文 藍(lán)海鵬

小學(xué)階段，學(xué)生在相關(guān)年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了角的有關(guān)知識(shí)。在六年級(jí)復(fù)習(xí)時(shí)，需要把這些零散的知識(shí)整合起來(lái)，通過(guò)小專題的復(fù)習(xí)，促使學(xué)生將知識(shí)結(jié)構(gòu)化，提升學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。同時(shí)，通過(guò)整合和拓展，有效加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的銜接。如何基于學(xué)生對(duì)角有關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)設(shè)計(jì)小初銜接拓展課呢？從中又有哪些思考？筆者設(shè)計(jì)了以下五個(gè)關(guān)于角的認(rèn)識(shí)的探究性活動(dòng)并加以實(shí)踐，取得了較好的效果。

一、如何用火柴判斷兩角是否相等

（一）設(shè)計(jì)說(shuō)明。

此探索活動(dòng)，綜合了“角的認(rèn)識(shí)”“圖形的運(yùn)動(dòng)”等知識(shí)。指向發(fā)現(xiàn)三角形全等判定（三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等）和全等三角形的性質(zhì)（兩三角形全等，對(duì)應(yīng)角相等）。

（二）活動(dòng)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施。

1.提出問(wèn)題。

你能用火柴棒判斷兩個(gè)角是否相等嗎？

準(zhǔn)備：一把三角尺、兩根長(zhǎng)度相等的火柴棒。

呈現(xiàn)《學(xué)習(xí)單》：

2.嘗試解決。

學(xué)生在《學(xué)習(xí)單》上擺動(dòng)火柴棒進(jìn)行自主探究，再小組交流。

3.全班交流。

小組代表上臺(tái)匯報(bào)，教師梳理、引導(dǎo)。

（1）正向探索。呈現(xiàn)學(xué)生作品圖1 和圖2，你看得懂嗎？

解讀：分別在∠A 和∠A′的水平方向的邊上找點(diǎn)B 和B′，使AB=A′B′=2cm?；鸩竦囊欢朔旁邳c(diǎn)B 和B′上，另一端“斜靠”在角的另一邊上。問(wèn)：圖中有哪些等量？怎樣驗(yàn)證你的猜想？學(xué)生采用度量等方法進(jìn)行驗(yàn)證。交流發(fā)現(xiàn)：如果AC=A′C′，那么可以判斷∠A=∠A′。

進(jìn)一步提出猜想：點(diǎn)B 和B′水平移動(dòng)，如圖3，如果AB=A′B′=3cm，測(cè)得AC=A′C′，可以判斷∠A=∠A′嗎？

得出結(jié)論：如果AB=A′B′（或等于2cm、3cm……），火柴棒BC=B′C′，只要AC=A′C′，就可以判斷∠A=∠A′。

（2）逆向探索。進(jìn)一步猜想：畫(huà)出兩個(gè)不相等的角，如圖4，∠A≠∠A′，AB=A′B′=3cm，觀察得到AC≠A′C′。

得出結(jié)論：如果∠A≠∠A′，那么AC≠A′C′。

4.歸納總結(jié)。

從剛才的探索中你發(fā)現(xiàn)什么？

（1）概述探究過(guò)程與結(jié)論。解決這個(gè)問(wèn)題的思路為：把火柴棒“卡”在角的內(nèi)部，火柴棒的一端分別放在兩個(gè)角水平邊上的同一個(gè)位置（即AB=A′B′），如果火柴棒靠在另一邊的位置也一樣（AC=A′C′），那么∠A=∠A′。如果火柴棒靠在另一邊的位置不一樣（AC≠A′C′），那么∠A≠∠A′。

（2）發(fā)現(xiàn)新知識(shí)。兩個(gè)三角形三條邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，這兩個(gè)三角形形狀、大小一樣，（如果把它們剪下來(lái)重疊，它們會(huì)完全重合），這時(shí)∠A=∠A′。

二、如何在方格上畫(huà)出與已知角相等的角

（一）設(shè)計(jì)說(shuō)明。

此探索活動(dòng)，綜合了“角的認(rèn)識(shí)”“平行線的認(rèn)識(shí)”等知識(shí)。指向發(fā)現(xiàn)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等）和角的傾斜程度。

