李惠萍

2022年4月21日上午10點(diǎn)，教育部召開新聞發(fā)布會(huì)，并向大會(huì)發(fā)布和介紹新修訂的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程方案和語(yǔ)文等16門學(xué)科的課程標(biāo)準(zhǔn)。新的方案和標(biāo)準(zhǔn)將在今年秋季開始執(zhí)行?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）是教材編寫方向標(biāo)，是課堂教學(xué)改革的核心，是教學(xué)評(píng)價(jià)的主要依據(jù)。它的頒布標(biāo)志著新一輪課程改革的開始，只有真正將新課標(biāo)理念落實(shí)在平時(shí)的課堂教學(xué)中，讓我們自己的教學(xué)發(fā)生變化，讓我們的孩子發(fā)生變化，最終實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)（2022年版）》課程理念中所提出三個(gè)核心理念，即：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。

《課標(biāo)（2022年版）》在關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域之——“數(shù)與代數(shù)”的課程變化中，強(qiáng)調(diào)“整體性和一致性”，指出：對(duì)小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算”主題，在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性。在數(shù)概念教學(xué)中如何來(lái)體現(xiàn)這一理念呢？帶著這些問題，筆者帶領(lǐng)昆明市部分學(xué)校，廣泛開展了“數(shù)本質(zhì)一致性”研究，并通過義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的五節(jié)研究課，包括：一年級(jí)下冊(cè)“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”、二年級(jí)下冊(cè)“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”、三年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”、四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的意義”以及五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”來(lái)溝通數(shù)本質(zhì)一致性的研究。

一、數(shù)本質(zhì)一致性是什么？

小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)本質(zhì)研究的具體內(nèi)容包括：整數(shù)概念、小數(shù)概念和分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)研究，以現(xiàn)行人教版教材為例，具體如下表：

通過數(shù)概念教學(xué)，讓學(xué)生掌握數(shù)的意義、數(shù)的順序、數(shù)的組成和數(shù)的大小比較，而這四個(gè)方面的內(nèi)容都是以計(jì)數(shù)單位為核心進(jìn)行研究的。如數(shù)的意義教學(xué)，通過一一對(duì)應(yīng)數(shù)出物品數(shù)量后，抽象出具體的數(shù)，在形式上去掉了數(shù)量的名詞，用符號(hào)表示數(shù)，而在實(shí)質(zhì)上是舍去了事物的背景，使得數(shù)具有了一般性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。通過添一數(shù)數(shù)，數(shù)出了數(shù)的順序，產(chǎn)生了自然數(shù)數(shù)列，知道了自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，越往后面數(shù)數(shù)就越大，而在數(shù)數(shù)的過程中，由于十進(jìn)計(jì)數(shù)法的規(guī)定，產(chǎn)生了新的計(jì)數(shù)單位，有了新的計(jì)數(shù)單位，就能數(shù)出更大的數(shù)了。因此，不僅僅是“數(shù)起源于數(shù)”，而“數(shù)”是為了人們表達(dá)和刻畫現(xiàn)實(shí)世界。華羅庚所說(shuō)：大哉，數(shù)學(xué)之為用，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。宇宙之大可以用自然數(shù)來(lái)描述宏大世界，然而粒子之微，就要用到小數(shù)了。就自然數(shù)而言，依據(jù)位置值原理，一直向大處擴(kuò)下去，一個(gè)宏大的世界就可以描述了。事物總是兩面的，有宏大世界，必有微小世界，微小世界該怎樣描述呢？小數(shù)，從“1”開始依次十等分，一直分下去以至于無(wú)窮，微小世界就可以精準(zhǔn)刻畫。從應(yīng)用的角度而言，正因?yàn)樾?shù)是按照自然數(shù)的十進(jìn)制計(jì)數(shù)原則創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)，它具有十進(jìn)制自然數(shù)的所有特征，也滿足十進(jìn)制自然數(shù)的運(yùn)算法則，因而用起來(lái)十分方便。這也許就是現(xiàn)實(shí)生活中小數(shù)的應(yīng)用遠(yuǎn)比分?jǐn)?shù)廣泛的原因。

