【摘 要】 對幾何試題的研究關鍵在于對圖形的分析，從一個條件作為突破口，挖掘基本圖形，自然聯(lián)想尋找解題思路，體會學生樸素的想法;嘗試對圖形不同視角的理解，有效整合圖形信息，以最大效益感受試題的價值，從而提升學生的思維能力，進而發(fā)展解決問題的關鍵能力.

【關鍵詞】 基本圖形;自然聯(lián)想;旋轉

對中考數(shù)學試題的深度研究有助于學生對基礎知識和基本技能的落實，同時在分析問題和解決問題的過程中有利于喚醒基本活動經驗，多角度對問題的認識和理解，從而加強對數(shù)學的理解，進一步形成解決問題的策略，感受數(shù)學思想帶來的樂趣.2022年新疆中考試題第15題以正方形和旋轉作為命題背景，圖形熟悉且簡潔，源于學生課堂所學，易于理解.而不同解法的發(fā)現(xiàn)是基于學生的認知和已有經驗，讓學生探究不同的解法有利于多角度認識問題，自我剖析解決問題方法的優(yōu)劣，進一步反思改進，從而更好地理解數(shù)學的本質，這也是解題教學帶給我們的提升.

（2022新疆）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E在邊BC的延長線上，點F在邊AB上，以點D為中心，將△DCE繞點D順時針旋轉90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交DC于點P，連接AC交EF于點Q，連接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，則BQ=.

1 關注基本圖形的思考

從復雜圖形中尋找到基本圖形是解決幾何問題的突破口.本題我們猜想點Q為FE的中點，如何想到？根據∠FBE=90°，∠FDE=90°，顯然可得F，B，E，D四點共圓，那么圓心是哪個點？結合圖形，圓心只能是點Q，又如何證明呢？同時，根據已知條件AF=CE，∠FAQ=45°，∠QCE=135°，∠AQF=∠CQE，可以想到“SSA”模型，如圖2.對于圖2的處理一般是采用“割補”兩種思路，將△AFQ進行分割，得到△QCE的形狀，如圖3.或將△QCE進行增補，得到△AFQ的形狀，如圖4.這兩種思路都是固定其中一個三角形，改變另一個三角形，從而得到兩個全等三角形.基于對這個模型的再思考，也可以同時將△QCE進行增補，將△AFQ進行分割，得到兩個直角三角形，也可以得到兩個全等三角形，如圖5.

根據上述三個思路，我們很容易得到點Q為線段FE的中點，下面的求法中省去點Q為中點的證明.

以下是求BQ長度的三種方法.

方法一 如圖3，過點F作FG∥BC，交AC于點G.設FG=AF=a，GQ=QC=2[KF）][]2[SX）]b，所以BC=a+b，F(xiàn)B=b.因為PC∥FB，所以PC[]FB=CE[]EB.所以PC=ab[]2a+b.故DP=2a2+2ab+b2[]2a+b.因為AQ·DP=（2[KF）]a+2[KF）][]2[SX）]b）·2a2+2ab+b2[]2a+b=32[KF）]，所以2a2+2ab+b2=6.在Rt△FBE中，∠FBE=90°，F(xiàn)E2=FB2+BE2=4a2+4ab+2b2.故BQ=1[]2FE=3[KF）].

評析 此解法中我們設FG=AF=a，GQ=QC=2[KF）][]2[SX）]b，巧設變量可以得到BC=a+b，F(xiàn)B=b，這樣便于計算AQ和DP的長度，過程中看似復雜，實則得到2a2+2ab+b2=6這個整體，而FE2=4a2+4ab+2b2就讓結果變得簡單，這種樸素且靈巧的解法值得學生們學習，更重要的是滲透了“設而不求”的思想.

方法二 如圖4，過點E作EG∥AB，交AC的延長線于點G.因為DP∥AB，所以∠DPE=∠AFQ.因為∠FAQ=∠DEP=45°，所以△FAQ∽△PED.所以AQ[]ED=FQ[]PD.即AQ·DP=FQ·ED=BQ·2[KF）]BQ，所以BQ=3[KF）].

