孔春芳

［摘 ?要］ 章建躍博士曾說，教數(shù)學(xué)根本上就是教概念的. 可見概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，而數(shù)學(xué)概念的理解對學(xué)生抽象思維的要求較高. 目前，我國初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個狀況是，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的追求是“一個概念，三項注意，幾個例題，大量練習(xí)”的應(yīng)試模式. 造成這種現(xiàn)狀的主要原因有以下幾點：①教師的觀念陳舊，基本功較差；②教師的重心錯位，教學(xué)的時效性差；③很多概念較抽象，學(xué)生有恐懼心理. 因此，文章探討了基于理解的初中數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)策略.

［關(guān)鍵詞］ 理解；數(shù)學(xué)概念；深度學(xué)習(xí)；策略

理解是學(xué)習(xí)者探究事實意義的結(jié)果，教育中怎樣強調(diào)概念理解的重要性都不過分. 理解既是智慧而有效地使用知識和技能，又是努力后了解的結(jié)果. 真正的理解，包含另一種形式的遷移，可遷移的理解是評估學(xué)生在不同情境中審慎且有效應(yīng)用知識的能力，理解的6個側(cè)面“解釋、闡明、應(yīng)用、洞察、神入、自知”表現(xiàn)了遷移的能力. 知識只需要獲取，但理解必須是領(lǐng)悟. 傳統(tǒng)的概念教學(xué)有兩個誤區(qū)，一是只動手不動腦的活動導(dǎo)向設(shè)計，二是灌輸式學(xué)習(xí)設(shè)計. 學(xué)生根據(jù)教材或教師的講授、在規(guī)定時間內(nèi)學(xué)習(xí)內(nèi)容，兩種類型的概念教學(xué)，學(xué)生能領(lǐng)悟哪些相關(guān)知識呢？因此UbD逆向設(shè)計了三個階段：先確定預(yù)期的結(jié)果，再確定合適的評估依據(jù)，最后設(shè)計學(xué)習(xí)體驗. 這樣的前后順序，有效確保了整個教學(xué)環(huán)節(jié)，始終圍繞教學(xué)重點，既提高了設(shè)計的協(xié)調(diào)一致性，又提高了教學(xué)的有效性. 下面筆者將探究基于理解的初中數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)策略.

概念引入，分為四種概念引入類型

（1）由生活實例引入. 數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，比如負(fù)數(shù)的引入，在我們的日常生活當(dāng)中，實際上都不乏用負(fù)數(shù)表示的現(xiàn)象. 如電梯上表示樓層有1，2，-1，-2，…；再如冬天的某城市最低溫度是-3 ℃，冰箱的冷凍室是-18 ℃. 這些負(fù)數(shù)的意義是什么呢？小學(xué)生都不難理解. 因此一句話“像-1，-2這樣的數(shù)就叫做負(fù)數(shù)”就引入了概念. 但如果這樣去傳授負(fù)數(shù)概念，那么學(xué)生就會失去很多. 實際上，我們應(yīng)該先讓學(xué)生感受到現(xiàn)實世界充滿了具有相反意義的量，從而認(rèn)識到數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系. 那么，為什么要引進(jìn)負(fù)數(shù)？為什么要這樣表示？負(fù)數(shù)的現(xiàn)實意義和文化價值是什么？我們可以展現(xiàn)給學(xué)生負(fù)數(shù)產(chǎn)生、發(fā)展的歷史，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)活動充滿著探索和創(chuàng)造，從淺顯的知識中挖掘出深刻的內(nèi)涵，這樣學(xué)生才會深刻地理解負(fù)數(shù)的含義，在書寫和計算時負(fù)號才不容易丟失.

