文|陳 敏 呂瓊?cè)A

一、研究背景

學習取向的教學設計理論強調(diào)把學習者的已知看作教學的起點和最重要的因素。認知導向的教學（Cognitively Guided Instruction，簡稱CGI）強調(diào)兒童本身具有解決問題的直覺知識和非正式經(jīng)驗，好的教學應當認識并發(fā)揮這些基礎，引導兒童主動學習、交流改進，真正的發(fā)展思維。近年來，“以學定教”的觀念越來越深入人心。有經(jīng)驗的教師在備課時必然會考慮學生的起點進而對原教材的編寫作出反思，從而制定更切實際的教學目標并設計相應環(huán)節(jié)。但研究也指出，很多教師在做教學起點分析時，往往倚重經(jīng)驗而忽視證據(jù)，或者泛泛而論，未能針對具體的課節(jié)主題等，因此影響教學的有效性。

“數(shù)的認識”是小學數(shù)學主要課程內(nèi)容之一，其中認識自然數(shù)又是認識其他數(shù)的基礎。認識自然數(shù)最重要的有兩個方面。其一，認識自然數(shù)的構(gòu)成，即認識到自然數(shù)的基本單位是1。其二，掌握最常用的自然數(shù)記數(shù)法——十進制記數(shù)法。這兩方面的認識并不是一節(jié)課就能完成的。當前我國各地使用的小學數(shù)學教材雖不盡相同，但對這一部分內(nèi)容，各版本教材的序列安排基本一致，大致分四個階段完成：一年級上冊認識20 以內(nèi)的數(shù)、一年級下冊時認數(shù)范圍擴展到100、二年級下冊學習萬以內(nèi)的數(shù)、四年級上冊引進比萬更大的數(shù)，整體反思后形成對自然數(shù)結(jié)構(gòu)以及十進制記數(shù)法的系統(tǒng)性認識。于是“萬以內(nèi)數(shù)的認識”就變成一個很有意思的知識節(jié)點：在它之前，學生對較小自然數(shù)的讀、寫、組成有了一些基本經(jīng)驗；在它之后，比萬更大的數(shù)，可以從萬以內(nèi)（個級）數(shù)結(jié)構(gòu)迭代的角度加以理解。那么，在這節(jié)課中，應該如何去認識和對待學生的學習起點。可以直接利用的是什么？需要幫助強化的是什么？以及，是否存在學生未能主動察覺，而需要教師創(chuàng)造任務去督促提升的“關鍵性概念理解（Key Development Understanding）”？

本研究擬針對“萬以內(nèi)數(shù)的認識”開展學生起點調(diào)查，希望據(jù)此獲得一些教學和研究的啟示。一方面為教師有效教學自然數(shù)的認識，合理確定每一教學階段的特定目標積累資料；另一方面，也藉此反思一線教師在針對特定學習主題做起點分析時可能采取的策略和遭遇的問題。

二、調(diào)查方法

2022年3月初，我們邀請到本市一所公辦學校二年級下學期兩個班學生（共計74 人）參與我們的學情調(diào)查。調(diào)查以書面練習的形式進行，由所在班級數(shù)學教師協(xié)助組織練習，并回收練習卷，但不需要教師協(xié)助批改。

本調(diào)查主要考查學生基于生活經(jīng)驗，以及先前對百以內(nèi)數(shù)的認識，自發(fā)地對千以內(nèi)、甚至萬以內(nèi)數(shù)的認識達到了什么水平。全卷一共分四個大題，第1 題以填空的形式呈現(xiàn)，共五個小題，前面兩小題是教材和統(tǒng)考中非常常見的對于相鄰計數(shù)單位之間十進關系的提問，如10 個一百是（ ）；后面三小題主要針對過9 數(shù)發(fā)問，如199 加1 是（ ）；999 加1 是（ ）。第2 題考查數(shù)數(shù)技能，分別要求學生以1 為單位計數(shù)，從991 數(shù)到1000；再以10 為單位計數(shù)，從900 數(shù)到1000。第3 題以計算題形式呈現(xiàn)，實質(zhì)為考查學生對計數(shù)意義的理解。根據(jù)有關研究，兒童對復合單位（composite unit）以及對復合單位進行協(xié)同的水平顯著影響兒童數(shù)概念的發(fā)展和四則運算理解能力等。所以我們嘗試圍繞十進制計數(shù)單位提供了4 類共8個算式：第1、2、3 個算式只涉及1 個計數(shù)單位的計數(shù)，如100×8；第5 個算式，100+1000，稍微復雜一些，涉及兩個計數(shù)單位的協(xié)同；第4 個算式（500×2）和第7 個算式（2000+3000）需要學生自己去分析整百、整千數(shù)的單位構(gòu)成，算出結(jié)果；最后，第6 個算式（100×5+1000）和第8 個算式（100+1000×5），計算時應先分不同計數(shù)單位分別計數(shù)，再做不同單位之間的協(xié)同。練習卷的最后一題是開放題，詢問兒童在生活中是否見過1000 和10000，并要求他們作圖或文字說明具體情境。

