陳奕含
一元二次方程是初中階段所學的最后一類方程。其獨有的二次結(jié)構(gòu)特征、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等內(nèi)容,讓它成為中考命題的熱點。下面就選取近幾年中考中出現(xiàn)的新題型加以分析,幫助同學們抓住題目的本質(zhì)特征,以不變應萬變。
一、正解錯題型
例1 (2021·貴州遵義)在解一元二次方程x2+px+q=0時,小紅看錯了常數(shù)項q,得到方程的兩個根是-3、1。小明看錯了一次項系數(shù)p,得到方程的兩個根是5、-4。則原來的方程是()。
A.x2+2x-3=0
B.x2+2x-20=0
C.x2-2x-20=0
D.x2-2x-3=0
【分析】題中兩人都分別看錯了方程中的一部分,得到了兩個根。結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,可以得到?jīng)]看錯的正確的系數(shù),問題便迎刃而解。
解:因為小紅看錯了q,但沒看錯p,所以得到兩根之和=(-3)+1=-2=-p。
因為小明看錯了p,但沒看錯q,所以得到兩根之積=5×(-4) =-20=q。
解得p=2,q=-20。
故選B。
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a、b、c為常數(shù),a≠0)的兩根時,x1+x2=[-ba],x1x2=[ca]。抓住題目中的不變量——沒看錯的系數(shù),即可轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題進行求解。
二、降次轉(zhuǎn)化型
例2 (2022·四川內(nèi)江)已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2-2x+k-1=0的兩實數(shù)根,且[x2x1]+[x1x2]=x12+2x2-1,則k的值為。
【分析】根據(jù)x1、x2是一元二次方程x2-2x+k-1=0的兩實數(shù)根,可知x1+x2=2,x1x2=k-1。因為x1是方程的根,所以x12-2x1+k-1=0,然后就可以用只含有x1的一次項的代數(shù)式表示x12。把[x2x1][+x1x2]=x12+2x2-1進行變形:左邊通分,右邊降次,再整體代入x1+x2、x1x2即可得解。最后,我們不要忘記檢驗求出的k值是否符合題意。
【解答】∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2-2x+k-1=0的兩實數(shù)根,
∴x1+x2=2,x1x2=k-1,
x12-2x1+k-1=0。
∴x12=2x1-k+1。
∵[x2x1][+x1x2]=x12+2x2-1,
∴[(x1+x2)2-2x1x2x1x2]=2(x1+x2)-k。
∴[22-2(k-1)k-1]=4-k。
解得k=2或k=5。
當k=2時,關(guān)于x的方程為x2-2x+1=0,b2-4ac=0,符合題意;
當k=5時,關(guān)于x的方程為x2-2x+4=0,b2-4ac=-12<0,方程無實數(shù)解,不符合題意。
∴k=2。
【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,從而得出x1+x2=2,x1x2=k-1。由于已知等式右邊包含單獨一個根的平方形式,可根據(jù)方程解的定義將x12降次,轉(zhuǎn)化成x1+x2的形式。再用整體代入法得到關(guān)于k的方程,進而完成求解。最后,我們一定要注意,只要是求一元二次方程中未知系數(shù)的值,一定要將該系數(shù)代入原方程檢驗是否有實數(shù)根。
三、分類討論型
例3 (2020·山東菏澤)等腰三角形的一邊長是3,另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2-4x+k=0的兩個根,則k的值為()。
A.3B.4C.3或4 D.7
【分析】已知等腰三角形的一邊長是3,可以作為等腰三角形的腰,也可以作為底邊,需要分類討論。當3為腰長時,將x=3代入原一元二次方程得k的值;當3為底邊長時,利用等腰三角形的性質(zhì)可知原方程將擁有兩個相等的實數(shù)根,即判別式b2-4ac=0,從而得出k值。兩種情況得到的k值都必須帶回原方程求出方程的解,并判斷三邊是否能組成三角形。
解:(1) 當3為腰長時,將x=3代入x2-4x+k=0,
得32-4×3+k=0,解得k=3。
當k=3時,原方程為x2-4x+3=0。
解得x1=1,x2=3。
此時三邊長為1、3、3,能構(gòu)成三角形,符合題意。
(2) 當3為底邊長時,關(guān)于x的方程x2-4x+k=0有兩個相等的實數(shù)根,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×k=0,
解得k=4。
當k=4時,原方程為x2-4x+4=0。
解得x1=x2=2。
此時三邊長為2、2、3,能構(gòu)成三角形,符合題意。
綜上所述,k的值為3或4。
故選C。
【點評】本題通過等腰三角形的性質(zhì)為切入口進行分類討論,主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解。需要注意,與三角形三邊長相關(guān)的問題,最后一定要用三角形三邊關(guān)系來驗證是否能構(gòu)成三角形。
四、數(shù)形結(jié)合型
例4 (2019·寧夏)你知道嗎,對于一元二次方程,我國古代數(shù)學家還研究過其幾何解法呢!以方程x2+5x-14=0即x(x+5)=14為例加以說明。數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是:構(gòu)造圖(如圖1)中大正方形的面積是(x+x+5)2,其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積,即4×14+52,據(jù)此易得x=2。那么在圖2的三個構(gòu)圖(矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點上)中,能夠說明方程x2-4x-12=0的正確構(gòu)圖是 _______ 。(只填序號)
【分析】仿照題中的案例,x2-4x-12=0要正確構(gòu)圖,得先變形為x(x-4)=12。所以構(gòu)造的大正方形的邊長為x+x-4,外側(cè)的4個矩形長、寬分別是x和x-4,中間的小正方形的邊長是4。通過大正方形面積的兩種表示方式得出x的值,即可得解。
解:∵x2-4x-12=0,即x(x-4)=12,
∴構(gòu)造如圖2②中大正方形的面積是(x+x-4)2,它中間的小正方形邊長為4。
又∵大正方形的面積也等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積,即4×12+42,
∴有(x+x-4)2=4×12+42。
解得x=6。
答案為②。
【點評】本題通過數(shù)形結(jié)合的方式,考查了一元二次方程的應用。運用類比的方法,構(gòu)造出合適的大正方形是解題的關(guān)鍵。
(作者單位:江蘇省南京市第二十九中學初中部)