黃佩

[摘? 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）提出：教師不僅要關(guān)注課堂教學(xué)目標(biāo)，還要注重單元教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)，這對(duì)促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要影響. 文章以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例，具體從“理清結(jié)構(gòu)，提出問(wèn)題”“明晰策略，類(lèi)比研究”“單元聯(lián)系，化歸轉(zhuǎn)化”“單元梳理，拓展延伸”等方面展開(kāi)論述.

[關(guān)鍵詞] 邏輯推理;單元教學(xué);函數(shù)

1931年，美國(guó)的莫里遜在《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐》中，首次提出了單元教學(xué)法，他認(rèn)為單元教學(xué)是指以學(xué)科框架體系內(nèi)的內(nèi)容組織進(jìn)行的教學(xué)，它的范圍并不局限于教材中所呈現(xiàn)的“知識(shí)單元”，還包括以某個(gè)主題知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、基本能力等為主線的教學(xué)形式[1]. 而邏輯推理能力作為基本的數(shù)學(xué)思維方式，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的思維品質(zhì)，對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生智力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維以及培養(yǎng)科學(xué)精神有著直接影響.

[?]基本理論

邏輯推理是指從一些命題或事實(shí)出發(fā)，根據(jù)一定的規(guī)律，推導(dǎo)出其他命題的過(guò)程. 包括從一般到特殊（演繹為主）與從特殊到一般（歸納、類(lèi)比）兩類(lèi). 邏輯推理過(guò)程主要存在以下幾個(gè)步驟：①發(fā)現(xiàn)并提出命題;②了解推理的基本規(guī)則與形式;③探索并表征推理過(guò)程;④建構(gòu)知識(shí)體系;⑤表達(dá)與交流.

鐘啟泉教授提出：基于邏輯推理能力發(fā)展的單元教學(xué)實(shí)施過(guò)程一般遵循“分析、設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)、實(shí)施與評(píng)價(jià)”五個(gè)步驟，也就是經(jīng)典的“ADDIE模型”;而后，呂世虎教授在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了補(bǔ)充與完善. 但不論哪種模式的應(yīng)用，都以下列三個(gè)問(wèn)題為思考方向：教什么？怎么教？成效如何？

教學(xué)實(shí)踐告訴我們，以單元教學(xué)模式培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵. 相比每節(jié)課的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，單元教學(xué)有更多的時(shí)間與空間調(diào)整教學(xué)的節(jié)奏. 同時(shí)，單元設(shè)計(jì)的注意點(diǎn)有：①設(shè)計(jì)框架要覆蓋基本教學(xué)要素，體現(xiàn)出整體性與統(tǒng)一性;②分析應(yīng)貫穿教學(xué)始終，每個(gè)分析都要講究有據(jù)可依;③從單元到課時(shí)，要有明確的有序性和層次性.

[?]教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 理清結(jié)構(gòu)，提出問(wèn)題

三角函數(shù)作為一類(lèi)特殊的函數(shù)，其圖像與性質(zhì)的研究與一般函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究有著一定的共同點(diǎn)，基本是先對(duì)基礎(chǔ)的定義進(jìn)行分析，而后對(duì)圖像與性質(zhì)著手研究，兩者都存在豐富的邏輯推理過(guò)程與內(nèi)涵. 同樣，在單元教學(xué)模式下，也是借助圖像來(lái)反映相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等，且研究方法也有高度的相似性.

師：通過(guò)之前的學(xué)習(xí)，大家說(shuō)說(shuō)當(dāng)我們遇到一類(lèi)新函數(shù)時(shí)，需要研究它的哪些性質(zhì)？

生1：奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等.

師：很好！關(guān)于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性的研究方法，大家還有印象嗎？

生2：我記得是先研究了正弦函數(shù)的周期性，在此基礎(chǔ)上再研究了余弦函數(shù)的周期性.

生3：其實(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性的研究，就是用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言符號(hào)來(lái)表達(dá)圖像周而復(fù)始的規(guī)律. 如誘導(dǎo)公式sin（2kπ+α）=sinα，就是將定義域R上的正弦函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)周期內(nèi)（區(qū)間長(zhǎng)度為2π）的正弦函數(shù).