評析 在此解法中根據△FAQ≌△EGQ，偶然發(fā)現(xiàn)△EGQ∽△PED，這樣必然得到△FAQ∽△PED，或者直接發(fā)現(xiàn)△FAQ∽△PED.因此AQ·DP與BQ的關系顯而易見，結果易得.

方法三 如圖5，分別過點E，F(xiàn)作EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC，垂足分別為點H，G.設FG=AG=CH=HE=x，GQ=HQ=y，所以AC=2y.故BC=2[KF）]y.因為PC∥FB，所以PC[]FB=CE[]EB.所以PC=2[KF）]x（y-x）[]x+y[SX）].故DP=2[KF）]（x2+y2）[]x+y[SX）].因為AQ·DP=（x+y）·2[KF）]（x2+y2）[]x+y[SX）]=2（x2+y2）=32[KF）]，所以BQ=FQ=x2+y2=3.

評析 巧設變量，整體代換，思路與方法一致.

解題過程中要關注基本圖形的自然聯(lián)想和思考，基本活動經驗的積累，基本思想方法的提煉，在教學中要引導學生需要不斷去嘗試、體驗和實踐，將熟悉問題的解題經驗轉化成未知問題的解決策略，提高學生解決問題的能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

2 關注已知條件的聯(lián)想

羅增儒教授曾說過：當大家分析每一道題目的思路時，都是針對解題難點來講解的，應該明確指出，該題到底一共有幾個難點、分別在什么地方、各用什么方法來突破，方法的實質是什么、從中可以獲得什么解題啟示或教學啟示.作為本題而言，條件AQ·DP=32是試題的難點之一，在什么情境下會出現(xiàn)兩者的乘積？一般而言，三角形相似得比例容易出現(xiàn)，因此要尋找含有AQ和DP的兩個三角形相似來突破難點.本質是尋找兩個三角形相似，此刻需要關注圖形的直觀，容易發(fā)現(xiàn)方法二中的△FAQ∽△PED;也不難發(fā)現(xiàn)△BAQ∽△PFD，如圖6方法四.

方法四 如圖6，易得點Q是FE的中點，所以∠QFB=∠QBF=∠FPD.

因為∠BAQ=∠PFD=45°，所以△BAQ∽△PFD.

所以AQ[]FD=BQ[]PD.即AQ·DP=FD·BQ.

因為AQ·DP=32，所以FD·BQ=2[]2[SX）]FE·1[]2FE=32.

故FE=23，則BQ=3.

評析：此法的關鍵在于對AQ·DP的分析，一次相似解決問題，解題過程通俗易懂.

從基本圖形的角度思考知道試題的條件∠FDE=∠FBE=90°，所以F，B，E，D四點在以FE為直徑的圓上，并可以斷定點Q為圓心.在前面分析中，沒有繼續(xù)進行是因為點Q是圓心的說理要更難一些，而“SSA”對于學生應該更熟悉.如果建立圓的背景，我們也容易發(fā)現(xiàn)很多相似三角形，此時不妨設其中一個角，試圖算出AQ和DP，利用方法五問題容易求解，而方法一中“算”的想法和方法五是一致的.

方法五 如圖7，連接DQ，以FE為直徑構造圓.過點Q作QG⊥AB，垂足為G.

因為∠FDE=∠FBE=90°，所以F，B，E，D四點在以FE為直徑的圓上.

因為DQ=BQ，所以B，D關于直徑對稱.因為BD垂直平分AC因為B，D關于AC對稱，BQ=QD，所以點Q為圓心.設∠BFQ=α，F(xiàn)G=x，則∠DPQ=α，

所以FQ=DQ=x[]cosα，GQ=xtanα.

故DP=x[]sinαcosα，AQ=2xtanα.

因為AQ·DP=32[KF）]，所以x[]sinαcosα·2xtanα=2[KF）]（x[]cosα）2=32.

因此BQ=FQ=x[]cosα=3.

