萬廣磊
法國數(shù)學家韋達(F. Vieta,1540—1603)第一次有意識地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號,以輔音字母表示已知量,元音字母表示未知量,推進了方程論的發(fā)展,使代數(shù)成為一般類型的形式和方程的學問,因其抽象而應用更為廣泛,被稱為“代數(shù)符號之父”。
在研究一元二次方程的解法時,他發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間存在的特殊關系,也就是我們學習的“韋達定理”。有趣的是,韋達在16世紀就發(fā)現(xiàn)了這個定理,證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理,而代數(shù)基本定理卻在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論證。
下面我們用兩種方法證明。
證法一:
∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0)的兩個實數(shù)根分別為x1、x2,
∴當b2-4ac≥0時,x1=[-b+b2-4ac2a],x2=[-b-b2-4ac2a]。
x1+x2=[-b+b2-4ac2a][+-b-b2-4ac2a]=[-2b+b2-4ac-b2-4ac2a]=[-2b2a]=[-ba],
x1·x2=[-b+b2-4ac2a]·[-b-b2-4ac2a]=[-b2-b2-4ac24a2]=[b2-b2-4ac4a2]=[4ac4a2]=[ca]。
證法二:
關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0)有兩個實數(shù)根分別為x1、x2,
將等式的左邊進行因式分解,得
ax2+bx+c=a(x-x1)·(x-x2)。
進一步化簡等式右邊,得
ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1·x2。
對比等式兩邊,可得
-a(x1+x2)=b,ax1·x2=c。
∴x1+x2=[-ba],x1·x2=[ca]。
同學們,你還有其他的證明方法嗎?請大膽挑戰(zhàn)一下,寫下來。
(作者單位:江蘇省南京市鼓樓實驗中學)