DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2112-5042-3862

摘 ?要：弦測法“以小推大”是測量軌道不平順的方法，該文運用它的數(shù)學(xué)原理，對軌道檢查儀的相對檢測的實際問題進行建模研究，并使用最小二乘法，對弦長大于軌道檢查儀縱梁長度時的正矢值進行求解?？紤]到實際測量值步距與弦長比值小于以小推大公式中步距與弦長比值，對實際測量值間隔取點，利用弦測法原理，建立了以小推大正矢值誤差和起始點位置誤差關(guān)系的模型，進一步得到優(yōu)化后的相對檢測模型。

關(guān)鍵詞：以小推大 ?間隔取點 ?弦測法原理 ?最小二乘法

中圖分類號：U216????文獻標(biāo)識碼：A ????文章編號：1672-3791（2022）04（b）-0000-00

Research on the Relative Detection Mathematical Model of "Pushing the Big with the Small" in the Chord Measurement Method of Track Detector

YANG Xinyue

（Southwest Jiaotong University，?Chengdu，Sichuan Province，611756 China）

Abstract：?The chord measurement method "pushing the big with the small" is a method to measure the track irregularity. This paper uses its mathematical principle to model and study the practical problem of relative detection of track inspection instrument， and uses the least square method to solve the positive vector value when the chord length is greater than the longitudinal beam length of track inspection instrument. Considering that the ratio of step length to chord length of the actual measured value is less than the ratio of step length to chord length in the formula of pushing up with small， take points for the interval of the actual measured value， and establish the model of pushing up with small. Based on the principle of chord measurement method， the model of the relationship between the starting point position error and the measured value error is established， and the model of the relationship between the small positive vector error and the starting point position error is further established. The model is expressed in the form of matrix vector， the residual square sum function is introduced， and the optimized relative detection model is further obtained by curve fitting with the least square method.

Key Words：?Pushing the big with the small; Interval sampling; Principle of chord measurement; Least square method

軌道檢查儀是專門用于軌道靜態(tài)幾何參數(shù)測量與分析的檢測儀器。軌道檢查儀在軌道上勻速推進，自動準(zhǔn)確實時測量、采集軌道的靜態(tài)幾何參數(shù)，從而分析鐵道軌線的位置移動及變形情況。由于實際生活中鐵道軌線的曲線半徑往往很大，無法直接測量到曲線半徑。因此，需要通過幾何手段來對軌檢儀測得的數(shù)據(jù)進行處理，弦測法“以小推大”模型便是這樣一種測量軌道不平順的方法。

1問題重述

1.1背景知識

（1）軌道檢查儀是專門用于軌道靜態(tài)幾何參數(shù)測量與分析的檢測儀器。軌道檢查儀在軌道上勻速推進，自動準(zhǔn)確實時測量、（采集間隔0.125?m）記錄軌道的靜態(tài)幾何參數(shù)，從而分析鐵道軌線的位置移動及變形情況。

（2）在無法直接測得弦長大于軌道檢查儀縱梁長度時的正矢值時，可采用以小推大的方法（以小弦的正矢值推出大弦的正矢值）。

1.2相關(guān)數(shù)據(jù)

圖1是一臺軌道檢查儀工作時測得數(shù)據(jù)的示意圖（見圖1）。軌道檢查儀縱梁長度固定為AB=1.25m，每隔0.125?m，自動釆集一次數(shù)據(jù)，即正矢值DE（單位為mm）。DE垂直平分AB，DE的正負(fù)符號用于區(qū)別軌線凹凸情況。

1.3問題概括

（1）在認(rèn)為軌線分別由圓弧的部分組成的情況下，建立模型來分別計算弦長為5?m時在毎個檢測點對應(yīng)的正矢值。

（2）計算因起始點位置誤差，對以小推大時，正矢值的誤差影響大小。

（3）為進一步提高精度， 提供一種可能的解決方案，并建模解（1）和（2）中的問題。

2 模型假設(shè)

3 符號說明

4 ?問題分析

5 ?模型的建立

5.1以小推大公式的原理

5.2以小推大模型的建立

5.3以小推大公式的系統(tǒng)誤差

5.4弦測法原理

5.5起始點位置誤差與測量值誤差的關(guān)系

5.6以小推大后正矢值誤差與起始點位置誤差的關(guān)系

5.7最小二乘法提高模型精度

由5.6可知以小推大后的正矢值誤差與起始點位置誤差的關(guān)系為：

6 ?模型的評價，改進與推廣

6.1模型優(yōu)點

該文建立的模型與實際緊密聯(lián)系，充分考慮了起始點位置誤差對以小推大正矢值誤差的影響，并且對模型使用最小二乘法進行了優(yōu)化，使模型更加貼近現(xiàn)實。

6.2模型缺點

（1）以小推大模型具有一定的系統(tǒng)誤差。（2）在起始點和末尾處，不能準(zhǔn)確計算出以小推大的正矢值。（3）不能應(yīng)用于步距大于短弦長一半和短弦長與步距不成整數(shù)比的情況。

6.3模型推廣

以小推大模型不僅能運用于軌道檢測，在生活中的其他方面，也有許多儀器不能直接測出所需數(shù)據(jù)的情況，比如對橋梁工程的變形監(jiān)測，這時便也可以運用以小推大的模型，并且用最小二乘法減小誤差。

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作者簡介：楊昕玥（2001—），女，本科在讀，研究方向為統(tǒng)計學(xué)。