而“宇宙之大”用自然數(shù)來(lái)描述宏大世界，整數(shù)計(jì)數(shù)單位隨之形成;“粒子之微”小數(shù)的計(jì)數(shù)單位也隨之形成，用于刻畫微小的世界。小數(shù)的意義教學(xué)的重點(diǎn)不在于小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，而在于位置記數(shù)與“十進(jìn)”“十分”相同，小數(shù)并不是由分?jǐn)?shù)改寫而產(chǎn)生的，而是自然數(shù)的十進(jìn)位置值計(jì)數(shù)規(guī)則加以擴(kuò)展的結(jié)果，它是以10的N次冪為分母的分?jǐn)?shù)的另一種表示形式，是十進(jìn)制記數(shù)向相反方向衍生的結(jié)果，其本質(zhì)上就是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。小數(shù)和整數(shù)在形式上是統(tǒng)一的，小數(shù)的出現(xiàn)也使得十進(jìn)制計(jì)數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)，數(shù)的內(nèi)涵更加豐富了。

《課標(biāo)（2022年版）》將“數(shù)與運(yùn)算”作為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域一塊重要內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)中有運(yùn)算，運(yùn)算中有數(shù)，數(shù)與運(yùn)算密不可分。并對(duì)數(shù)與運(yùn)算的描述為：數(shù)與運(yùn)算包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及其四則運(yùn)算。學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的過程，理解和掌握數(shù)的概念;經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí);感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

通過研究，將數(shù)概念以“計(jì)數(shù)單位”統(tǒng)領(lǐng)思想繪制了如下的結(jié)構(gòu)圖，并清晰表達(dá)出整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，便于老師們?cè)诮虒W(xué)研究中使用。

通過右面結(jié)構(gòu)圖不難看出，數(shù)本質(zhì)一致性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，另一方面數(shù)是對(duì)計(jì)數(shù)單位多少的表達(dá)。

二、整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)教學(xué)如何體現(xiàn)數(shù)本質(zhì)一致性？

1.在數(shù)的意義學(xué)習(xí)中，滲透“十進(jìn)制思想”，打通數(shù)本質(zhì)一致性

十進(jìn)制：是當(dāng)今世界各國(guó)通用的記數(shù)進(jìn)位制。在計(jì)數(shù)時(shí)，每相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率都是十，即逢十進(jìn)一的法則，也稱十進(jìn)位置制。

“十進(jìn)制思想”包含了整數(shù)數(shù)概念、小數(shù)數(shù)概念關(guān)于“數(shù)位、計(jì)數(shù)單位、數(shù)的組成、數(shù)的數(shù)序”的基本知識(shí)，把“十進(jìn)制思想”在一年級(jí)就很好培養(yǎng)起來(lái)，更好地建立數(shù)感，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)，為后續(xù)小數(shù)的學(xué)習(xí)以及整數(shù)、小數(shù)的運(yùn)算有著非常重要的意義。那么，對(duì)于剛?cè)雽W(xué)的一年級(jí)小朋友是否具有十進(jìn)制思想，我們?cè)趯W(xué)習(xí)“10的認(rèn)識(shí)”前進(jìn)行了前測(cè)。

測(cè)查一：用小棒表示10？

從這一前測(cè)情況來(lái)看，結(jié)果顯示孩子對(duì)“1捆小棒”表示“1個(gè)十”的模型完全缺乏學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，頭腦里沒有概念，只清楚用10根小棒的數(shù)量表示10的基數(shù)意義。因此，讓孩子經(jīng)歷“1捆小棒”形成的模型，理解“10個(gè)一就是1個(gè)十”是孩子學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

測(cè)查二：在計(jì)數(shù)器上撥出10？

從這一前測(cè)情況來(lái)看，說(shuō)明孩子基本了解個(gè)位和十位的數(shù)位概念，但對(duì)數(shù)位表示的意義比較模糊，特別對(duì)十進(jìn)制思想缺少認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。所以，掌握數(shù)位的意義、知道“滿十進(jìn)一”，這是孩子學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

通過前測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在讀數(shù)、寫數(shù)、熟練程度與對(duì)數(shù)意義的理解程度有著較大的反差，說(shuō)明學(xué)生在認(rèn)數(shù)的過程中存在著較大的認(rèn)知缺失。一個(gè)一個(gè)或幾個(gè)幾個(gè)數(shù)，這種缺失十進(jìn)制思想對(duì)后續(xù)繼續(xù)認(rèn)識(shí)較大的數(shù)以及小數(shù)，學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)運(yùn)算都有著重要的影響。10的認(rèn)識(shí)繼續(xù)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)概念的形成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象思想。0-9的數(shù)概念教學(xué)主要從基數(shù)含義、認(rèn)讀寫、數(shù)的順序、序數(shù)含義、大小比較、組成這幾個(gè)方面加以認(rèn)識(shí)，10的認(rèn)識(shí)繼續(xù)鞏固前面所學(xué)知識(shí)點(diǎn)。而10的認(rèn)識(shí)編排與0-9的認(rèn)識(shí)又有本質(zhì)的不同：一是突出十進(jìn)位值制這一核心概念，涉及計(jì)數(shù)單位“一”和“十”，數(shù)位“個(gè)位”和“十位”，十進(jìn)制“10個(gè)一就是1個(gè)十”，為后續(xù)教學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);二是10是學(xué)生認(rèn)識(shí)的第一個(gè)兩位數(shù)，它的寫法和前面認(rèn)識(shí)的數(shù)不同：它不再是用一個(gè)新的符號(hào)來(lái)表示，而是用前面所學(xué)的“1”和“0”這兩個(gè)數(shù)字符號(hào)組合起來(lái)。

