陳華

◆摘? 要：函數(shù)與方程思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用思想。在解題過程中，學(xué)生可以利用變量與函數(shù)之間的關(guān)系，把未知轉(zhuǎn)化為已知，通過分析和探究的方式來解決問題。學(xué)生在探究中需要主動思考各種數(shù)學(xué)變量，在邏輯思考中建構(gòu)方程和方程組，明確函數(shù)關(guān)系，找到解題思路。

◆關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)與方程思想;解題

函數(shù)知識在高中數(shù)學(xué)中具有重要的地位，是高考熱點，也是考試重點。為了順利解決函數(shù)問題，學(xué)生就要學(xué)會函數(shù)與方程思想來分析問題，找到相關(guān)數(shù)據(jù)靈活轉(zhuǎn)化，在梳理中理順思路，解決問題。學(xué)生通過主動思考會感受到函數(shù)的變化和變量的動態(tài)，在分析中學(xué)會運用聯(lián)系的觀點來分析解題思路，找到解題方法，提高解題能力。

一、運用函數(shù)與方程思想進行邏輯思考

為了使學(xué)生快速而準確地解決問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中學(xué)會邏輯思考。數(shù)學(xué)知識的邏輯性很強，通過一步步推理和分析的方式，學(xué)生會了解各種數(shù)量之間的邏輯關(guān)系，在思考中把握數(shù)量關(guān)系，理順解題思路。例如：二次函數(shù)y=x2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，1]上時減函數(shù)，則 求實數(shù)a的取值范圍。在解題過程中，學(xué)生很容易把二次函數(shù)的對稱軸理解為x=-=1-a，所以1-a=1，a=0。這種思考方向是錯誤的，學(xué)生要避免這種錯誤的思考方向要認真考慮單調(diào)區(qū)間的區(qū)域及端點是否使函數(shù)有意義，通過邏輯思考的方式進行判斷。

學(xué)生通過一步步思考，會找到解決問題的方法，學(xué)會把函數(shù)知識轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠?，通過解方程的方式來解決問題，提高解題能力。

二、利用函數(shù)與方程思想客觀推理判斷

《高中數(shù)學(xué)課程標準》指出教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會推理判斷，調(diào)動學(xué)生的主動性，促進學(xué)生通過主動思考的方式來理解知識，提高運算能力，學(xué)會建構(gòu)模型，提高空間想象能力。學(xué)生通過主動推理判斷會成為課堂的主人，在思考中結(jié)合自己的能力進行分析判斷，通過主動思考的方式提高學(xué)習(xí)能力。學(xué)生運用函數(shù)與方程的思想進行推理，會快速找到解題思路，明確各種數(shù)量關(guān)系，提高解題效率。例如函數(shù)f（x）=2x--a的一個零點在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是多少？分析中，學(xué)生通過推理判斷會認識到，因為函數(shù)f（x）=2x--a在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，又函數(shù)f（x）=2x--a的一個零點在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則有f（1）·f（2）<0，所以（-a）（4-1-a）<0，即a（a-3）<0，解得0<a<3。有了函數(shù)思想作為解題的指導(dǎo)，學(xué)生會快速形成解題思路，把數(shù)學(xué)思想和方法運用到具體的解題過程中，提高學(xué)生的分析能力和探究能力，促進學(xué)生在對數(shù)據(jù)的加工中靈活轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出函數(shù)的表達式，快速解題。

三、巧用函數(shù)與方程思想進行發(fā)散思維

函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用會實現(xiàn)化繁為簡，化難為易，讓學(xué)生在建構(gòu)函數(shù)關(guān)系時活躍思維，在發(fā)散思考中提煉出有效數(shù)據(jù)，形成對知識的客觀性認識。學(xué)生在探究中會把抽象的數(shù)學(xué)知識具體化、形象化，把握各種數(shù)據(jù)之間的千絲萬縷關(guān)系。通過函數(shù)與方程思想，學(xué)生會拓展思路，學(xué)會從不同角度分析問題，探究解題方法，在主動思考中解決問題。例如：某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出;若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入。

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式;

（2）試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？

在解答第一問時，學(xué)生會從題目中的已知信息進行思考和分析，把生活中的實際應(yīng)用知識轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)知識，通過數(shù)學(xué)的方式解決問題。思考中，學(xué)生會認識到當(dāng)x≤6時，y=50x-115，令50x-115>0，解得x>2.3。因為x為整數(shù)，所以3≤x≤6，x∈Z.當(dāng)x>6時，會得到y(tǒng)=[50-3（x-6）]x-115=-3x2+68x-115。經(jīng)計算認識到6<x≤20，x∈Z.函數(shù)的值為y=在解答第二問時，可以看到y(tǒng)=50x-115（3≤x≤6，x∈Z），顯然當(dāng)x=6時，ymax=185;而對于y=-3x2+68x-115=-32+（6<x≤20，x∈Z），當(dāng)x=11時，ymax=270。通過比較和分析，可以看到日租金定為11元時，收益最多。在分析中，學(xué)生會主動思考，通過思維活動的方式了解各種數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，形成客觀性認識。學(xué)生通過思考和分析會了解隱藏在題目中的各種數(shù)據(jù)之間的千絲萬縷的關(guān)系，促進學(xué)生提高理解，快速解題。

總之，教師要鼓勵學(xué)生在解題過程中靈活地應(yīng)用函數(shù)與方程的思想。學(xué)生了解了函數(shù)與方程的思想，在解題過程中會充分地發(fā)揮主觀能動性，建構(gòu)函數(shù)關(guān)系，梳理未知量之間的關(guān)系，在分析中簡化問題，建構(gòu)出知識規(guī)律。學(xué)生了解了解題方法會主動建模，掌握解題方法，在實踐中提高解題能力，落實核心素養(yǎng)。

參考文獻

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