師：看來(lái)大家對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性已經(jīng)有了比較深刻的理解，根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，大家覺(jué)得本節(jié)課我們會(huì)研究什么內(nèi)容呢？

生4：根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為本節(jié)課應(yīng)該要根據(jù)三角函數(shù)圖像來(lái)探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性或單調(diào)性等方面的知識(shí)，而后用規(guī)范的語(yǔ)言進(jìn)行表征.

師：分析得不錯(cuò)，本節(jié)課我們著重研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性. 按照習(xí)慣，我們要先研究哪個(gè)函數(shù)呢？

生5：先探索正弦函數(shù)，而后根據(jù)其與余弦函數(shù)的聯(lián)系，拓展到余弦函數(shù)的研究上.

此過(guò)程，教師從單元結(jié)構(gòu)性的角度進(jìn)行引導(dǎo)，首先激起了學(xué)生的回憶：①正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、圖像與周期性等;②一般情況下，研究函數(shù)基本會(huì)有一個(gè)套路，即“定義—圖像—周期性”;研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，要經(jīng)歷“正弦函數(shù)—某周期上的正弦函數(shù)—圖像特征—結(jié)論”.

以上引導(dǎo)是為接下來(lái)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性做鋪墊，讓學(xué)生大概了解接下來(lái)要研究的主題與方向. 這種引導(dǎo)方式，蘊(yùn)含有一般研究結(jié)構(gòu)對(duì)特殊問(wèn)題的引導(dǎo)作用，其中不乏演繹推理、類(lèi)比、合情推理等邏輯推理過(guò)程.

2. 明晰策略，類(lèi)比研究

縱觀整個(gè)單元，之前對(duì)三角函數(shù)的奇偶性、增減性等性質(zhì)的研究，都富含研究函數(shù)性質(zhì)的通用方法，一般遵循以下四個(gè)過(guò)程：①觀察圖像，發(fā)現(xiàn)特征;②嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)，獲得定義;③多方證明，驗(yàn)證性質(zhì);④實(shí)際應(yīng)用，解決問(wèn)題. 這里所研究的三角函數(shù)的單調(diào)性和學(xué)生之前所研究過(guò)的其他函數(shù)的單調(diào)性的方法具有高度一致性.

再將眼光放到小單元來(lái)觀察，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的研究與學(xué)生之前接觸過(guò)的三角函數(shù)周期性的研究，在方法上是高度相似的. 類(lèi)比其思想方法，可先觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，從增減性的特征出發(fā)，嘗試用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表征，再利用獲得的結(jié)論去驗(yàn)證三角函數(shù)的增減性，最后應(yīng)用此性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

師：之前我們對(duì)三角函數(shù)周期性的研究，對(duì)本節(jié)課正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的研究有什么幫助嗎？

生6：從兩方面來(lái)看：①類(lèi)比三角函數(shù)周期性研究的過(guò)程，我們可以從y=sinx的圖像周而復(fù)始的特點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用誘導(dǎo)公式sin（2kπ+α）=sinα，將正弦函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)化到區(qū)間長(zhǎng)度為2π的周期進(jìn)行分析、研究;②直接觀察、分析正弦函數(shù)在一個(gè)周期（區(qū)間長(zhǎng)度為2π）內(nèi)的圖像，找出其單調(diào)性.

師：很好！你們能找出y=sinx在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性嗎？

生7：在區(qū)間[0，2π]內(nèi)，y=sinx存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間，即單調(diào)遞增區(qū)間有0

，2π，單調(diào)遞減區(qū)間為

師：如此來(lái)說(shuō)，y=sinx在0，2π內(nèi)存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)其周期性再獲得其他區(qū)間上的單調(diào)性，雖然具有可行性，但比較麻煩，大家想想是否有其他較簡(jiǎn)單的方法.

生8：可將y=sinx的變量區(qū)間[0，2π]轉(zhuǎn)化為-

，，區(qū)間長(zhǎng)度同樣為2π，但單調(diào)區(qū)間只剩下了兩個(gè)，分別在-

，上單調(diào)遞增，在

，上單調(diào)遞減.