參與調(diào)查的學生使用浙教版教材，在進行練習時，已經(jīng)學習了百以內(nèi)數(shù)的認識，尚未學習三、四位數(shù)的認識。練習卷的批改由本文作者1 完成，作者2 做了復核。

三、調(diào)查結(jié)果

第1 題，絕大部分學生掌握較好，除第（5）小題外，其他題目的正確率均接近甚至超過90%。

可以認為兒童已經(jīng)了解了一些計數(shù)事實，但還沒有認識到背后的計數(shù)和記數(shù)結(jié)構(gòu)，突出表現(xiàn)為大數(shù)的寫法出現(xiàn)問題，不確切知道過9 以后究竟產(chǎn)生了幾個0。

表1 計數(shù)單位和過9 數(shù)的掌握情況統(tǒng)計表

第2 題，學生1 個1 個計數(shù)三位數(shù)的正確率達到了98.6%，10 個10 個數(shù)的正確率也達到了90.5%。10個10 個數(shù)錯的學生，主要錯誤為：中間有漏數(shù)的情況，比如從950 跳過了960，直接到了970；有3 個學生把10 個10 個數(shù)，理解為了100、100 地數(shù)，直接寫了“900，1000”。

第3 題，學生的正確率如下圖。

以算式表征的單位計數(shù)問題的掌握情況統(tǒng)計圖

此次調(diào)查對象的表現(xiàn)同已有的兒童計數(shù)研究相比，既有一致的地方，也有自己的特點。整體而言，題目涉及到的計數(shù)單位越多，彼此協(xié)同的形式越復雜，答題的正確率就越低。錯誤率最高的正是預設中認為最復雜的第4 類問題，如100×5+1000，學生對此的回答可謂五花八門：5100、1500、1050、150、2000……而結(jié)果也表明，如果是一步計算，則無論是1 個計數(shù)單位計數(shù)（100），還是兩個計數(shù)單位相加（100+1000），包括要學生自己分析計數(shù)單位的（2000+3000 等），實際難度相當，正確率都超過80%；其中最高發(fā)的錯誤，還是在記數(shù)時究竟要寫幾個0，如這六個算式中正確率最低的第3（2）題，10×100，很多學生寫了100、10000，個別學生寫了110。這些情況提示我們，學生可能已經(jīng)掌握了一些多位數(shù)計算的標準方法，但并沒有從數(shù)的意義的層面去推導答案。

第4 題，學生提供的包含1000 和10000 的具體情境可歸納為如下表2——

表2 學生自發(fā)接觸1000 和10000 的情境統(tǒng)計表

綜合以上，我們認為學生學習三、四位數(shù)的現(xiàn)實起點較為復雜，他們對計數(shù)和計算相關的程序性知識已超前掌握，對既有教材和測試中出現(xiàn)過的常規(guī)性問題達到了很高的正確率。但是，在計數(shù)和計算的概念性理解方面則存在盲點，需要加以關注，著重突破。

首先，對于三、四位數(shù)的讀、寫、數(shù)（shǔ），以及一些常規(guī)的相鄰計數(shù)單位之間的進率問題，兒童看似達到了相當高的正確率。但是，通過分析典型錯誤，就能發(fā)現(xiàn)他們在完成這些任務時，帶有很大的直覺成分、記憶成分。當數(shù)小于100 時，兒童讀數(shù)和寫數(shù)都不需要做結(jié)構(gòu)化的考慮，隨著自然數(shù)的進一步增大，就需要在頭腦中慢慢建立起數(shù)位順序表，在數(shù)位、位數(shù)和計數(shù)單位之間建立起明確的聯(lián)系，就不會出現(xiàn)各種“0”的亂象了。

