徐峰

一、學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性

方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程（組）、可化為一元一次方程的分式方程等知識，感受了方程模型的作用和價值，也積累了一些利用方程解決實際問題的經(jīng)驗。一元二次方程實際上是以前學(xué)過的方程知識的延續(xù)和深化。下面，我們通過具體例子來感受一下一元二次方程與之前學(xué)習(xí)的方程的聯(lián)系及區(qū)別。

例1 如圖，矩形花圃一面靠墻，另外三面由柵欄圍成。

（1）若柵欄總長度為19m，長比寬多4m，求圍成的矩形面積。

（2）若圍成的矩形長比寬多4m，面積為45m2，求柵欄總長度。

（3）若圍成的矩形面積為45m2，柵欄總長度為19m，求長比寬多多少。

【分析】很顯然，這三個問題圍繞“柵欄總長度、矩形的面積及長與寬的關(guān)系”三者設(shè)置，典型的“知2求1”問題。對于問題（1），可以直接列出算式，得寬為（19-4）÷3=5，從而面積為5×（5+4）=45;還可以設(shè)AB=x，則BC=x+4，可列方程2x+（x+4）=19，解得x=5，再得出面積。從解決問題的過程來看，可以列算式解決，也可以用一元一次方程解決。這里再一次感受“能用一元一次方程解決的問題都可以用列算式的方法解決”，而用方程來解決問題顯得更簡潔明了，那是因為未知數(shù)參與了運算。

對于問題（2），設(shè)寬AB=x，則BC=x+4，可列方程x（x+4）=45。對于這個不熟悉的方程暫且可不解，但借助因式分解的知識，大多數(shù)同學(xué)可以得到x=5或x=-9（舍去）。

對于問題（3），設(shè)AB=x，接下來有兩種方法解決。

方法1：由柵欄總長度為19，可表示出BC=19-2x，可得方程x（19-2x）=45。

方法2：由面積為45，可表示出BC=[45x]，可得方程2x[+45x]=19。

這兩個方程暫且都不求解。

【點評】上述三個問題都是基于長與寬的關(guān)系、柵欄總長度、面積三者而設(shè)置，符合人們對實際問題的認知規(guī)律。三個問題的解決過程，都是利用前面學(xué)習(xí)的用方程解決問題的基本經(jīng)驗，即：

問題（1）列出的是一元一次方程，而問題（2）、問題（3）列出來的是一元二次方程或可化為一元二次方程的分式方程。雖然列出的方程不熟悉，但在解決問題過程中借鑒了已有的解決問題的經(jīng)驗，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識與方法的一脈相承。

二、一元二次方程的解法

問題（2）和問題（3）中分別出現(xiàn)了一元二次方程x（x+4）=45和x（19-2x）=45，可分別將其化為一般式，得x2+4x-45=0和-2x2+19x-45=0，如何解這類方程呢？我們必須學(xué)習(xí)一元二次方程的4種主要解法：直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法。對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），究竟選擇哪種解法更合適呢？

①b=0時，宜用直接開平方法;②c=0時，宜用因式分解法，其本質(zhì)是降次;③[ba]為偶數(shù)時，可選用配方法，也可用公式法;④公式法為通用方法，可解任何一元二次方程。我們可結(jié)合系數(shù)特征選用合適的解法，如x2+4x-45=0既可用配方法，也可用公式法，還可以用因式分解法。同學(xué)們可以自己先嘗試用不同的解法來感受，再試一試-2x2+19x-45=0的不同解法。

三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

由于一元二次方程的求根公式是用方程的系數(shù)a、b、c來表達的，即x1=[-b+b2-4ac2a]，x2=[-b-b2-4ac2a]，所以根與系數(shù)有天然的聯(lián)系。

在探索含x1、x2的代數(shù)式與系數(shù)關(guān)系時，應(yīng)該有無數(shù)種可能的情況，如x1+x2，2x1+x2，x1+2x2，x12+x2，x1+x22，x1x2，……那么為什么偏偏只研究x1+x2和x1x2呢？究其原因，是由于求根公式中x1、x2互為有理化因式，而兩數(shù)和與兩數(shù)積的形式，也是我們七年級學(xué)習(xí)乘法公式時頻繁遇見的老面孔，即a+b、a-b、ab以及a2-b2的“知2求2”問題。

綜上，在無數(shù)個含x1、x2的代數(shù)式中，x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]這兩個式子不僅結(jié)果簡潔明了，還兼有承上啟下之功，是數(shù)學(xué)之美的一種體現(xiàn)。

當(dāng)然，我們還可以借助方程的根的定義去理解根與系數(shù)的關(guān)系。

設(shè)方程ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1、x2，則方程可化為a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0。對比系數(shù)，得-a（x1+x2）=b，ax1x2=c，即x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。特別地，當(dāng)a=1時，x1+x2=-b，x1x2=c。

例2 關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根。

（1）求m的取值范圍;

（2）若x1、x2是x2+2x+2m=0的兩個根，且x12+x22=8，求m的值。

【分析】（1）由判別式大于0，即可解決問題。

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式變形代入即可。

解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴b2-4ac>0，即4-8m>0，

解得m<[12]。

故m的取值范圍為m<[12]。

（2）由根與系數(shù)關(guān)系，得

x1+x2=-2，x1x2=2m。

∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4-4m=8，

∴m=-1。

四、一元二次方程的應(yīng)用

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是為解決實際問題服務(wù)的。從本章內(nèi)容來看，也是基于這一目的展開的。我們經(jīng)歷了建立模型、學(xué)習(xí)概念、探究原理、知識應(yīng)用這一完整的學(xué)習(xí)過程，這既是知識發(fā)生發(fā)展的過程，也是我們探究新知的一般思路。分析問題、解決問題的策略在學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程時已充分熟知了。因此，用一元二次方程解決實際問題，其本質(zhì)還是用未知量參與運算，是用方程解決問題的又一特例而已。

在本章中，我們應(yīng)充分感受到一元一次方程與一元二次方程的形成區(qū)別：一次方程為含未知數(shù)的一次項加一次項，可表達為A+B=C的形式;二次方程為含未知數(shù)的一次項乘一次項，可表達為A×B=C的形式。理解了這一點，本章中常見的平均增長率、每……每、利潤、形積等問題的解決也就不難了。

（作者單位：江蘇省南京市求真中學(xué)）