劉永鑫

一、關(guān)注學(xué)法：怎樣研究規(guī)律

【教學(xué)片段一】

師：要想學(xué)習(xí)2、5的倍數(shù)特征，我們應(yīng)該怎樣去學(xué)呢？

生1：找出2、5倍數(shù)的特征有什么規(guī)律。

師：你的意思是先找出2、5的倍數(shù)，我們先以一個(gè)數(shù)為例，比如5，找5的倍數(shù)特征。我們手中有一個(gè)表格，1～100的表格，它就叫“百數(shù)表”。想研究5的倍數(shù)，你想怎么做？

生2：先從表里找出5的倍數(shù)。

師：找出來(lái)后，下一步你要干什么？

生3：把5和2的倍數(shù)找出來(lái)后，再摸索它們的規(guī)律。

師：他用了一個(gè)很好的詞——摸索。我們慢慢地去發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律，摸索一下5的倍數(shù)有什么規(guī)律。

【賞析】上課伊始，孫老師以一個(gè)大問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考，滲透研究學(xué)習(xí)的方法，把探究的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生決定研究的方向——尋找、觀察、發(fā)現(xiàn)。簡(jiǎn)單質(zhì)樸的引入，卻能為后續(xù)更深層次的研究做好鋪墊。

二、探索規(guī)律：5的倍數(shù)特征是什么

【教學(xué)片段二】

師：說(shuō)一說(shuō)我們找到5的倍數(shù)都有哪些？

生1：5的倍數(shù)有第一排的第5個(gè)，就是5，然后10、15……

師：誰(shuí)能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、簡(jiǎn)單的話(huà)說(shuō)一下。

生2：依次加5。

師：怎樣才能把5的倍數(shù)一下都說(shuō)全了？

生3：第5列和第10列的全部。

師：他用了數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的一個(gè)詞“列”，5的那一列和10的那一列都是5的倍數(shù)。接下來(lái)該進(jìn)行我們的第二步——找規(guī)律，看看你們都找到了什么規(guī)律。剛才有同學(xué)說(shuō)依次加5，5到10，45到50，我們橫著看，從小加到大是依次加5，當(dāng)我們的角度不同的時(shí)候帶來(lái)的結(jié)果就會(huì)不同。還有沒(méi)有其他的規(guī)律？

生4：豎著都是加10。

師：他還關(guān)注到了每次加10，5到15……受這個(gè)啟發(fā)，如果我們跳著看呢？跳一個(gè)每次加10，跳兩個(gè)呢？加20，還有不同的嗎？

生5：第5列個(gè)位都是5，第10列個(gè)位都是0。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了5的倍數(shù)具有這樣的特征，想一想我們都發(fā)現(xiàn)了什么特征呢？橫著看加5，豎著看加10，個(gè)位都是5或者是0。我們把5的特征研究完了?？伎寄?，1037是不是5的倍數(shù)？

生6：不是，它跟我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不同，個(gè)位不是5或0。

師：她應(yīng)用了我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。為什么不應(yīng)用依次加5的規(guī)律呢？

師：如果我們一直加5是不是也能試出來(lái)？只是太麻煩了，數(shù)學(xué)要追求簡(jiǎn)潔。125是不是5的倍數(shù)？

生7：是，因?yàn)閭€(gè)位是5。

師：你為什么不用加10加10的規(guī)律判斷呢？從百數(shù)表中95開(kāi)始加，加到125，和剛才加5的規(guī)律來(lái)判斷哪個(gè)更簡(jiǎn)單呀？

【賞析】5的倍數(shù)易找但規(guī)律多，在探索過(guò)程中孫老師適時(shí)地介入，進(jìn)行追問(wèn)、提示，幫助學(xué)生開(kāi)展對(duì)5的倍數(shù)規(guī)律的探索。孫老師追問(wèn)學(xué)生怎樣能把5的倍數(shù)說(shuō)全，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去觀察5的倍數(shù)規(guī)律，得到了幾種不同思維層次的規(guī)律，再以各種正、反例引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)更為一般、本質(zhì)的規(guī)律。

三、由表及里：從是什么到為什么

【教學(xué)片段三】

師：我們發(fā)現(xiàn)了5的倍數(shù)特征，你們都同意嗎？我不同意！剛才我們的研究是借助百數(shù)表，只研究了100個(gè)數(shù)，100個(gè)數(shù)后面的你們研究了嗎？我只舉了2個(gè)100后面的數(shù)，所以現(xiàn)在我們說(shuō)5的倍數(shù)特征是個(gè)位是0或5，只能說(shuō)是100以?xún)?nèi)的，100以外的你們看都沒(méi)看。那我們要追問(wèn)自己一句——都是這樣嗎？后面這些數(shù)都這樣嗎？得自己舉一些例子試一試。

生1：我舉的例子是1245，用它除以5，還沒(méi)算完。

師：1245除以5得249，正好除盡，是5的倍數(shù)。

生2：110是5的倍數(shù)也是2的倍數(shù)。

師：怎么判斷的？

生2：個(gè)位是0，110÷5=22，是5的倍數(shù)。

生3：12027不是5的倍數(shù)。

師：要驗(yàn)證5的倍數(shù)特征，不僅僅要驗(yàn)證是5的倍數(shù)的那些數(shù)，還要驗(yàn)證反例，那現(xiàn)在我們可以認(rèn)可這個(gè)結(jié)論了，有不同意的嗎？我不同意！

生4：我們只舉了一些例子，還有其他的數(shù)。

師：當(dāng)我們不能把所有的數(shù)都舉完的情況下，怎樣能夠驗(yàn)證呢？研究數(shù)學(xué)得到一個(gè)結(jié)論后，要追問(wèn)自己一句為什么。這一個(gè)數(shù)前面有這么多位你們都不看，為什么就看個(gè)位就完了？同學(xué)之間可以商量一下！

