劉正松

數學知識結構嚴謹，但鑒于學生認知規(guī)律和課時教學需要，教材編寫時都進行了較為合理的劃分。這樣一來，原本結構化的知識便散點式地分布于各年級的教材中，不少教師會平均著力于每個知識點的教學，這是導致學生學業(yè)負擔過重的原因之一。教師擁有長程視野，聚焦起點型核心知識精準施教，將有助于學生夯實知識結構的根基，進而生發(fā)和建構新的知識?！罢壤头幢壤北闶堑湫偷钠瘘c型核心知識。它作為刻畫某一現實背景中兩種相關聯的量的變化規(guī)律的數學模型，從常量到變量，是學生認識過程中的一次重大飛躍。雖然學生在過去學習用字母表示數和運算律的過程中，對變量的思想有過一些感知，但真正用函數的觀念探索兩種相關聯的量的變化規(guī)律是從“正比例和反比例”開始的。［1］

一、學習檢測

為了解“正比例和反比例”這一起點型核心知識的學習現狀，我們在一所學校展開教學研究。該校六年級共10個班，369名學生，從中隨機選取5個班作為實驗班，另外5個班作為對照班。對照班教師按照教材編排，參照蘇教版小學數學教材編寫組編寫的《小學數學備課手冊（六年級下冊）》中的教學設計展開教學。一周后，我們將兩組判斷題編制在一張練習中，組織學生隨堂練習。

1.根據圖1每個表中對應數量之間的關系，判斷哪些量成正比例，哪些量成反比例，哪些量既不成正比例也不成反比例。

（圖1）

2.判斷各題的兩種量是否成比例，成比例的是成正比例還是成反比例。

（1）100名同學參加團體操表演，每排的人數和排數。

（2）王叔叔每分鐘澆樹的棵數一定，澆樹的時間和澆樹總棵數。

（3）正方體的體積一定，底面積和高。

（4）已知xy=10，x和y。

檢測結果如表1所示：

表1 “正比例和反比例”對照班檢測結果統計表

同為判斷兩種量是否成正比例或反比例，正確率懸殊較大，我們就練習內容對部分師生進行了訪談，了解他們的真實想法。當問學生“判斷第1題表格中的兩種量和第2題文字描述的兩種量哪個更容易？”時，學生回答：“判斷表格中的兩種量更容易，因為根據表格中的數據可以很快推算出兩種量是比值一定還是乘積一定?！碑斁汀罢襟w的體積一定，底面積和高”一題問學生“你是怎么想的？”時，學生說出了自己的想法：“因為正方體的底面積乘高等于體積，體積一定，說明底面積和高的乘積一定，所以底面積和高成反比例。”從學生的回答中不難看出，他們的思路很“清晰”。學生真實的想法也便于我們找出問題的癥結所在。此外，有兩位教師竟然也認為“正方體的體積一定，底面積和高”一題的答案為“反比例”。當我們進一步解釋時，兩位教師才意識到錯誤?，F實中，部分教師教學時更多關注具體課時的內容，而缺少對教學內容來龍去脈的長程考量，出現問題也是在所難免。

二、教學重構

為了幫助學生精準建構正、反比例的意義，我們重組教材內容，以列表為主要表征方式，將正、反比例的意義融為一課時在實驗班展開教學。

1.認識“兩種相關聯的量”

出示表2至表6。

表2 學生身高與數學成績統計表

提問：每張表格中的兩種量有聯系嗎？

學生先獨立觀察、思考，然后集體交流，明確：表2中兩種量沒有聯系，其余四張表中兩種量有聯系。

揭示：兩種相關聯的量。

2.認識“正比例”和“反比例”

談話：剛才大家看到了表中“變化”的量，誰能從“不變”的視角分析一下后四張表？

在學生交流的基礎上用數量關系式表示出表中不變的關系。（逐一板書）

追問：回頭看看這四張表格，如果讓你分分類，你會怎么分？

通過交流，明確：表3和表6一類，表中兩種量的積不變；表4和表5一類，表中兩種量的商不變。

表3 學生分組組數與每組人數統計表

表4 汽車行駛時間和路程統計表

表5 鉛筆的數量和總價統計表

表6 裝配計算機的工作效率和工作時間統計表

揭示：正比例和反比例。

3.明確判斷方法

出示：正方形的周長和邊長成比例嗎？成什么比例？

師生合作列表，借助表格數據進行判斷。

出示：長方形的面積一定，長與寬成比例嗎？成什么比例？

學生獨立思考，集體交流判斷方法。

追問：怎樣判斷兩種量是否成比例？成什么比例？

指名交流，明確方法：根據題意列表判斷。

4.嘗試建模

提問：成正、反比例的量在我們身邊有很多，你能舉出一些例子嗎？

學生舉例，集體交流。

提問：剛才大家舉出了很多成正、反比例的量的例子，你們能不能分別用一道式子概括這些例子？

一周后，我們將對照班學生完成的練習發(fā)放給實驗班學生完成檢測，檢測結果如表7所示。由表7可知，實驗班各題的正確率均高于對照班，特別是“正方體的體積一定，底面積和高”這一題，實驗班的正確率明顯提升。無疑，我們的教學重構是成功的?；仡櫳鲜鼋虒W過程，不難發(fā)現：有了表格數據的支撐，學生更為準確地把握了這一知識的本質，在腦海中清晰建構了正比例和反比例的數學模型。

