容，對(duì)于寫數(shù)和估算策略等題目，有些學(xué)生總會(huì)一錯(cuò)再錯(cuò)。雖然學(xué)生在教師講解例題、練習(xí)時(shí)已經(jīng)聽(tīng)明白了，但同類題目學(xué)生在獨(dú)立練習(xí)時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤。出現(xiàn)這些情況歸根結(jié)底是學(xué)生沒(méi)有完全理解知識(shí)點(diǎn)的基本概念和變化關(guān)系，教師需要針對(duì)典型錯(cuò)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究。

根據(jù)“數(shù)學(xué)錯(cuò)題‘四真學(xué)習(xí)方案”，教師為學(xué)生設(shè)計(jì)了一張“易錯(cuò)題”收集卡，讓學(xué)生收集自己在本單元相關(guān)練習(xí)中的錯(cuò)題，嘗試進(jìn)行自我錯(cuò)因分析（如圖2）。

“易錯(cuò)題”收集卡項(xiàng)目格式固定、內(nèi)容開(kāi)放，給予學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的權(quán)限和收集記錄的模板。學(xué)生可以通過(guò)這些收集卡精準(zhǔn)地查找學(xué)習(xí)易錯(cuò)點(diǎn)，也可以選擇自己感興趣的知識(shí)點(diǎn)再次探究。同時(shí)也有利于教師整理全體學(xué)生的知識(shí)圖譜，精準(zhǔn)地幫助學(xué)生進(jìn)行后續(xù)查漏補(bǔ)缺，減少重復(fù)機(jī)械的練習(xí)，減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)。當(dāng)然，這些材料也是教師以后教學(xué)、練習(xí)設(shè)計(jì)的重要資源。

二、錯(cuò)題“真”分析——構(gòu)建特殊化“學(xué)習(xí)共同體”

（一）分類整理個(gè)性化易錯(cuò)題

錯(cuò)題的收集是學(xué)生自我整理的過(guò)程，只有進(jìn)行深入分析才能真正發(fā)揮錯(cuò)題的價(jià)值。當(dāng)學(xué)生的“易錯(cuò)題”收集卡完成后，我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生整理的錯(cuò)題是相同的，甚至連錯(cuò)因分析都是雷同的，于是我們需要對(duì)這些錯(cuò)題進(jìn)行分類?？梢园床煌闹R(shí)類型來(lái)分，也可以按不同的解決方法來(lái)分。下面就以“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀寫”的練習(xí)為例，分類整理出典型的易錯(cuò)題。

◆按知識(shí)類型分類：

①用6顆珠子在算盤上撥出一個(gè)0也不讀的最大四位數(shù)是（? ? ）。

②用3顆珠子在算盤上撥出最大的三位數(shù)是（? ? ），最小的三位數(shù)是（? ? ）。

③用4顆珠子在計(jì)數(shù)器上能撥出（? ?）個(gè)三位數(shù)。其中最大的數(shù)是（? ? ），最小的數(shù)是（? ? ?）。

以上三道題都是考查寫數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的同類型問(wèn)題，把它們放在一起練習(xí)，有利于學(xué)生進(jìn)行比較、辨析、類比。

◆按方法分類：

①用6顆珠子在算盤上撥出一個(gè)0也不讀的最大四位數(shù)是（? ? ）。

②一個(gè)四位數(shù)，它的各數(shù)位上數(shù)字相加的和是10，且各數(shù)位上數(shù)字不相等。這個(gè)四位數(shù)最大可能是（? ? ?），最小可能是（? ? ?）。

③一個(gè)三位數(shù)，它十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小 2，比百位上的數(shù)字大 1，三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和不超過(guò) 10，這個(gè)三位數(shù)是（? ? ?）。

這三道題的知識(shí)點(diǎn)是寫數(shù)，但解決的方法還是有細(xì)微的區(qū)別。第①題適合用畫圖法來(lái)解決，第②③題可以用畫圖法來(lái)輔助解決，還可以借助數(shù)學(xué)推理的方法來(lái)思考。

