唐錄義 劉東蓮

摘? ? 要：“誤中悟”方式以素養(yǎng)為導(dǎo)向，以問題為引領(lǐng)，圍繞挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)主題，創(chuàng)設(shè)適切情境，能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).其課堂活動主線由“博學(xué)格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務(wù)本”六個環(huán)節(jié)構(gòu)成.教師要倡導(dǎo)懷疑和批判精神，善待錯誤，遵循目標(biāo)導(dǎo)向，預(yù)設(shè)聚焦目標(biāo)性“大問題”的層層遞進(jìn)的子問題串，及時、敏銳地捕捉錯誤，有序、有關(guān)、有用、有益、有效地展示情境，讓學(xué)生經(jīng)歷聯(lián)系、比較、試誤、調(diào)整等過程，使認(rèn)識從零碎、淺表、模糊逐步進(jìn)階到整體、深刻、清晰.

關(guān)鍵詞：“誤中悟”方式;“6W”活動主線;數(shù)學(xué)教學(xué)

一、“誤中悟”方式“6W”活動主線簡介

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容”的基本理念，其中突出主線就是突出數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在邏輯，站在整體的高度把握數(shù)學(xué)知識的發(fā)展脈絡(luò)，揭示知識脈絡(luò)所承載的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的價值.數(shù)學(xué)教學(xué)就是要通過設(shè)置恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識在學(xué)生心靈中的發(fā)生發(fā)展.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)活動需由兩條明線（知識主線、活動主線）和兩條暗線（思想方法主線、素養(yǎng)主線）構(gòu)成[1]，四條主線明暗呼應(yīng)、交織相融，滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).教師要在“理解數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上確定知識主線，在“理解教學(xué)”“理解學(xué)生”后確定活動主線[2].因此，在“雙減”背景下提高課堂教學(xué)質(zhì)量，設(shè)計(jì)優(yōu)質(zhì)高效的活動主線至關(guān)重要.

多年來，筆者所在的名師工作室開展了安徽省教育規(guī)劃課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的‘誤中悟教育方式及其課堂實(shí)踐研究”的研究.“誤中悟”方式就是圍繞挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)主題，創(chuàng)設(shè)適切情境，從“霧區(qū)”出發(fā)，以素養(yǎng)為導(dǎo)向，以問題引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“博學(xué)格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務(wù)本”六個課堂教學(xué)環(huán)節(jié)（“物、霧、誤、悟、焐、務(wù)”六個字的讀音都是“wu”，故稱之為“6W”結(jié)構(gòu)），實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).

活動主線中包括數(shù)學(xué)化活動、再發(fā)現(xiàn)活動、元認(rèn)知活動三大基本活動.這里的“元認(rèn)知”是美國心理學(xué)家弗拉維爾提出的概念，意為對認(rèn)知的認(rèn)知.人們在學(xué)習(xí)時，一方面進(jìn)行著各種認(rèn)知活動（感知、記憶、思維等），另一方面又要對自己的各種認(rèn)知活動進(jìn)行積極的監(jiān)控和調(diào)節(jié).這種對自我的感知、記憶、思維等認(rèn)知活動的再感知、再記憶、再思維就稱為元認(rèn)知.“誤中悟”六環(huán)節(jié)中，前兩個環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)化活動，中間兩個環(huán)節(jié)是再發(fā)現(xiàn)活動，后兩個環(huán)節(jié)是元認(rèn)知活動.知識主線包括背景、概念、性質(zhì)、應(yīng)用、總結(jié).活動主線與知識主線交織融合，潛移數(shù)學(xué)思想方法，默化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，相依相伴、相輔相成、依序運(yùn)行.下面以“求切線方程”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，詮釋活動主線各個環(huán)節(jié)的含義.