生5：因?yàn)榍懊娴臄?shù)除以5沒(méi)有余數(shù)，再加上個(gè)位上的5或0都是5的倍數(shù)。

師：還有別的方法嗎？

生6：110，前面的數(shù)已經(jīng)是整十了，不用看。

師：他的想法是對(duì)的，比如3□，不管個(gè)位，先看30。1個(gè)十、2個(gè)十、3個(gè)十是5的倍數(shù)，這個(gè)時(shí)候我們?cè)摽磦€(gè)位了，這時(shí)個(gè)位是1的數(shù)是5的倍數(shù)嗎？2、3、4、5呢？可以了，因?yàn)榍懊媸?的倍數(shù)，后面也是5的倍數(shù)，合起來(lái)肯定是5的倍數(shù)，6、7、8、9、10呢？當(dāng)滿(mǎn)10向前進(jìn)1，也是整十，就是5的倍數(shù)了。

【賞析】第一個(gè)“不同意”，追問(wèn)5的倍數(shù)都是這樣嗎？從百數(shù)表內(nèi)到百數(shù)表外，并且驗(yàn)證時(shí)需用到正例和反例，初步感知合情推理中的不完全歸納法。第二個(gè)“不同意”，在不能把數(shù)窮舉之下，如何驗(yàn)證？從合情推理導(dǎo)向感知演繹推理，整十?dāng)?shù)都是5的倍數(shù)，所以只需要看個(gè)位即可。孫老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)特征后，還進(jìn)一步追根溯源，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的觀察—猜想—舉例—驗(yàn)證的過(guò)程，知其然且知其所以然。

四、方法遷移：2的倍數(shù)有什么特征

【教學(xué)片段四】

師：2的倍數(shù)特征應(yīng)該怎樣研究？回憶一下剛才研究5的倍數(shù)特征時(shí)，我們應(yīng)該干什么？第一步，找出2的倍數(shù)，用○圈起來(lái)。第二步，發(fā)現(xiàn)了什么？第三步，嘗試100以外的數(shù)對(duì)不對(duì)，都這樣嗎？第四步，為什么？

生1：2的倍數(shù)有2、4、6……

師：豎著說(shuō)更簡(jiǎn)單一點(diǎn)，2的這一列，還有……接下來(lái)第二步，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：2的倍數(shù)個(gè)位都是2、4、6、8、0。

師：第三步該做什么？

生3：舉些例子去證明它。

生4：192。

師：是不是2的倍數(shù)，算了嗎？結(jié)果是？

……

師：為什么我們只看個(gè)位？

生5：因?yàn)榧由虾竺?、4、6、8、0都能除完。

師：看我們余數(shù)加上2、4、6、8、0都能被2整除。那我們先看30，1個(gè)十是2的倍數(shù)，2個(gè)十、3個(gè)十呢？7個(gè)十，多少個(gè)十都是2的倍數(shù)了，所以這時(shí)候我們就看個(gè)位了，個(gè)位上是2、4、6、8、0的就是2的倍數(shù)了。個(gè)位是幾就不是2的倍數(shù)了？我們將是2的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫作奇數(shù)。觀察2和5的倍數(shù)時(shí)，我們有一列數(shù)都圈了，哪列都圈了？

【賞析】從扶著走到放手讓學(xué)生自己走，教會(huì)學(xué)生研究規(guī)律的方法，孫老師讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”。學(xué)習(xí)的本質(zhì)不在于學(xué)生學(xué)會(huì)了某項(xiàng)知識(shí)，重點(diǎn)在于學(xué)生學(xué)會(huì)方法后，能遷移運(yùn)用解決同類(lèi)問(wèn)題。研究2的倍數(shù)特征，圈出2的倍數(shù)—發(fā)現(xiàn)了什么—都這樣嗎—為什么，四部曲讓學(xué)生自然而然地探索出2的倍數(shù)特征，為后續(xù)學(xué)習(xí)較難的3的倍數(shù)特征打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在探索過(guò)程中，師生對(duì)話(huà)、生生互辯，不斷質(zhì)疑、辨析、完善，學(xué)生不僅獲得了數(shù)學(xué)知識(shí)，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還發(fā)展了思維能力。

五、題組練習(xí)：能確定嗎

【教學(xué)片段五】

練習(xí)：比比誰(shuí)的反應(yīng)快！5的倍數(shù)女生舉手，2的倍數(shù)男生舉手！

25、52、7□6、55□

【賞析】練習(xí)鞏固表面雖只有一題，卻隱含著題組：①25和52都用到數(shù)字2和5，為什么結(jié)果不一樣了？②7□6，中間空一個(gè)數(shù)，還能確定它具備2的倍數(shù)特征嗎？③55□，個(gè)位是什么數(shù)時(shí)，原數(shù)具備2或5的倍數(shù)特征？個(gè)位是幾的時(shí)候既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)？練習(xí)貴于精而不在于多，孫老師只用了一題就為學(xué)生搭建了思維碰撞的平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生思考的興趣，讓思考真正發(fā)生。

孫老師的這一節(jié)課不僅教會(huì)學(xué)生要思考，還教會(huì)了學(xué)生如何研究數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)不僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也應(yīng)注重學(xué)生理性思維能力的培養(yǎng)。本節(jié)課，從知識(shí)輸入，到思維產(chǎn)出，學(xué)生充分體驗(yàn)了研究數(shù)學(xué)的完整過(guò)程，真正從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，使得學(xué)生獲得深度學(xué)習(xí)的能力。

（作者單位：廣東省東莞松山湖中心小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）