（二）同質(zhì)組合學(xué)習(xí)共同體

結(jié)合對(duì)同類易錯(cuò)題的分析和整理，我們將相關(guān)學(xué)生組成“學(xué)習(xí)共同體”，以四人小組開(kāi)展活動(dòng)。先在小組內(nèi)分享自己的錯(cuò)因，然后針對(duì)自己的錯(cuò)因，提出解決問(wèn)題的方法。

例如，5號(hào)同學(xué)在“易錯(cuò)題”收集卡中的錯(cuò)因分析是在算盤上忘記了上珠1顆當(dāng)作5這個(gè)知識(shí)點(diǎn)（如圖2）。那么解決這個(gè)問(wèn)題的方法有哪些？小組內(nèi)進(jìn)行交流：①圈出關(guān)鍵詞“算盤”，提醒自己要注意算盤的上珠很特殊。②畫出算盤的模型，區(qū)別上珠和下珠……

通過(guò)討論、交流、分享、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)習(xí)共同體化解了每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙。一種方法衍生出了多種方法，一種思想演變成了多種思想。課堂練習(xí)不再枯燥乏味，處處閃耀著思維的火花。

（三）人人爭(zhēng)當(dāng)“小導(dǎo)師”

在學(xué)習(xí)共同體中，每一位成員都要學(xué)會(huì)做小導(dǎo)師，剖析自己做錯(cuò)的題目，結(jié)合同學(xué)之間的討論和交流，先總結(jié)這一類型問(wèn)題中有哪些“坑”點(diǎn)，即歸因這一類題目中的易錯(cuò)點(diǎn)。然后把這道題的解題過(guò)程詳細(xì)地講解給同學(xué)聽(tīng)，特別要注意把自己的思考過(guò)程講清楚。如果小導(dǎo)師有地方不能說(shuō)清楚，或同伴在傾聽(tīng)的過(guò)程中有疑問(wèn)，全體成員一起討論提出建議，幫助小導(dǎo)師修正思路和講解方案。

三、鼓勵(lì)“真”思考——形成共性化錯(cuò)題分解

學(xué)習(xí)共同體在經(jīng)歷組內(nèi)交流分享，通過(guò)討論分析錯(cuò)題成因，理解掌握組內(nèi)典型錯(cuò)題蘊(yùn)藏的知識(shí)點(diǎn)后，形成了切實(shí)有效的練習(xí)方法。這時(shí)小導(dǎo)師已經(jīng)非常期待能像老師一樣把自己掌握的知識(shí)傳授給他人，每個(gè)學(xué)習(xí)共同體將派一名代表上臺(tái)講題，把自己的方法和思路與大家分享。下面請(qǐng)看一位小導(dǎo)師的介紹。FE42E2FE-9E46-4D91-A198-BE7641C5A304

大家好！我是5號(hào)小老師。今天我給大家講這道題。首先讀題目：用6顆珠子在算盤上撥出一個(gè)0也不讀的最大四位數(shù)是幾，接著我們把關(guān)鍵詞“算盤”“一個(gè)0也不讀”“最大”圈起來(lái)，還要圈出6顆珠子這個(gè)數(shù)學(xué)信息。然后我們可以畫一個(gè)簡(jiǎn)單的算盤（如圖3），要得到最大的四位數(shù)，千位上珠子要多，把6顆珠子都放在千位上，上珠只能畫1顆，下珠最多畫4顆，那么還多1顆珠子，我們要放在哪里才能使這個(gè)數(shù)最大呢？一定要放在百位的上珠，因此在百位上珠處畫1顆珠子。最后我們驗(yàn)證讀法：九千五百，滿足“一個(gè)0也不讀”的要求。所以用6顆珠子在算盤上撥出一個(gè)0也不讀的最大四位數(shù)是9500。

聽(tīng)完小老師的講解，同學(xué)也紛紛提出自己的收獲：“他在解決問(wèn)題中呈現(xiàn)出圈畫關(guān)鍵詞的好習(xí)慣?！薄八\(yùn)用了畫圖的方法，把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成形象直觀的圖示，這樣的方法還可以應(yīng)用到解決其他的數(shù)學(xué)問(wèn)題中?！币灿型瑢W(xué)提出這樣的疑問(wèn)：“6顆珠子為什么不能都放在千位上？”教師組織全班學(xué)生針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行討論和思辨。感悟6顆珠子都放在千位上，不管是放在上珠還是下珠，千位上所表示的數(shù)都超過(guò)了10個(gè)千，與算盤的珠子數(shù)和同一數(shù)位上最大的數(shù)是9相矛盾。得出千位上最多只能放5顆珠子，余下的1顆要順延放到百位上。