二、“6W”活動主線各環(huán)節(jié)詮釋

（一）博學(xué)格物：格物迷離引入勝，博貫近思學(xué)究竟

致廣大而盡精微.博學(xué)是一種求學(xué)的執(zhí)念，是一種執(zhí)著的態(tài)度，熱情、堅(jiān)持不懈、陶醉其中地探索自己內(nèi)心的困惑.格物致知、悟物窮理，格物就是觀察情境[3]，情境是指影響事物發(fā)生或?qū)C(jī)體行為產(chǎn)生影響的環(huán)境載體和條件載體，情境所呈現(xiàn)給學(xué)生的刺激性信息，能引起學(xué)習(xí)興趣，喚起強(qiáng)烈的問題意識.博學(xué)格物就是情境活動，旨在厚培知識的根基，厘清知識的本源和背景，讓知識根植于廣博、深厚、肥沃的情境土壤之中，生根發(fā)芽、開花結(jié)果，為新知的生成搭建厚博的平臺，培根鑄魂.

教師要創(chuàng)設(shè)博貫現(xiàn)實(shí)生活、近思已有知識經(jīng)驗(yàn)、切問當(dāng)前主題的情境，使學(xué)生博觀約取、全身投入、沉迷陶醉，獲取信息.好的情境具有四個特征.一是指向性：指向關(guān)鍵問題，關(guān)注學(xué)科本質(zhì).二是激趣性：激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，誘發(fā)自主探究.三是自然性：具有恰當(dāng)?shù)淖匀惑w驗(yàn)和思維梯度，有利于拾級而上挑戰(zhàn)問題，培養(yǎng)科學(xué)精神.四是真實(shí)性：具有真實(shí)而簡潔的特征，能快速引發(fā)數(shù)學(xué)觀察和數(shù)學(xué)思考.

【環(huán)節(jié)1】基于情境，引發(fā)思考

問題1：回憶一下，我們在初中的哪個階段接觸過切線這個概念？

問題2：直線與圓相切時，只有一個交點(diǎn)，那么直線與曲線相切時是不是也只有一個交點(diǎn)呢？

回顧初中知識點(diǎn)，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生有思維定式：對于切線的理解就是只有一個交點(diǎn).由此，筆者在充分考慮高二學(xué)生求解三次方程還比較吃力的情況下，讓他們求解一道因式分解比較簡單的例題：過原點(diǎn)O（0，0）作曲線[fx=x3-2x2+x]的切線，求該切線的方程.

導(dǎo)語：觀察情境，聯(lián)系學(xué)過的有關(guān)知識和已有的經(jīng)驗(yàn)，尋找情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題.同學(xué)們，請睜開數(shù)學(xué)的慧眼，把這紛擾看個清清楚楚、明明白白、真真切切！

師生活動：教師布境、激情、啟思;學(xué)生入境、動情、樂思.

（二）審問疑霧：霧中風(fēng)景疑處始，審視洞照問中來

笛卡爾在《方法導(dǎo)論》中列舉了方法論的四條規(guī)則，第一條就是“絕不承認(rèn)任何事物為真，除非我明明白白知道它確實(shí)為真”，在他的《第一哲學(xué)沉思錄》中，第一個沉思就是“質(zhì)疑一切”.“誤中悟”方式倡導(dǎo)懷疑和批判精神，在學(xué)生觀察情境后，教師要誘其質(zhì)疑，引其發(fā)問.

維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”理論認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展水平包含現(xiàn)有發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平，二者之間的區(qū)域叫最近發(fā)展區(qū).最近發(fā)展區(qū)又包含自發(fā)展水平（通過自身努力可以達(dá)成的水平）和助發(fā)展水平（需要求助方可達(dá)成的發(fā)展水平），二者之間的區(qū)域就是“誤中悟”方式所指的“霧區(qū)”.