整數(shù)學(xué)習(xí)中的“十進(jìn)制思想”對(duì)于小數(shù)的學(xué)習(xí)具有較好的遷移作用。小數(shù)和整數(shù)在形式上的統(tǒng)一，使得十進(jìn)制計(jì)數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到了小數(shù)，數(shù)的內(nèi)涵更加豐富了。

2.在數(shù)的組成學(xué)習(xí)中，滲透“位置制思想”，打通數(shù)本質(zhì)一致性

位置制：用阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)時(shí)，每個(gè)數(shù)字所在的位置不同，表示所含的計(jì)數(shù)單位就不同，每個(gè)數(shù)字除了它本身所表示的數(shù)值以外，還有位置值，這就是記數(shù)的位置原則。“位置制”思想的滲透，不僅可以很好地幫助學(xué)生理解“數(shù)是對(duì)計(jì)數(shù)單位多少的表達(dá)”，而對(duì)于后續(xù)計(jì)算教學(xué)中算理的理解也至關(guān)重要。例如：

按照數(shù)組成的位置原理，三位數(shù)乘一位數(shù)的運(yùn)算，其算理就是三位數(shù)組成計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)多少的運(yùn)算。

因此，在整數(shù)數(shù)概念的教學(xué)中，教材在編排上力求通過多種模型圖幫助學(xué)生建立“位置制思想，了解數(shù)的組成實(shí)際是對(duì)計(jì)數(shù)單位多少的表達(dá)。如下圖所示：

3.在計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)中，溝通計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)數(shù)概念，打通數(shù)本質(zhì)一致性

《課標(biāo)（2022年版）》指出：教材中課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)應(yīng)凸顯相應(yīng)知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，例如：在小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算”的內(nèi)容編寫中，數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算均要以“計(jì)數(shù)單位”作為核心要素統(tǒng)領(lǐng)。華羅庚對(duì)于“宇宙之大，粒子之微”的描述，深刻刻畫了整數(shù)和小數(shù)計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生。

“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師抓出一把珠子，先讓學(xué)生估一估珠子的數(shù)量，然后借助數(shù)數(shù)神器（百格板）讓學(xué)生知道10個(gè)一排來(lái)數(shù)，數(shù)得更快，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。填滿1格，就是1，填滿1行剛好是10顆珠子，10個(gè)一是十，整塊板一共有10行，也就是10個(gè)十，合起來(lái)是100，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，感受100是更大的數(shù)。在學(xué)生利用“百格計(jì)數(shù)板”數(shù)數(shù)的過程還可以明顯地看出學(xué)生先前是以“一”為計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)，而當(dāng)發(fā)現(xiàn)一行有10顆珠子后，就以“十”為計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)更加方便、快捷，感受到了運(yùn)用計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)的價(jià)值，在以“十”為計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)中，得到了“百”這個(gè)計(jì)數(shù)單位，因此，就能得到比100更大的數(shù)了。為了體現(xiàn)用更大的數(shù)能刻畫自然世界，教師提問：還有比100更大的數(shù)嗎？引出數(shù)軸箭頭。箭頭和省略號(hào)的出現(xiàn)為學(xué)習(xí)新的計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位疊加得到一個(gè)更大的自然數(shù)提供了肥沃的土壤。隨著計(jì)數(shù)數(shù)量的增加，數(shù)級(jí)從低位向高位擴(kuò)展，自然數(shù)的認(rèn)識(shí)便是從10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，到20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，到100以內(nèi)數(shù)，到千以內(nèi)的數(shù)、萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)、億以的內(nèi)數(shù)、億以上的數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷擴(kuò)充下去，以至于無(wú)窮，因此，“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”是計(jì)數(shù)單位價(jià)值認(rèn)識(shí)的開篇課，老師們斷不可掉以輕心。