師：通過(guò)怎樣的方式能將y=sinx在一個(gè)周期上的單調(diào)遞增推廣為整個(gè)定義域上的單調(diào)遞增呢？

生9：結(jié)合圖像與周期性來(lái)分析，比如，把y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間

，往左或右平移2π的整數(shù)倍，也就是將單調(diào)遞增區(qū)間

，加或減2π的整數(shù)倍即可獲得y=sinx所有的單調(diào)遞減區(qū)間.

師：如何表達(dá)這些單調(diào)遞增區(qū)間？

生10：將y=sinx在區(qū)間

，上的圖像往左或右平移2π，可得y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2π

+. 以此類(lèi)推，平移k（k∈Z）個(gè)2π，可得y=sinx所有的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ

師：那么y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是否可以表示為

+呢？

生11：不行，若k≠k，所對(duì)應(yīng)的區(qū)間不在同一個(gè)周期內(nèi)，圖像就存在有增有減的情況.

師：那么y=sinx所有的單調(diào)遞減區(qū)間又是怎樣的呢？該如何表示？

生12：同樣借助平移的方式，將y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間往左或右平移整數(shù)個(gè)2π，可得單調(diào)遞減區(qū)間是2kπ

+，2kπ

+（k∈Z）.

師：現(xiàn)在我們一起來(lái)回顧一下，探究y=sinx的單調(diào)性的過(guò)程為：根據(jù)y=sinx的周期性，將研究其單調(diào)性的眼光從整個(gè)定義域轉(zhuǎn)向周期

，;將得到的單調(diào)區(qū)間

，或

，往左或右平移整數(shù)個(gè)2π，即得y=sinx在整個(gè)定義域上的單調(diào)區(qū)間為2kπ

-，2kπ

+（k∈Z）或2kπ

+，2kπ

+（k∈Z）. 這是通過(guò)周期性把無(wú)限的定義域轉(zhuǎn)化到一個(gè)局域周期的過(guò)程.

三角函數(shù)作為特殊的周期函數(shù)，需要著重突出其周期性的研究. 對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的研究，可以借助“誘導(dǎo)公式一”，將實(shí)數(shù)定義域轉(zhuǎn)化為

，這個(gè)局域區(qū)間進(jìn)行分析.

問(wèn)題：我們?cè)撊绾卫萌呛瘮?shù)的周期性認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的其他性質(zhì)？

這是一個(gè)將無(wú)限研究轉(zhuǎn)化為有限研究的問(wèn)題，也就是將實(shí)數(shù)定義域上的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化成某個(gè)周期上的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，再去探尋其性質(zhì). 充分體現(xiàn)出了函數(shù)在一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化、類(lèi)比等邏輯推理過(guò)程.

3. 單元聯(lián)系，化歸轉(zhuǎn)化

研究完y=sinx的單調(diào)性后，就需要探索類(lèi)似于y=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的三角函數(shù)了，如此才能體現(xiàn)出學(xué)習(xí)的完整性，即從簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)—余弦函數(shù)—一般的正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù).

師：之前畫(huà)圖研究三角函數(shù)的周期性等性質(zhì)時(shí)，都是從y=sinx著手進(jìn)行的，而后又研究了哪些三角函數(shù)？是怎么研究的？

生13：繼y=sinx后，一般會(huì)研究y=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）等三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 研究過(guò)程中，都是將問(wèn)題化歸成基本的三角函數(shù)進(jìn)行分析的，如y=cosx就是類(lèi)比y=sinx進(jìn)行分析的;y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）均通過(guò)換元，化歸成y=sinx或y=cosx進(jìn)行分析.

師：這么來(lái)看，接下來(lái)我們?cè)撗芯縴=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）等三角函數(shù)的單調(diào)性了. 現(xiàn)在請(qǐng)大家先思考、再合作，看看能否自主獲得y=cosx的單調(diào)性.

學(xué)生合作學(xué)習(xí)后獲得結(jié)論：y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）或[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）;單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）.

師：那么大家能求出y=3sinx與y=sin

2x+

的單調(diào)性嗎？

生14：類(lèi)比之前的方法，借助整體思想令μ=ωx+φ，把一般的正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)化歸成基本的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)即可;或借助平移的方式將余弦函數(shù)化歸成正弦函數(shù)進(jìn)行分析.

