摘要:分類(lèi)討論思想是初中數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法,是中考的熱門(mén)考點(diǎn).為使學(xué)生掌握分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用思路與技巧,在討論中做到不重不漏,提高解題正確率,應(yīng)注重結(jié)合不同題型為學(xué)生講解分類(lèi)討論思想的具體應(yīng)用過(guò)程,使其積累豐富的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);解題;分類(lèi)討論思想;應(yīng)用
中圖分類(lèi)號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2022)20-0008-03
應(yīng)用分類(lèi)討論思想解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題的難點(diǎn)在于如何找到分類(lèi)討論的分界點(diǎn).不同的題型尋找討論分界點(diǎn)的方法存在較大差別,因此教學(xué)中應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題題型的歸納以及分類(lèi)討論思想在解題中的具體應(yīng)用,給學(xué)生帶來(lái)良好的解題啟發(fā).
1 用于求解絕對(duì)值中的參數(shù)
例1有理數(shù)x,y滿足|x|+|y|=13,|x+y|=1,求x的值.
解析∵|x|+|y|=13,|x+y|=1,|x+y|≠|(zhì)x|+|y|,可知x、y必定異號(hào).接下來(lái)需要進(jìn)行分類(lèi)討論:
(1)當(dāng)x>0,y<0時(shí),則x-y=13,y=x-13,∴|2x-13|=1,則2x-13=±1,解得x=6或x=7;
(2)當(dāng)x<0,y>0時(shí),則-x+y=13,y=x+13,∴|2x+13|=1,則2x+13=±1,解得x=-6或x=-7;
反思解答絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)為更好的找到分類(lèi)討論的分界點(diǎn),應(yīng)認(rèn)真審題,結(jié)合所學(xué),充分挖掘隱含條件.如題目中判斷出x、y異號(hào)是分類(lèi)討論的關(guān)鍵.
2 用于求解函數(shù)中的參數(shù)
2.1 遇有坐標(biāo)軸名稱(chēng)不明確時(shí)需討論
例2已知正比例函數(shù)y=k1x與一次函數(shù)y=k2x+b圖象經(jīng)點(diǎn)P(-2,1),其中一次函數(shù)y=k2x+b圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,3),求直線y=k1x與直線y=k2x+b與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積.
解析∵直線y=k1x經(jīng)點(diǎn)P(-2,1),∴正比例函數(shù)解析式為y=12x.
∵直線y=k2x+b經(jīng)點(diǎn)P(-2,1)與A(0,3),∴一次函數(shù)解析式為y=x+3.
(1)兩條直線與y軸圍成△AOP,如圖1所示,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA,垂足為M,∴S△AOP=12OA·PM=3.
(2)兩條直線與x軸圍成△BOP,如圖1所示,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸,垂足為N,設(shè)直線y=x+3且與x軸相交于點(diǎn)B,∴S△BOP=12OB·PN=32.
由此可知,兩條直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為32或3.
反思從已知條件可直接求出一次函數(shù)與正比例函數(shù)解析式,然而在求兩條直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積時(shí)并未直接指出是x軸或y軸圍成的三角形,所以可采取分類(lèi)討論思想.
2.2 遇有點(diǎn)位置不明確時(shí)需討論
例3在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,0),B(2,6),x軸上有一點(diǎn)C滿足S△ABC=12,求點(diǎn)C坐標(biāo).
解析∵S△ABC=12,∴AC=4.
(1)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè),點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,0);
(2)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè),點(diǎn)C坐標(biāo)為(-7,0).由此可知,點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,0)或(-7,0).
反思由于無(wú)法確定x軸上點(diǎn)C位置,故而需要采取分類(lèi)討論.
2.3 遇有k、b符號(hào)不確定時(shí)需討論
例4一次函數(shù)y=kx+b圖象與x軸、y軸分別交于A與B兩點(diǎn),S△AOB=4,且OA:OB=1:2,求該一次函數(shù)解析式.
解析∵S△AOB=4,∴12OA·OB=4.
∴OA·OB=8.
∵OA∶OB=1∶2
∴設(shè)OA=x,OB=2x(x>0),則x·2x=8,即x=2(-2舍去).
∴OA=2,OB=4.
(1)當(dāng)k>0,b>0時(shí),一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)第一/二/三象限,此時(shí)A(-2,0),B(0,4),一次函數(shù)解析式為y=2x+4.同理可得:
(2)當(dāng)k>0,b<0時(shí),一次函數(shù)解析式為y=2x-4.
(3)當(dāng)k<0,b>0時(shí),一次函數(shù)解析式為y=-2x+4
(4)當(dāng)k<0,b<0,一次函數(shù)解析式為y=-2x-4.
由此可知,一次函數(shù)解析式為y=2x±4或y=-2x±4
反思因無(wú)法確定k與b符號(hào)且二者的值存在較多可能,故而需要分類(lèi)討論.
2.4 遇有增減性不明確時(shí)需討論
例5已知一次函數(shù)y=kx+b自變量x取值范圍為-2≤x≤6,對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍為-11≤y≤9,求一次函數(shù)解析式.
解析(1)若函數(shù)y=kx+b為增函數(shù),那么一次函數(shù)y=kx+b圖象兩端點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-11)與(6,9),一次函數(shù)解析式為y=2.5x-6.