（二）活動(dòng)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施。

1.提出問(wèn)題。

如圖5，已知方格圖上有∠AOB，你能畫(huà)出若干個(gè)與∠AOB 相等或不相等的角嗎？畫(huà)好后對(duì)比分析，思考：與已知角相等的角有什么關(guān)系？與已知角不相等的角有什么特點(diǎn)？

2.學(xué)生獨(dú)立操作，再交流自己的發(fā)現(xiàn)。

3.交流反饋。

呈現(xiàn)圖6 和圖7，仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圖6 和圖7 中，這些相等的角的一邊都在同一直線上，另一條邊都經(jīng)過(guò)一個(gè)“田字形”的左下角和右上角的頂點(diǎn)（在“田字形”的一條對(duì)角線上）或者是互相平行的。而圖8 中，三個(gè)角的一邊在同一直線上，已知角的另一邊經(jīng)過(guò)一個(gè)“田字形”的對(duì)角線，所畫(huà)的兩個(gè)角的另一邊分別在“日字形”和“平放的日字形”的一條對(duì)角線上，且三條邊是不平行的。

從圖7 發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1=∠A2O2B2時(shí)，OA、O1A1、O2A2平行。反過(guò)來(lái)，OA、O1A1、O2A2平行，∠AOB=∠A1O1B1=∠A2O2B2，這三個(gè)角的位置是相同的。

對(duì)比圖6 和圖8 發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個(gè)角相等時(shí)，“傾斜”程度一樣；兩個(gè)角不相等時(shí)，“傾斜”程度不一樣?！皟A斜”程度越大，則角越大。

三、如何借助圖形的縮放畫(huà)出兩個(gè)相等的角

（一）設(shè)計(jì)說(shuō)明。

此探索活動(dòng)，綜合了“角的認(rèn)識(shí)”和“圖形的縮放”等知識(shí)。指向發(fā)現(xiàn)三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）和圖形的縮放性質(zhì)。

（二）活動(dòng)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施。

1.提出任務(wù)。

請(qǐng)用一把三角尺，請(qǐng)?jiān)趫D9中畫(huà)出與∠BAC 相等的角。

2.學(xué)生探索，獨(dú)立畫(huà)圖，再小組交流。

3.交流反饋。

觀察圖10和圖11，說(shuō)一說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)。

方法1：向外畫(huà)。如圖10，用三角尺在角的兩邊分別畫(huà)BB1=CB，AA1=CA，再連接A1B1即得到∠B1A1C=∠BAC。

方法2：向里畫(huà)。如圖11，用三角尺在角的兩邊分別找到BC和AC 的中點(diǎn)B1、A1，連接A1B1即得到∠B1A1C=∠BAC。

思考：還有其他畫(huà)法嗎？

四、如何借助一個(gè)三角尺或三角尺紙片畫(huà)出兩個(gè)相等的角

（一）設(shè)計(jì)說(shuō)明。

此探究活動(dòng)，涉及“等角”“畫(huà)角”“垂直”等知識(shí)。通過(guò)角的“局部搬遷”實(shí)現(xiàn)“整體搬遷”，指向發(fā)現(xiàn)全等三角形的判定（SSS）和性質(zhì)（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。

（二）活動(dòng)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施。

1.提出任務(wù)。

已知∠A，你能用一個(gè)三角尺或三角尺紙片畫(huà)出一個(gè)與∠A 相等的角嗎？

2.學(xué)生嘗試畫(huà)圖，畫(huà)好后交流。

3.集體交流。

呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖13 和圖14。

總結(jié)畫(huà)圖步驟：（1）如圖13，三角尺或三角尺紙片的直角頂點(diǎn)與∠A 的頂點(diǎn)重合，一條直角邊與∠A 水平方向的邊重合，∠A 的另一條邊與直角三角尺的最長(zhǎng)邊交于點(diǎn)B，在尺上或三角尺紙片上標(biāo)注好。（2）如圖14，畫(huà)一條射線A1P，把留在直角三角板最長(zhǎng)邊的點(diǎn)畫(huà)出來(lái)。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1、B1畫(huà)射線A1B1，得到∠PA1B1，此時(shí)∠PA1B1=∠A。

4.拓展延伸。

（1）這個(gè)三角尺或三角尺紙片還可以怎么放？

（2）用另外一個(gè)三角尺怎么畫(huà)？

（3）假設(shè)∠A 是一個(gè)鈍角，怎么畫(huà)？交流后得到：把鈍角分為兩部分：直角和銳角。先畫(huà)一個(gè)直角，再用上面的方法畫(huà)出銳角部分即可（圖略）。