（2）由概念背景引入. 比如平方根概念：求平方根是平方運算的逆運算，也是對今后學(xué)習(xí)二次根式的預(yù)備知識，還是應(yīng)用直接開平方法解一元二次方程的重要依據(jù). 平方根概念處于非常重要的地位，起著承前啟后的作用. 平方根概念本身較難理解，更源于對根號的極度陌生，在代數(shù)符號的發(fā)展中，隱含了結(jié)構(gòu)性概念的逐步演化，使得符號形式可以結(jié)構(gòu)性地用來作為概念的一部分，正是這種符號的發(fā)展，以及代數(shù)概念具有抽象的結(jié)構(gòu)性特征，導(dǎo)致了概念學(xué)習(xí)的障礙. 傳授平方根概念時，如果直接給出概念，學(xué)生并不理解平方根前面為什么要加正負(fù)號，不能識別符號語言的基本屬性以及其所表示的數(shù)學(xué)對象. 因此，應(yīng)該首先引導(dǎo)學(xué)生通過求面積為4的正方形的邊長是多少、面積為3的正方形的邊長是多少、面積為2的正方形的邊長又是多少，理解到：如果把正方形的邊長設(shè)為x，像x2=2或x2=3或x2=4這樣的x是客觀存在的，并且可以借助計算機知道它的近似值，這樣的數(shù)是無限不循環(huán)的. 為了進(jìn)一步研究這樣的數(shù)的運算性質(zhì)，我們設(shè)法用符號“”來表示. 比如n個a相乘記作an，a的平方根就表示為±. 再通過一些實例讓學(xué)生自己歸納正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的平方根的情況，然后介紹開平方.

（3）由問題引入. 比如說方程，它是表達(dá)數(shù)量之間相等關(guān)系的“天平”，是刻畫現(xiàn)實世界的有效的數(shù)學(xué)模型. 方程的出現(xiàn)源于實際問題，要讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立數(shù)學(xué)模型—解釋、應(yīng)用與拓展”這樣的方程學(xué)習(xí)過程，體會方程的應(yīng)用價值. 問題情境要從學(xué)生的生活實際出發(fā)，比如蘇科版“一元一次方程”的“章起始課”中就創(chuàng)設(shè)了“天平稱小球”“籃球比賽得分情況”以及“小紅和爸爸的年齡問題”等與學(xué)生生活相關(guān)的情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到方程源于生活，又是解決實際問題的好工具. 然而有些教師總認(rèn)為，進(jìn)入方程學(xué)習(xí)如果首先從問題出發(fā)太煩瑣，為了讓學(xué)生認(rèn)識方程的特征，給出幾個方程讓學(xué)生辨認(rèn)一下就可以了，忽略了概念的生成過程.

（4）從舊知識與新知識的關(guān)系引入，溫故而知新. 比如說平行與垂直：學(xué)生在小學(xué)里已從生活實例中引入了平行和垂直的概念，以及平行線和垂線的畫法；但小學(xué)里沒有介紹平行和垂直的表示方法，以及平行線和垂線的基本性質(zhì)（基本事實）. 因此，課程中要強化平行線和垂線的表示方法，并通過觀察、操作、思考等活動探索平行線和垂線的基本性質(zhì)（基本事實），從內(nèi)部感知平行線的存在性、唯一性（有且只有）. 要引導(dǎo)學(xué)生用比較規(guī)范的語言來表達(dá)所發(fā)現(xiàn)的事實，這樣有利于提高學(xué)生的理解水平和有條理的能力.

概念的講解，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂

可以從以下幾種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行：

1. 類比法

在數(shù)學(xué)中，類比法是最通俗易懂且基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)便于應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法之一. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面都發(fā)揮著積極的作用. 類比法是發(fā)展概念、定理、公式的重要手段，是提出新問題和猜想的重要方法，更是探索問題、解決問題的好工具. 比如學(xué)習(xí)角平分線的概念可以類比線段中點的概念，角平分線的符號語言也可以類比線段中點的符號語言，角平分線的性質(zhì)以及逆定理都可以通過線段的中垂線的性質(zhì)和逆定理進(jìn)行類比學(xué)習(xí). 利用知識遷移，可以讓學(xué)生自行歸納和總結(jié)關(guān)于角平分線的相關(guān)概念，能使學(xué)生的理解更清晰.