表7 “正比例和反比例”實驗班檢測結果統計表

三、實施建議

教師作為教育教學活動的主導，應擁有長程視野，對不同領域、板塊、序列的核心知識特別是起點型核心知識作出科學的判斷和梳理，進而凸顯內容本質，細化教學要求，促進學生牢固建構新知。

1.整體研讀課程標準

課程標準是教材編寫和教師教學的依據，其重要性毋庸置疑。當前，教師大多能準確把握課程性質和基本理念，具體實施教學前也會反復研讀學段目標、課程內容和實施建議，這本無可厚非，但數學知識嚴密的邏輯性使得一個知識點往往只是某一領域、某一板塊或某一序列知識的起點、節(jié)點或拐點，從中可以生發(fā)出一系列新的知識，這就要求我們研讀課程標準時不能囿于某一學段，而應貫通各個學段，整體研讀。第二學段“正比例和反比例”正是第三學段“函數”的起點。關注第三學段“函數”的課程內容，我們會進一步發(fā)現對應關系是函數的核心，表征這種對應關系常用的方式有列表、圖像和解析式。對“正比例和反比例”的學習而言，多種表征方式可以清晰呈現概念的形成過程，促進學生理解概念，但不同學段采用的表征方式側重點應略有不同。就第二學段學生而言，借助列表的方式判斷成正、反比例的量，能使抽象的知識更加具體直觀，從而豐富學生對正、反比例意義的認識與體驗。

2.全面厘清教材意圖

教材為學生的學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，只有全面厘清教材編寫意圖，才能精準實施課堂教學。蘇教版、人教版和北師大版小學數學教材都將“正比例和反比例”安排在六年級下冊教學。其中，人教版教材將“比例”與“正比例和反比例”的內容整合為“比例”這一個單元。顯然，這更能凸顯知識之間的聯系。就“正比例和反比例”相關知識的編排而言，人教版與蘇教版教材的編排方式較為相似。而北師大版教材在正式學習正、反比例之前特意安排了“變化的量”這一內容，設計三個具體情境，讓學生體會變量和變量之間相互依存的關系，并嘗試描述這些關系。值得關注的是，三版教材在編排“正比例和反比例”時都結合具體情境借助表格呈現數據，有的表格完整呈現數據，有的表格沒有出示全部數據，需要學生在觀察、思考的基礎上繼續(xù)填寫完整，這正給了學生思考、體驗成正、反比例的兩個量之間變化關系的空間。如此編排，凸顯了正、反比例概念形成與應用的過程與方法，有助于學生進一步弄清正、反比例概念的內涵和外延，而這些都建立在教師全面厘清教材編寫意圖的基礎之上。

3.通盤緊扣教學主線

起點型核心知識具有生長基因，它在學生知識體系建構過程中具有獨特價值。因此，教師應通盤緊扣教學主線，讓學生獲得正確的知識、有效的方法、合理的策略，以保證在后續(xù)教與學的過程中能夠順利建構新知識。［2］在現實中，有許多數量關系可以表示為成正比例的量和成反比例的量，其本質是兩個量按一定的比例關系發(fā)生變化。因此，聯系和變化應成為“正比例和反比例”教學的主線。從對照班學生的訪談中不難想到，當前很多教學都注重知識的形式，而忽略知識的本質，當學生想到“正方體的體積=底面積×高”這一數量關系后，他們便將目光聚焦于“積是否一定”上，而在無形中忽略了判斷成正、反比例的量的重要前提——變量。因此，教學中結合具體的例子讓學生感知兩個量的“聯系”和“變化”，并在“變量”中找到“不變量”尤為關鍵。根據小學生的認知發(fā)展規(guī)律，他們的形象思維更占優(yōu)勢，教學中可以始終借助列表的方式引導他們建構相關概念，后續(xù)應用時也可以引導他們通過表格展開說理。這看似有些“樸素”的方法恰能最直觀地體現成正比例或反比例的兩個量之間的聯系與變化，從而促進學生把感性認識上升為理性認識，獲得對正比例意義和反比例意義的正確理解。

總而言之，知識是人的素養(yǎng)形成和發(fā)展的載體，知識和知識教學要服務于人的素養(yǎng)的形成和發(fā)展。［3］因此，基于長程視野，合理地選擇和確定教學內容，凸顯對學生知識體系建構、核心素養(yǎng)培育具有重要作用的起點型核心知識教學就顯得尤為迫切和必要。