計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)數(shù)概念教學(xué)過程就是計(jì)數(shù)單位生長(zhǎng)的過程，首先便是引出計(jì)數(shù)單位（因計(jì)數(shù)、測(cè)量和運(yùn)算的需要而產(chǎn)生），進(jìn)而通過數(shù)意義的教學(xué)，感受計(jì)數(shù)單位的疊加便產(chǎn)生新的數(shù)。教學(xué)中應(yīng)體驗(yàn)計(jì)數(shù)單位的價(jià)值，通過計(jì)數(shù)單位打通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的關(guān)聯(lián)，感悟數(shù)都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的疊加。如，在教學(xué)“小數(shù)的意義”時(shí)可以提問：整數(shù)有計(jì)數(shù)單位，小數(shù)有計(jì)數(shù)單位嗎？在教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)可以提問：整數(shù)和小數(shù)都有計(jì)數(shù)單位，分?jǐn)?shù)有計(jì)數(shù)單位嗎？用計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)數(shù)概念的教學(xué)。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都是以“1”為標(biāo)準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上，不斷地累加就是自然數(shù);以“1”為標(biāo)準(zhǔn)平均分成若干份后，就產(chǎn)生不同的分?jǐn)?shù);其中均分成10份、100份、1000份……就是小數(shù)。整數(shù)和小數(shù)，通過“1”關(guān)聯(lián)統(tǒng)一到一個(gè)數(shù)位順序表上。（如右圖）

如果說(shuō)整數(shù)概念的學(xué)習(xí)在數(shù)數(shù)中建立計(jì)數(shù)單位，那小數(shù)數(shù)概念和分?jǐn)?shù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，建立在生產(chǎn)和生活中的測(cè)量中，當(dāng)?shù)貌坏秸麛?shù)“1”的結(jié)果時(shí)，就要把“1”進(jìn)行10份10份地分下去，得到了小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，由于小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的特殊形式，因而在這樣的細(xì)分中，得到了一位小數(shù)、兩位小數(shù)……“小數(shù)意義”的學(xué)習(xí)是整個(gè)小學(xué)階段小數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)門課，在打通數(shù)概念教學(xué)本質(zhì)上的一致性至關(guān)重要。教學(xué)中，教師首先關(guān)聯(lián)整數(shù)的計(jì)數(shù)單位，對(duì)比設(shè)疑，引出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，通過對(duì)三年級(jí)學(xué)習(xí)“米制系統(tǒng)”一位小數(shù)的意義，提出“剛才我們得不到1米時(shí)，就把1米等分成10份，用分米來(lái)表示，如果不能得到整分米的時(shí)候我們就繼續(xù)把1分米平均分成10份，用厘米來(lái)表示，如果還不能得到整厘米數(shù)就要等分成毫米來(lái)表示;如果還不能得到整毫米數(shù)呢……引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)等分下去，感受越分越小，順勢(shì)介紹更小的單位——納米。引導(dǎo)學(xué)生在讀“1納米等于一百萬(wàn)分之一毫米”的感受中體會(huì)華羅庚提出的“粒子之微”，而這樣不斷細(xì)分下去，更小的小數(shù)單位形成，微小的世界就能得以刻畫。因此，“小數(shù)意義”的學(xué)習(xí)，只有結(jié)合具體“米制系統(tǒng)”，感受等分越來(lái)越小，長(zhǎng)度單位就越小，才能更好幫助學(xué)生抽象出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位而理解小數(shù)的含義，通過不斷地推理抽象小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，感受小數(shù)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的疊加能產(chǎn)生新的小數(shù)。

對(duì)于“分?jǐn)?shù)意義”中分?jǐn)?shù)單位的學(xué)習(xí)就能從小數(shù)計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生中進(jìn)行關(guān)聯(lián)，感受分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生和小數(shù)產(chǎn)生的一致性，理解分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的疊加能得到一個(gè)新的分?jǐn)?shù)，感受“計(jì)數(shù)單位”統(tǒng)領(lǐng)數(shù)概念的本質(zhì)。

用“計(jì)數(shù)單位”做數(shù)概念教學(xué)的統(tǒng)領(lǐng)，建立數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立過程實(shí)際上是兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成過程，只有我們教師在數(shù)本質(zhì)一致性上做好研究，才能在“雙減”的大背景下，提高課堂教學(xué)效率，真正做到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地。

【注：本成果系人民教育出版社課程研究所課題研究成果。課題名稱：小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成及評(píng)價(jià)策略研究。課題批準(zhǔn)號(hào)：KC2021-022?！?/p>