整個(gè)展示過(guò)程是學(xué)生思維內(nèi)化的過(guò)程。學(xué)生不僅懂得怎么去學(xué)習(xí)和欣賞他人的優(yōu)點(diǎn)，還通過(guò)思考、討論、思辨，對(duì)數(shù)位、最大值等知識(shí)形成深度的理解。

四、整理“真”成果——指導(dǎo)常態(tài)化錯(cuò)題練習(xí)

學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)共同體的形式將學(xué)習(xí)中發(fā)生的錯(cuò)誤進(jìn)行整理分析，明白了典型錯(cuò)誤的成因。但每個(gè)學(xué)生的情況還存在差異，所以教師仍需指導(dǎo)學(xué)生整理自己個(gè)性化的錯(cuò)題集本。課堂上，小老師通過(guò)講解，以及同學(xué)們的思考反饋，把錯(cuò)題中的知識(shí)點(diǎn)說(shuō)清楚，把易錯(cuò)點(diǎn)講明白，每一步解答還用畫圖、列舉等方法呈現(xiàn)，讓聽(tīng)的同學(xué)更清楚。

課后，要求學(xué)生對(duì)自己的錯(cuò)題再獨(dú)立做一次，把解題過(guò)程在旁邊寫出來(lái)。對(duì)于學(xué)優(yōu)生來(lái)說(shuō)，錯(cuò)題少，接受度高，作業(yè)錯(cuò)題分析整理的過(guò)程，能幫助他們?cè)谥v題過(guò)程中開(kāi)拓不同的解題思路，努力去嘗試一題多解，以及歸納一法通用的同類型題。對(duì)于中等生來(lái)說(shuō)，這樣的作業(yè)練習(xí)經(jīng)歷能有效提升他們的學(xué)習(xí)自信心，在講解和傾聽(tīng)中再次理解問(wèn)題，并及時(shí)進(jìn)行反思和總結(jié)。對(duì)于學(xué)困生來(lái)說(shuō)，他們暴露的錯(cuò)誤多，通過(guò)錯(cuò)題“四真”的學(xué)習(xí)，可以有效幫助他們梳理同類型知識(shí)點(diǎn)，在綜合運(yùn)用的練習(xí)中辨析關(guān)鍵、分解錯(cuò)題，找準(zhǔn)自己的問(wèn)題所在，通過(guò)分類整理學(xué)會(huì)分析知識(shí)點(diǎn)，在講解過(guò)程中把準(zhǔn)自己的易錯(cuò)點(diǎn)，在舉一反三中突破自己的難點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)、分解提問(wèn)，對(duì)錯(cuò)題資源進(jìn)行有效地整理利用。

學(xué)生能夠通過(guò)錯(cuò)題的收集和整理，學(xué)會(huì)真正面對(duì)自己的錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤的原因，找準(zhǔn)問(wèn)題的關(guān)鍵。在學(xué)習(xí)共同體的合作中分享智慧，進(jìn)一步理解問(wèn)題、解決問(wèn)題，最后內(nèi)化總結(jié)出自己的方法，并因此提高自己的能力。美國(guó)國(guó)家訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)室研究成果 “學(xué)習(xí)金字塔理論”表明：學(xué)生自主探究，合作學(xué)習(xí)，個(gè)性化地定制自己的練習(xí)內(nèi)容;高效地管理自己的錯(cuò)題;將時(shí)間精準(zhǔn)地花在錯(cuò)題理解、內(nèi)化成自己的知識(shí)上;通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，呈現(xiàn)有效思考的過(guò)程;形成自己的學(xué)習(xí)方法，能讓知識(shí)的吸收率從5%提升到90%，讓自己的學(xué)習(xí)力得到可持續(xù)發(fā)展。

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（浙江省杭州市余杭區(qū)蔚瀾學(xué)校? ?311121）FE42E2FE-9E46-4D91-A198-BE7641C5A304