3 關注試題結論的拓展

對于試題的分析一定要講清楚怎么想，為什么這樣想兩個問題.前面的解法中我們已經從多個角度分析問題，以及為什么這樣想的問題.正如傅種孫先生所言：知其然，知其所以然，何由以知其所以然，這是在解題教學中需要一以貫之的理念.同時，就本題而言，在正方形的背景下，對于正方形的元素“邊長”的探究也是值得思考的，因此，正方形的邊長的求解是我們解題的延續(xù).

思考1 如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E在邊BC的延長線上，點F在邊AB上，以點D為中心，將△DCE繞點D順時針旋轉90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交DC于點P，連接AC交EF于點Q，連接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，則AB的取值范圍是？

思路1 因為BQ=3[KF）]，所以FE=23[KF）].當F點與A點重合時，DF最小，故FE最小，因此邊長最大;當F點與B點重合時，DF最大，故FE最大，因此邊長最小.所以3[KF）]≤AB<6[KF）].

思路2 設AD=x，AF=y，故BF=x-y，BE=x+y.

在Rt△FBE中，∠FBE=90°，F(xiàn)E2=BF2+EB2，所以（23[KF）]）2=（x+y）2+（x-y）2.

因此x2+y2=6.因為0思考2 如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E在邊BC的延長線上，點F在邊AB上，以點D為中心，將△DCE繞點D順時針旋轉90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交DC于點P，連接AC交EF于點Q，連接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，∠BFE=α，則AB的長度為？

思路 根據方法五可得AB=AG+GB=xtanα+x，而FQcosα=x=3[KF）]cosα，因此AB=3[KF）]cosαtanα+3cosα=3（sinα+cosα）.根據三角函數(shù)相關知識也可以求得思考1中AB的取值范圍.

4 關注試題教學的價值

4.1 注重分解與重組

一個復雜的圖形往往是由很多個基本圖形組合而成，在本題中體現(xiàn)的尤為明顯.教師要引導學生挖掘基本圖形，借助直觀想象素養(yǎng)轉化題目中的信息，如本題中點Q的發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)對基本模型的識別和驗證.關注條件的自然聯(lián)想，如本題中AQ·DP的思考，引導相似三角形的尋找，本題中對角為直角的四邊形的處理，讓四點共圓助力求解.因此，注重條件的分解與重組，有助于降低思考難度;加強對圖形的分解與重組，有利于識別模型，而模型源于直觀，成于推理.我們應著眼于提高學生分析問題和解決問題的能力，重視對目標的分析，對隱藏條件的挖掘，對圖形特征的觀察，明確解題思路，構建模型，也要注重對問題的再挖掘，如邊長的求解，讓解題過程變得更完整.

4.2 注重反思和提煉

在解題教學中，要鼓勵學生不斷地進行最近聯(lián)想，也要鼓勵學生不斷培養(yǎng)反思的意識.如本題假設點Q為中點后如何轉換AQ·DP=32[KF）]，借助于相似和直接計算兩種方式突破已知條件.如何能夠發(fā)現(xiàn)點Q是中點？對于△AFQ和△QCE的觀察，教師要給學生足夠時間去喚醒已有的模型，放手讓學生自主探究，適時幫助學生明確探究方向，尋找探究路徑，滲透“割補”的數(shù)學方法.關注結論倒回去思考，由AQ·DP聯(lián)想AQ[]FD=BQ[]PD和AQ[]ED=FQ[]PD，進一步倒逼兩種類型的三角形相似，在這個過程中，借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果[1].

以數(shù)學試題為素材，探究解法為載體，挖掘圖形本質，培養(yǎng)數(shù)學思維，提升反思能力，力求達到做一題，會一類，通一片，讓學生從解題中理解數(shù)學，熱愛數(shù)學，感悟數(shù)學.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：6.

作者簡介

王強（1987—），男，江蘇南京人，碩士，中學高級教師;伊犁州優(yōu)秀援疆教師，伊寧市優(yōu)秀教師，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市秦淮區(qū)數(shù)學學科帶頭人;榮獲江蘇省初中數(shù)學優(yōu)質課比賽一等獎.

基金項目 江蘇省教育科學研究“十四五”規(guī)劃重點課題“數(shù)學評優(yōu)課磨課活動的典型機制與文化特色研究”（C-b/2021/01/22）.