(2)若函數(shù)y=kx+b為減函數(shù),函數(shù)y=kx+b圖象兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,9)與(6,-11),一次函數(shù)解析式為y=-2.5x+4.
由此可知,一次函數(shù)解析式為y=2.5x-6或y=2.5x+4.
反思由于未明確一次函數(shù)y=kx+b中k值的符號(hào),所以無(wú)法確定函數(shù)增減性與其對(duì)應(yīng)兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo),需采取分類(lèi)討論.
3 用于求解圖形中的線段長(zhǎng)度
例6一張直角三角形紙張ABC,∠C=90°,AB=10,AC=6,點(diǎn)D為BC邊上任意一點(diǎn),沿著過(guò)點(diǎn)D的直線折疊,使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E上,若當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí),CD的長(zhǎng)為.
解析(1)∠BDE=90°時(shí),對(duì)應(yīng)的情境如圖2所示,∵∠C=90°,AB=10,AC=6,由勾股定理得到:BC=102-62=8,根據(jù)題意可知四邊形CDEF為正方形.設(shè)CD=x,則BD=8-x,AF=6-x,易得△AEF∽△EDB,∴AF/ED=EF/DB,即6-xx=x8-x,解得x=247,此時(shí)CD=247.
(2)當(dāng)∠DEB=90°時(shí),對(duì)應(yīng)的情境如圖3所示,連接AD,則可知△ACD≌AED,CD=DE,AC=AE=6,設(shè)CD=x,則BD=8-x,BE=10-6=4,則在直角△DEB中,由勾股定理得到:x2+42=(8-x)2,解得x=3.綜上可知CD的長(zhǎng)為3或247.
反思遇到幾何中的折疊問(wèn)題時(shí)應(yīng)冷靜分析,保證考慮問(wèn)題的全面性.必要時(shí)要畫(huà)出相關(guān)草圖輔助分析,求解出滿足題干情境的線段長(zhǎng)度.
4 用于求解函數(shù)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)
例7如圖4,已知拋物線y=x2-2x-3的頂點(diǎn)為E,且和x軸正半軸交于點(diǎn)C,在y軸上存在一點(diǎn)D,滿足DC=DE,若在直線DE上存在一點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和△DOC相似,求出所有可能的點(diǎn)P的坐標(biāo).
解析根據(jù)已知條件容易求得C(3,0),E(1,-4),設(shè)點(diǎn)D(0,x),由DC=DE,可知32+x2=(-1)2+(x+4)2,解得x=-1,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-1),則CD=10.設(shè)過(guò)DE的直線為y=kx-1,將E點(diǎn)坐標(biāo)代入得到k=-3,∴y=-3x-1.過(guò)點(diǎn)E作EF垂直于y軸,垂足為F,如圖5所示,容易證得△DFE≌△COD,∴∠FDE=∠OCD,∠CDO=∠DEF,∵∠OCD+∠ODC=90°,即∠FDE+∠ODC=90°,∴CD⊥DE.
(1)當(dāng)OC和CD為對(duì)應(yīng)邊時(shí),由△PDC∽△DOC,OC/CD=OD/PD,容易求得PD=103,因點(diǎn)P在DE上,設(shè)點(diǎn)P(x0,-3x0-1),則x20+(-3x0)2=103,解得x0=±13,則對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(13,-2)或(-13,0).
(2)當(dāng)OC和DP為對(duì)應(yīng)邊時(shí),由△CDP∽△DOC,OC/DP=OD/DC,容易求得PD=310,因點(diǎn)P在DE上,設(shè)點(diǎn)P(x0,-3x0-1),則x20+(-3x0)2=310,解得x0=±3,則對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-10)或(-3,8).
綜上,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有:(13,-2)、(-13,0)、(3,-10)、(-3,8).
反思求解函數(shù)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題難度一般較大,解題時(shí)應(yīng)注重聯(lián)系所學(xué)的一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象、圖形的全等與相似等知識(shí)點(diǎn),尤其當(dāng)對(duì)應(yīng)邊不明確時(shí)應(yīng)注重分類(lèi)討論.根據(jù)圖形的全等、相似性質(zhì)構(gòu)建相關(guān)的等式關(guān)系,為求解點(diǎn)的坐標(biāo)做鋪墊.
為使學(xué)生掌握應(yīng)用分類(lèi)討論思想解題的技巧,既要注重為學(xué)生講解相關(guān)的理論與例題,又要要求學(xué)生做好學(xué)習(xí)的總結(jié),把握不同題型分類(lèi)討論的注意事項(xiàng)以及相關(guān)細(xì)節(jié).同時(shí),要求學(xué)生結(jié)合自身學(xué)習(xí)的薄弱點(diǎn),及時(shí)進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練,不斷提高運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題的熟練程度.
參考文獻(xiàn):
[1] 張進(jìn)華,朱樹(shù)方.分類(lèi)討論思想在側(cè)重教學(xué)中的應(yīng)用策略探討[J].考試周刊,2021(26):13-14.
[2] 劉美.淺析分類(lèi)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].科技視界,2021(06):167-168.
[3] 高飛.分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用探究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)(教師通訊),2020(24):101-102.
[責(zé)任編輯:李璟]
收稿日期:2022-04-15
作者簡(jiǎn)介:陳曄華(1977.9-),男,江蘇省無(wú)錫人,本科,中學(xué)二級(jí)教師,從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.