針對“霧區(qū)”，教師要預(yù)設(shè)若干層層遞進(jìn)且聚焦目標(biāo)性“大問題”（核心問題）的子問題串，引導(dǎo)學(xué)生從“霧區(qū)”出發(fā)，遵循目標(biāo)導(dǎo)向，以數(shù)學(xué)的視角（即形狀、位置、大小、度量、運(yùn)算、關(guān)系、模型等），對情境看、想、發(fā)現(xiàn)、好奇、想問，把想問的問題提出來.教學(xué)過程中，學(xué)生可能會提出各種數(shù)學(xué)問題，它們也許與預(yù)設(shè)的核心問題偏離甚遠(yuǎn)，然而只要學(xué)生能勇敢地提出問題，即使很幼稚，都值得珍視和鼓勵.教師要讓學(xué)生大膽展示問題，并相機(jī)啟發(fā)，順勢導(dǎo)出某課的核心問題.

【環(huán)節(jié)2】深入“霧區(qū)”，生發(fā)疑問

問題3：原點(diǎn)O（0，0）與曲線的位置關(guān)系是什么？如何判斷？（將橫坐標(biāo)x=0代入，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)在曲線上，從而認(rèn)為切點(diǎn)就是原點(diǎn)）

問題4：問題3中的切線有幾條？

部分學(xué)生因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上而誤認(rèn)為只有一條切線，部分學(xué)生認(rèn)為有兩條切線，課堂上產(chǎn)生了思維碰撞的火花.這使對切線概念理解有“霧區(qū)”的學(xué)生產(chǎn)生困惑，筆者于是進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考.

導(dǎo)語：通過對情境的觀察、聯(lián)想、思考，每人至少提出一個數(shù)學(xué)問題.請同學(xué)們展開想象的翅膀，讓思維自由飛翔.

師生活動：教師追問、導(dǎo)向、誘發(fā)、鼓勵;學(xué)生質(zhì)疑、迷茫、困惑、發(fā)問.

（三）慎思試誤：自主試誤慎思中，此時無聲勝有聲

桑代克“聯(lián)結(jié)—試誤”理論認(rèn)為，人類的學(xué)習(xí)過程就是刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，知識與技能的獲得必須通過“嘗試—錯誤—再嘗試”的循環(huán)試誤過程.錯誤、挫折的刺激，將引發(fā)觀念沖突，產(chǎn)生強(qiáng)烈的反應(yīng).這種“刺激—反應(yīng)”的聯(lián)結(jié)，會觸動心靈，讓學(xué)生刻骨銘心，喚起深度學(xué)習(xí).

克勞修斯熵增定律，用熵度量一個系統(tǒng)“內(nèi)在的混亂程度”.在一個孤立系統(tǒng)里，如果沒有外力做功，其總混亂度（熵）會不斷增大.對抗熵增，必須主動做功、開放系統(tǒng)、智能化，以實(shí)現(xiàn)熵減.熵減的過程就是治理無序、實(shí)現(xiàn)有序的糾錯過程，這個過程會促進(jìn)智能躍升.

認(rèn)識事物往往會經(jīng)歷這樣一個過程：“觀察、嘗試、檢驗(yàn)、否定—再觀察、調(diào)整、再嘗試、再檢驗(yàn)、再否定……”從思維發(fā)展的角度來說，這就是思維的批判性，也是創(chuàng)造性思維的重要特征.那么如何減少嘗試的盲目性？如何讓否定更明智，不丟掉好的思路？知識的儲備、分析問題的能力、經(jīng)驗(yàn)的積累、克服困難的勇氣，都會在一次又一次問題解決中得到成長.

試誤需要沉浸式慎思，慎思就是要深思而慎取.問過以后還要通過自己的思維活動來仔細(xì)考察、思考、分析，以數(shù)學(xué)悟感為基礎(chǔ)，充分發(fā)揮好奇心與想象力，大膽試誤，積極尋求有效的問題解決方案，借助證據(jù)和合理推理進(jìn)行有效論證.這一系列過程就是以悟感為基礎(chǔ)的參悟過程，可培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，使其學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.