其次，從完成簡單的整百、整千數(shù)的計算情況來看，兒童對涉及多個計數(shù)單位的多個水平的計算存在一定問題。這不僅驗證了先前研究所指出的單位協(xié)同水平是兒童數(shù)概念發(fā)展的一大指征，提示我們在認數(shù)教學中要重視“單位”概念。我們應考慮到在非正式的學習場景中，認數(shù)和計算往往是兩個割裂的活動：填空說明數(shù)的組成意義是一回事，完成多位數(shù)的加減計算時又往往另教一套算法規(guī)則。在正式學習時，就要打破這種人為的割裂、機械的學習，創(chuàng)造機會讓兒童體驗以算式表征計數(shù)意義，據(jù)計數(shù)意義發(fā)明計算程序，以此發(fā)展學生的符號意識、推理能力，樹立積極的數(shù)學觀和數(shù)學學習觀。

最后，雖然在日常生活中，兒童也有很多機會接觸到1000 和10000 之類的大數(shù)，但比較多的停留在形式化的表征，比較少數(shù)量方面的真實感知，即使是數(shù)量方面的感知，也只模糊地和“很多”等同起來，缺少定量的刻畫。教學時既要充分依托這些兒童熟悉的日常景象，又要引導兒童結(jié)合計數(shù)知識分析數(shù)量構(gòu)成，有理有據(jù)地推導出1000 和10000 件具體物品究竟是怎樣一種數(shù)量感受，溝通數(shù)與量的關系、數(shù)學與生活的關系，發(fā)展數(shù)學意識和數(shù)學眼光。

四、總結(jié)與討論

本次研究首先分析了教材關于自然數(shù)認識的整體安排，明確“萬以內(nèi)數(shù)的認識”單元的特殊定位，在此基礎上參考過往習題和試題，以及一些數(shù)概念研究資料，編制了一份調(diào)查問卷，重點考查學生兩方面的儲備知識，一方面是百以內(nèi)數(shù)的正式學習，一方面是關于三、四位數(shù)的非正式學習。結(jié)果發(fā)現(xiàn)學生關于讀數(shù)、寫數(shù)、計算等程序性知識掌握較好，而許多后繼學習需要的概念理解和思維經(jīng)驗存在不足，由此概括出新課教學的三大目標：1.從逐位滿十進一的經(jīng)驗到整體觀照學習過的數(shù)位，建構(gòu)起“個級”的基本結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成按結(jié)構(gòu)認數(shù)、讀數(shù)和寫數(shù)的意識和習慣。2.認數(shù)和計算相結(jié)合，經(jīng)歷以算式表征計數(shù)意義，據(jù)計數(shù)意義推導計算結(jié)果的過程，積累依托數(shù)學符號進行思考和交流的經(jīng)驗，發(fā)展推理能力。3.將數(shù)的認識與量的體驗結(jié)合起來，以現(xiàn)實量感進一步豐富對數(shù)的認識，借數(shù)的結(jié)構(gòu)更好地分析數(shù)量多少，溝通數(shù)學與生活的聯(lián)系。

通過學前調(diào)查，可以更好地覺察學生真實起點與教材預期之間的距離，制定適應性的教學目標，設計針對性的教學任務，更好地體現(xiàn)學生是學習的主體，學習是學生思維成長的過程。

但是，我們也發(fā)現(xiàn)當前兒童學習的真實起點非常復雜，通過非正式的學習渠道，兒童對一些程序性知識普遍存在超前掌握的情況。若在學前調(diào)查中，再簡單依據(jù)教材常規(guī)的習題，以及過往高頻考題來編制問卷，往往會由一種形式化的掌握現(xiàn)象掩蓋掉他們在概念性理解方面的缺失。這就要求教師廣泛涉獵相關研究，對教學內(nèi)容和兒童學習有深層次的理解，充分考慮調(diào)查問卷的信效度問題。只有在問卷具有良好信效度的前提下，收集到的學生知識才能作為制定教學目標和評價教學設計的有效證據(jù)。