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        均值平方差法解一元二次方程

        2022-05-30 10:48:04三石
        初中生世界·九年級(jí) 2022年9期
        關(guān)鍵詞:解題方法

        三石

        一元二次方程是古人在數(shù)學(xué)探索中的重要成就之一,其歷史可以追溯到遙遠(yuǎn)的古巴比倫時(shí)期。在超過(guò) 4000 年的歷史中,不少著名數(shù)學(xué)家都“重新發(fā)現(xiàn)”了其求解方法。

        大家都知道,配方法是解一元二次方程的基本方法,在此基礎(chǔ)上拓展延伸,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,我們發(fā)現(xiàn)一種新的方法——均值平方差法。這種方法在計(jì)算上是輕量級(jí)的,解題原理的理解也是順應(yīng)自然的,會(huì)讓求解過(guò)程變得不再困難。

        這個(gè)“均值平方差法”的解題原理及過(guò)程如下:

        對(duì)于x2+bx+c=0,將等式的左邊進(jìn)行因式分解,可得x2+bx+c=(x-m)·(x-n),可得方程的根為x1=m,x2=n,即x2+bx+c=x2-(m+n)x+mn,所以m+n=-b,mn=c,那么可以確定m、n的平均數(shù)為[-b2]。不妨設(shè)m=[-b2]+t,n=[-b2]-t。再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可知x1·x2=mn=c,所以([-b2]+t)·([-b2]-t)=c,即([-b2])2-t2=c,可求出t的值。最后,直接代入t值求得該方程的兩個(gè)根m、n。

        舉例如下:解一元二次方程x2-2x-4=0。由于方程的兩根之和為2,積為-4,所以可得[-b2]=1。設(shè)方程的兩個(gè)根為1±p,而12-p2=-4,解得p=±[5],所以原方程的根為x1=1+[5],x2=1-[5]。

        這個(gè)方法對(duì)于方程的無(wú)理數(shù)根和虛數(shù)根都適用,是華裔數(shù)學(xué)家羅博深在2019年發(fā)現(xiàn)的。他的研究領(lǐng)域包含離散系統(tǒng)、概率論和計(jì)算機(jī)科學(xué)交叉領(lǐng)域等方向,他還是免費(fèi)個(gè)性化學(xué)習(xí)平臺(tái)expii.com的創(chuàng)始人。

        感興趣的同學(xué)可以嘗試運(yùn)用這個(gè)方法解下列方程:

        ①x2-2[3]x-4=0;? ②3x2-[11]x+[12]=0。

        (作者單位:江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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