萬廣磊

法國數(shù)學家韋達（F. Vieta，1540—1603）第一次有意識地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號，以輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推進了方程論的發(fā)展，使代數(shù)成為一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應用更為廣泛，被稱為“代數(shù)符號之父”。

在研究一元二次方程的解法時，他發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間存在的特殊關系，也就是我們學習的“韋達定理”。有趣的是，韋達在16世紀就發(fā)現(xiàn)了這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論證。

下面我們用兩種方法證明。

證法一：

∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，

∴當b2-4ac≥0時，x1=[-b+b2-4ac2a]，x2=[-b-b2-4ac2a]。

x1+x2=[-b+b2-4ac2a][+-b-b2-4ac2a]=[-2b+b2-4ac-b2-4ac2a]=[-2b2a]=[-ba]，

x1·x2=[-b+b2-4ac2a]·[-b-b2-4ac2a]=[-b2-b2-4ac24a2]=[b2-b2-4ac4a2]=[4ac4a2]=[ca]。

證法二：

關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）有兩個實數(shù)根分別為x1、x2，

將等式的左邊進行因式分解，得

ax2+bx+c=a（x-x1）·（x-x2）。

進一步化簡等式右邊，得

ax2+bx+c=ax2-a（x1+x2）x+ax1·x2。

對比等式兩邊，可得

-a（x1+x2）=b，ax1·x2=c。

∴x1+x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。

同學們，你還有其他的證明方法嗎？請大膽挑戰(zhàn)一下，寫下來。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）