【環(huán)節(jié)3】思維發(fā)散，嘗試探究

問題5：那么到底有幾條切線？我們能不能借助GeoGebra來觀察、嘗試一下？

筆者借助作圖軟件，讓學(xué)生去感受，體會“過”與“在”的不同之處.首先作出以點(diǎn)O為切點(diǎn)的切線，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)它與曲線[y=fx]還有另外一個交點(diǎn).筆者由此強(qiáng)調(diào)直線與曲線相切，交點(diǎn)并不一定唯一，要求學(xué)生注意區(qū)分其與初中學(xué)習(xí)的“直線與圓相切，有且只有一個交點(diǎn)”不同.

問題6：曲線上還會不會有其他的直線與曲線相切經(jīng)過點(diǎn)O ？

筆者讓學(xué)生自己動手去操作、嘗試，通過移動過點(diǎn)O的直線BO，發(fā)現(xiàn)其經(jīng)過點(diǎn)C的時候與曲線相切，此時切點(diǎn)不是點(diǎn)O.在實(shí)際操作中，只需要讓學(xué)生指出直線的存在，不需要說出切點(diǎn)，當(dāng)然，學(xué)生可以猜出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），教師不需要給予肯定，而是要強(qiáng)調(diào)“形給的直觀，應(yīng)通過數(shù)去驗(yàn)證”.

導(dǎo)語：下面我們自主探究問題，請同學(xué)們開啟思想的閘門，讓思維自然流淌！

師生活動：學(xué)生直面核心問題，獨(dú)立思考、自主探究、直覺猜想、大膽試誤;教師明察誤情、聚焦誤點(diǎn)、助力破誤、診斷點(diǎn)撥.

（四）明辨頓悟：百鳥爭鳴明思辨，思維碰撞頓悟生

劉奎林“誘發(fā)靈感的機(jī)制序列鏈”理論認(rèn)為靈感的誘發(fā)由五道程序組成機(jī)制序列鏈，即“境域—啟迪—躍遷—頓悟—驗(yàn)證”.其間，創(chuàng)造者的靈感孕育一經(jīng)達(dá)到飽和程度，恰遇某一相關(guān)信息偶然啟迪，靈感就會以非邏輯質(zhì)變方式，經(jīng)過顯意識與潛意識的交互作用，使?jié)撘庾R進(jìn)入一種跨越式的推理程序和非連續(xù)的質(zhì)變過程，頃刻間就會發(fā)生思維躍遷，使人豁然開朗，產(chǎn)生頓悟.

教師要鼓勵學(xué)生積極發(fā)表自己的意見，展示試誤的結(jié)果，并合作交流，在互動中明辨問題，批判質(zhì)疑，碰撞思維，擦出思想火花，互啟靈感，誘發(fā)頓悟，生成發(fā)現(xiàn).教師還要引導(dǎo)學(xué)生給出合理的評判和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C過程，得到定理、法則、公式的確認(rèn)，然后用自然語言、圖形語言、符號語言予以表達(dá).如此，可培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，使其學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

【環(huán)節(jié)4】思維穿透，成果生成

問題7：通過剛剛這位同學(xué)的操作，我們發(fā)現(xiàn)這樣的切線有兩條，下面我們該如何去解答？切點(diǎn)不能確定的時候我們怎么辦？（解題過程略）

導(dǎo)語：同學(xué)們，把你們探究的成果交流一下.

師生活動：學(xué)生交流觀點(diǎn)、討論明辨、互啟頓悟、論證跟進(jìn);教師參與交流、收集成果、評價激勵、提煉完善.