……

師：綜上所述，你們覺(jué)得本節(jié)課的單調(diào)性學(xué)習(xí)與之前的函數(shù)周期性研究，具有怎樣的異同點(diǎn)？

生15：它們的研究過(guò)程具有高度相似性，且解決的問(wèn)題也差不多.

與三角函數(shù)圖像、三角函數(shù)周期性研究方式進(jìn)行類(lèi)比，將基本的正弦函數(shù)過(guò)渡到余弦函數(shù)，再到一般的正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的研究，這里涉及對(duì)研究對(duì)象和研究方法的類(lèi)比，從周期性研究到單調(diào)性研究的推理過(guò)程，反映出了類(lèi)比推理法在教學(xué)中的重要作用.

同時(shí)，在研究三角函數(shù)增減性、奇偶性的過(guò)程中，常蘊(yùn)含著重要的整體思想，它能將一般的三角函數(shù)如y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的增減性、對(duì)稱(chēng)性等的研究，令μ=ωx+φ轉(zhuǎn)化成基本的三角函數(shù)如y=Acosμ的研究，從而類(lèi)比推理到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).

4. 單元梳理，拓展延伸

通過(guò)對(duì)以上正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的研究，可見(jiàn)邏輯推理能力在教學(xué)中的應(yīng)用十分普遍. 鑒于此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生站到一個(gè)較高的角度去完成單元小結(jié)梳理，以深化學(xué)生對(duì)邏輯推理能力應(yīng)用的認(rèn)識(shí)與理解，并順利地將新知建構(gòu)到認(rèn)知體系中.

本單元教學(xué)，可在最后環(huán)節(jié)安排探索與發(fā)現(xiàn)內(nèi)容，要求學(xué)生根據(jù)單位圓中，三角函數(shù)線來(lái)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，這是用三角函數(shù)線研究三角函數(shù)性質(zhì)的方向，對(duì)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力具有顯著的推動(dòng)作用.

師：根據(jù)以上教學(xué)過(guò)程，大家能對(duì)本節(jié)課所涉及的知識(shí)進(jìn)行一個(gè)梳理嗎？（要求涵蓋內(nèi)容、研究途徑、關(guān)系等）請(qǐng)大家先獨(dú)立思考，然后以小組合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行討論分析.

在師生、生生的通力合作下，獲得了如圖1所示的結(jié)論.

師：觀察我們所梳理出來(lái)的這個(gè)關(guān)系圖，比較、分析研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)時(shí)用到的三角函數(shù)線這個(gè)方法與之前我們所研究的一般方法，在哪些地方有著相似性？

生16：之前我們都是利用三角函數(shù)圖像來(lái)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的，而這里是用三角函數(shù)線來(lái)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的，都經(jīng)歷了從特殊到一般、由形到數(shù)的過(guò)程. 同時(shí)，三角函數(shù)圖像和三角函數(shù)線都是通過(guò)與周期性的類(lèi)比來(lái)分析的，不同周期下的相同的終邊也體現(xiàn)了周期性.

師：借助周期性，可將函數(shù)單調(diào)性的研究轉(zhuǎn)化到一個(gè)周期內(nèi)的分析，那么函數(shù)的奇偶性對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究有沒(méi)有什么幫助呢？

生17：亦可通過(guò)對(duì)稱(chēng)性特征簡(jiǎn)化研究過(guò)程.

師：非常好！不論是周期性，還是對(duì)稱(chēng)性，它們都能簡(jiǎn)化正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性研究，類(lèi)比這種研究方法，我們可以將其應(yīng)用到其他更多的函數(shù)研究中.

縱觀本單元教學(xué)的前后聯(lián)系，在內(nèi)容方面，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像源于三角函數(shù)線;在方法方面，函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)的獲得，主要源于對(duì)圖像的觀察.

總之，數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)性的學(xué)科，單元內(nèi)容間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系. 從單元視角下，通過(guò)邏輯推理發(fā)現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容的性質(zhì)與內(nèi)涵，并加以培養(yǎng)與應(yīng)用，能有效地促進(jìn)學(xué)生形成可持續(xù)性發(fā)展的能力，為核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ)[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]? 章飛，顧繼玲. 單元教學(xué)的核心思想與基本路徑[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（10）：23-28.

[2]? 章建躍. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)4）——《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫(xiě)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（28）：7-11.