五、如何借助尺規(guī)畫(huà)出兩個(gè)相等的圓心角

（一）設(shè)計(jì)說(shuō)明。

此探究活動(dòng)，綜合了“角的認(rèn)識(shí)”和“圓的認(rèn)識(shí)”等內(nèi)容。指向發(fā)現(xiàn)：在同圓或等圓中要畫(huà)出兩個(gè)相等的“圓心角”，只需要找到相等的兩段弧。與初中的尺規(guī)作圖、圓心角定理等知識(shí)和方法銜接。

（二）活動(dòng)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施。

1.提出問(wèn)題。

如何利用圓心角畫(huà)一個(gè)與已知角相等的角？

準(zhǔn)備：一個(gè)圓形紙片，一把沒(méi)有刻度的直尺、一個(gè)圓規(guī)。

（1）以圓心為頂點(diǎn)，任意畫(huà)一個(gè)角，得到一個(gè)圓心角，如圖15。

（2）畫(huà)一個(gè)與這個(gè)圓心角相等的圓心角，怎么畫(huà)？

2.實(shí)驗(yàn)路徑。

學(xué)生選擇其中一條實(shí)驗(yàn)路徑進(jìn)行獨(dú)立探索。探索完成后再交流。

實(shí)驗(yàn)路徑1：第1 組，不給提示，自主探索。

實(shí)驗(yàn)路徑2：第2 組，（實(shí)驗(yàn)單）如圖15。你能在圓A 上畫(huà)一個(gè)等于∠BAC 的圓心角嗎？

學(xué)生探索后交流步驟：（1）剪下這個(gè)角，得到一個(gè)扇形；（2）在圓上剪一個(gè)一樣的扇形：把這個(gè)角的頂點(diǎn)貼著圓心，弧貼在圓弧上，照著這個(gè)扇形的模樣剪下來(lái)；（3）觀察兩個(gè)扇形，你發(fā)現(xiàn)什么相等的量？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在同一個(gè)圓中，兩個(gè)相等的圓心角所對(duì)的弧是相等的。反過(guò)來(lái)，要畫(huà)兩個(gè)相等的圓心角，只要畫(huà)出兩段相等的弧，再把弧兩端的點(diǎn)分別與圓心連接，得到的兩個(gè)圓心角是相等的。

實(shí)驗(yàn)路徑3：第3 組，已知∠A=∠B，分別以點(diǎn)A、B 為圓心，以一定長(zhǎng)（如3cm）為半徑畫(huà)圓,如圖16。你發(fā)現(xiàn)什么相等的量？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？（把兩個(gè)角剪下來(lái)并將它們重疊在一起，或用圓規(guī)“測(cè)量”兩段?。?/p>

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)角“夾”著的弧相等。

3.總結(jié)畫(huà)圖方法。

在同圓或等圓中，畫(huà)一條與已知角所夾的弧相等的弧，把所畫(huà)的弧的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心連接，得到的角與已知角相等。

4.出示題目：已知∠O，畫(huà)一個(gè)∠α，使得∠α=∠O。學(xué)生畫(huà)圖。

操作步驟：

（1）以已知∠O 的頂點(diǎn)O 為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑，畫(huà)一個(gè)圓，圓O 交∠O 兩邊于點(diǎn)A、B。

（2）畫(huà)射線OC，交圓O 于點(diǎn)C。

（3）在圓O 上截一段弧CD，使得弧CD 等于弧AB。

（4）畫(huà)射線OD。

此時(shí)∠COD = ∠AOB，在∠COD 上標(biāo)上角的弧線，標(biāo)注α。

發(fā)現(xiàn)：用圓規(guī)在同一個(gè)圓上，作兩段相等的弧，這兩段弧所對(duì)的圓心角相等

注意事項(xiàng)：教學(xué)時(shí)，可結(jié)合圖給出“圓心角”的概念，操作步驟可讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)。

上面把小學(xué)學(xué)過(guò)的有關(guān)角的認(rèn)識(shí)及相關(guān)知識(shí)融合起來(lái)，形成五個(gè)拓展性探究活動(dòng)，不僅系統(tǒng)地關(guān)聯(lián)角的知識(shí)，還通過(guò)小專題復(fù)習(xí)和探究方式獲得新知的初步認(rèn)識(shí)，有效發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題、探究數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。