（五）篤行溫焐：學(xué)以致用喜篤行，變式精練溫焐成

王陽明認(rèn)為“知者行之始，行者知之成”“知是行的主意，行是知的功夫”，即“知行合一”.在學(xué)生獲得頓悟后，教師要精心設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，注重基礎(chǔ)性、探究性、實(shí)踐性、綜合性的練習(xí)，體現(xiàn)有關(guān)、有用、有效、有趣，鞏固“誤中悟”的成果，將所悟及時“溫焐”，使其固化為本領(lǐng)和素養(yǎng)，即“悟之固”.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探尋“誤之霧”的歸因，探求“悟之固”的途徑，從“霧下誤”到“誤中悟”，再到“悟后焐”.技能習(xí)得應(yīng)當(dāng)“小火慢燉”即“溫焐”;訓(xùn)練要有梯度、循序漸進(jìn)，要有溫度，用心用情個性化量身定制，切忌“大火爆炒”“直通高考”.學(xué)生通過辨識、調(diào)用、遷移積累活動經(jīng)驗(yàn).辨識就是準(zhǔn)確辨析和識別問題中所包含的數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、方法并合理再現(xiàn)，準(zhǔn)確理解問題的條件和假設(shè)，將真實(shí)情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以表征.調(diào)用就是準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、事實(shí)、原理、性質(zhì)、方法等有序開展推理和運(yùn)算.遷移就是形成運(yùn)用已有知識、經(jīng)驗(yàn)、方法解決新情境問題的一般套路，獲得解決常規(guī)問題的模型.“篤行溫焐”旨在深化理解已學(xué)知識，厚積活動經(jīng)驗(yàn)，焐熟技能方法，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用遷移和問題解決能力.

【環(huán)節(jié)5】思維變通，遷移應(yīng)用

變式：已知曲線[fx=x3-2x2+x]的切線，求在原點(diǎn)O（0，0）處的切線的方程.

這個變式對例題進(jìn)行了簡單的改編，目的是讓學(xué)生通過對比，自主動手去完成，進(jìn)而體會“在某點(diǎn)處”和“過某一點(diǎn)”的不同.

師生活動：教師提供變式、組織訓(xùn)練、巡察學(xué)情、評價矯正;學(xué)生實(shí)操練習(xí)、遷移體驗(yàn)、焐熟技能、提升思維.

（六）反思務(wù)本：反思過程務(wù)根本，大道至簡悟真經(jīng)

“反思”屬于元認(rèn)知的范疇，元認(rèn)知理論認(rèn)為，反思性學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對自身學(xué)習(xí)活動的過程，以及活動過程中所涉及的相關(guān)信息、思維、結(jié)果等學(xué)習(xí)特征的反向思考.《論語·學(xué)而》中的“君子務(wù)本，本立而道生”，《學(xué)記》中的“先河而后海;或源也，或委也.此之謂務(wù)本”，說的都是這個道理.

學(xué)生經(jīng)過淺出、薄發(fā)、聚合形成創(chuàng)新意識、科學(xué)精神、文化認(rèn)同，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)生主動反思該節(jié)課的學(xué)習(xí)過程、建立知識探究框架、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、凝聚思想方法;教師在學(xué)生反思的基礎(chǔ)上對學(xué)生進(jìn)行評價指導(dǎo)，可以借助思維導(dǎo)圖工具呈現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生回溯經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，回憶結(jié)果與結(jié)論，回顧過程與方法，回味情感與價值.反思務(wù)本就是溯源導(dǎo)流、務(wù)元務(wù)本，達(dá)到深入淺出、厚積薄發(fā)進(jìn)而由厚到薄、大道至簡的境界.

【環(huán)節(jié)6】思維收斂，反思重構(gòu)

問題8：用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，步驟是：先求出函數(shù)[y=f（x）] 在點(diǎn)[x=x0]處的導(dǎo)數(shù);再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線的方程.

問題9：求在點(diǎn)P處的切線，點(diǎn)P一定是切點(diǎn);求過點(diǎn)P的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn).

導(dǎo)語：接下來，請同學(xué)們回顧在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中：

（1）學(xué)到哪些概念、結(jié)論？怎樣運(yùn)用它們解決相關(guān)問題？（結(jié)果與結(jié)論——學(xué)會）

（2）獲得這些結(jié)論經(jīng)歷了怎樣的過程？（經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)——學(xué)歷）

（3）在這個過程中，你悟出了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（思想與方法——會學(xué)）

（4）你最感興趣的是哪一點(diǎn)？（情感與價值——樂學(xué)）

師生活動：學(xué)生反思過程、觸及本質(zhì)、重新建構(gòu);教師解構(gòu)結(jié)構(gòu)、揭示本質(zhì)、評價指導(dǎo).

