陳經緯 沈云

[摘? 要] 文章通過對一道以橢圓內準圓為背景的壓軸題的分析，引出在中學階段見過而未引起注意和重視的內準圓，并對橢圓和雙曲線中的內準圓做了分析，以期通過此例的分析探究引起廣大中學一線教師對挖掘試題命制背景的重視，引起教師在解題教學中對培養(yǎng)學生從特殊到一般的推理能力的重視，這也是新課標中邏輯推理能力的要求.

[關鍵詞] 背景;切線;內準圓

圓錐曲線具有很多統(tǒng)一或相似的性質，圓錐曲線題目往往能引申出多個結論，它的延伸、推廣，可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學內容，深刻反映了數(shù)學獨特的魅力，值得我們去尋找、發(fā)現(xiàn)和欣賞.在日常解題教學中，我們要有意識加強對圓錐曲線性質的推導與證明，對題目進行適當?shù)陌l(fā)散研究，探索隱藏在題目背后的奧秘，將研究的問題引向深入，挖掘題目真正的內涵，追本溯源，才能準確領會到試題命制的深刻背景，真正做到觸類旁通、舉一反三. 本文以一道橢圓壓軸題為例，探究試題的命制背景.

（2020年佛山二模）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，且過點（2，1）.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過坐標原點的直線與橢圓相交于M，N兩點，過點M作圓x2+y2=2的一條切線，交橢圓于另一點P，連接PN，證明PM=PN.

答案：（1）+=1;（2）圓x2+y2=2為橢圓的內準圓，證明略.

[?]啟示

圓錐曲線具有很多統(tǒng)一或相似的性質，圓錐曲線題往往能引申出多個結論，延伸和推廣的目的不僅是展示結論給學生，而且要在教學中培養(yǎng)學生邏輯推理能力和運算求解能力，要求學生掌握從特殊到一般的推理，學會推理的基本形式和規(guī)則，教會學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，能進行合理的探索和論證，在論證過程中進一步發(fā)展數(shù)學運算能力，通過運算促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質. 數(shù)學解題教學的核心思想就是引導學生把困難的、不熟悉的問題轉化成容易的、熟悉的問題進行解決.所謂學生熟悉的問題，除了熟悉解題的方法和策略外，重要的一環(huán)就是熟悉試題命制的背景. 由于高考試題都是原創(chuàng)題，學生若不熟悉相關背景，特別是難題，會有一種莫名的“距離感”，解題時需要不斷地嘗試才能得到結果，時間成本高. 因此，在平時教學中，教師要有意識地培養(yǎng)學生獨立自主探究圓錐曲線性質及結論的能力，挖掘題目真正的內涵，追本溯源，準確領會到試題命制的深刻背景，掌握解題的制高點，從而讓學生通過少量題目的訓練就能掌握解決一類問題的策略和方法，遠離題海，回歸本質.