三、結(jié)語

理性批評主義認(rèn)為：“在通向真理的道路上，每一個錯誤都有其價值，因?yàn)榭茖W(xué)創(chuàng)造從來就升華于‘錯誤之中;同時，錯誤的發(fā)現(xiàn)與糾正也要依賴于大膽的理性批判.”以“誤中悟”方式促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展，錯誤的出現(xiàn)就暴露了學(xué)生已有認(rèn)知水平與解決問題所需認(rèn)知水平的“差距”，而“差距”的消除則標(biāo)志著認(rèn)知的發(fā)展.“誤中悟”方式倡導(dǎo)懷疑和批判精神，以錯誤中的合理成分作為教學(xué)起點(diǎn)，轉(zhuǎn)變學(xué)生“錯誤可恥”的觀點(diǎn)，使其樹立正確的“視誤觀”，培養(yǎng)求真求實(shí)的品質(zhì).教學(xué)中，尤其要注意如下五點(diǎn)。

一是教學(xué)設(shè)計(jì)一定要關(guān)注“霧區(qū)”分析和誤點(diǎn)預(yù)判，預(yù)設(shè)聚焦目標(biāo)性“大問題”的層層遞進(jìn)的子問題串，遵循目標(biāo)導(dǎo)向.

二是要及時、敏銳地捕捉錯誤，機(jī)智地利用錯誤資源，因勢利導(dǎo)，順勢而為，循天而行，隨物賦形，展開“誤中悟”，獲得精彩的課堂生成.

三是展示情境要有序、有關(guān)、有用、有益、有效，既要整體呈現(xiàn)，又要重點(diǎn)凸現(xiàn)，既要博觀全貌，又要細(xì)察一斑.在“審問疑霧”和“慎思試誤”環(huán)節(jié)中要充分利用情境資源，尋找數(shù)學(xué)線索，挖掘數(shù)學(xué)元素，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生充分看、想、發(fā)現(xiàn)、好奇、想問.美國教育家魯巴克認(rèn)為“最精湛的教學(xué)藝術(shù)所遵循的最高準(zhǔn)則就是，學(xué)生自己提出問題”.

四是“慎思試誤”一定要讓學(xué)生獨(dú)立找到解決問題的起點(diǎn)，讓學(xué)生在思維的堵點(diǎn)處迷茫與徘徊，經(jīng)歷不斷聯(lián)系、比較、試誤、調(diào)整等過程，使認(rèn)識逐步從零碎到整體、從淺表到深刻、從模糊到清晰.知識與技能的獲得必須通過“嘗試—錯誤—再嘗試”這樣一個循環(huán)的試誤過程。疑霧、試誤、頓悟邏輯相關(guān).疑霧是試誤的動機(jī)和動力，有了疑霧的心理沖突才有試誤的行為沖動;試誤是頓悟的前提，頓悟是試誤的最終結(jié)果，有了試誤的艱辛慎思、孕育蒂熟，才有頓悟的豁然明辨、自然瓜落。

五是增強(qiáng)“課堂是出錯的地方”的意識.“誤中悟”主張善待錯誤，包容錯誤，珍視錯誤，鼓勵“犯”錯誤，并化錯誤為資源，從錯誤中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中悟道，保護(hù)好奇心，發(fā)展想象力，喚醒創(chuàng)新意識.錯誤不是無情物，化作資源價更高. [□][◢]

參考文獻(xiàn)：

[1]劉奇奇，吳立寶，陳鍵.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主線分析的要素與結(jié)構(gòu)——以三角函數(shù)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（2）：1-5.

[2]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008：69.

[3]唐錄義，李巍.“誤中悟”教育方式的實(shí)驗(yàn)探索[J].中國數(shù)學(xué)教育，2019（11）：17-21.