2. 數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”比如絕對值概念對于剛進(jìn)入初中的學(xué)生而言，理解起來還是比較抽象的. 蘇科版七年級上冊是把絕對值概念分為兩課時來陳述的，先陳述的是它的幾何意義，揭示了絕對值的“非負(fù)性”；再陳述的是它的代數(shù)意義，揭示了一個數(shù)的絕對值與該數(shù)的關(guān)系. 先陳述幾何意義，就是讓學(xué)生通過一個數(shù)到原點的距離來直觀地理解絕對值的概念. 理解了絕對值的幾何意義，再通過分類討論就不難理解它的代數(shù)意義了；理解了“到原點的距離”表示一個數(shù)的絕對值，對于絕對值的變式拓展也不難理解了. 比如求x-1的最小值，求x-1+x+2的最小值，求x-1+x+2+x-3的最小值，等等，都是通過畫數(shù)軸、用兩點之間的距離來解決的.

3. 變抽象為具體

例如，2020年蘇州市初二陽光水平測試中的一道題：

如圖1所示，用x表示A中的實數(shù)，y表示B中與x對應(yīng)的實數(shù)，且y與x滿足一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）.

（1）π是A中的實數(shù)，則B中與之對應(yīng)的實數(shù)是________；

（2）點（a2+1，2-a2）在該函數(shù)的圖像上嗎？請說明理由；

（3）若點P（a，2a-3）到直線y=kx+b的距離是，求a的值.

這道題重點考查的是一次函數(shù)概念. 函數(shù)教學(xué)中應(yīng)該選取多個具體實例，使學(xué)生能夠體會函數(shù)是描繪客觀世界變化規(guī)律的一個重要模型. 對初中學(xué)生來講，豐富的實例會給他們留下怎樣的印象呢？筆者認(rèn)為，實例讓學(xué)生在體會函數(shù)反映事物變化規(guī)律的同時，會使學(xué)生產(chǎn)生一些錯覺. 比如自變量不同，因變量也不同，而函數(shù)值也會隨著自變量的變化而變化. 確定因變量與自變量的關(guān)系法則是有規(guī)律的，這個規(guī)律總可以用一個式子描述出來，但我們知道這些都不是函數(shù)的本質(zhì)——變化不是函數(shù)的本質(zhì)，可以用式子表達(dá)出來也不是函數(shù)的本質(zhì)，對應(yīng)才是函數(shù)的本質(zhì). 只有抓住了這個本質(zhì)進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)，才能讓學(xué)生理解“對應(yīng)關(guān)系”，理解函數(shù).

概念的鞏固

1. 通過數(shù)學(xué)實驗進(jìn)行概念鞏固

用數(shù)學(xué)實驗可以引領(lǐng)數(shù)學(xué)概念的理解性教學(xué). 比如蘇科版七年級上冊“無理數(shù)”的概念教學(xué)，如果直接給出無理數(shù)的概念，是非常抽象和不能理解的，可以設(shè)計數(shù)學(xué)實驗環(huán)節(jié)來增強學(xué)生對無理數(shù)概念的理解. 比如利用拼圖活動將四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，求其邊長是多少；將兩個邊長為1的小正方形，沿一條對角線剪開后重新拼成一個大正方形，求其邊長是多少、面積是多少. 然后繼續(xù)追問：若設(shè)它的邊長為a，則a2=2，你認(rèn)為a是有理數(shù)嗎？可能是整數(shù)嗎？a可能是分?jǐn)?shù)嗎？接著通過計算排除a是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的可能性：知道12=1，22=4，32=9，所以a不是整數(shù)；計算，，，，，，…的平方，用這種“逼近法”讓學(xué)生在探索的實驗活動中體會“無限”的過程（找不到一個分?jǐn)?shù)的平方等于2，排除a為分?jǐn)?shù)），從而引出無理數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生感悟無理數(shù)的客觀存在性，為八年級上冊“實數(shù)”的學(xué)習(xí)、進(jìn)一步認(rèn)識無理數(shù)奠定基礎(chǔ).

2. 可以通過變式訓(xùn)練使學(xué)生從不同的側(cè)面理解概念的本質(zhì)屬性

以乘法公式中的完全平方公式為例，傳統(tǒng)的教學(xué)模式是先用代數(shù)方法得到公式帶給學(xué)生，然后展現(xiàn)幾何直觀的無字證明圖形，僅作了解幾何背景的用途. 學(xué)生知道多項式與多項式相乘歸納出乘法公式，但找到公式規(guī)律后，如何運用公式以及如何圖證公式是毫無印象的，對圖形與公式的聯(lián)系不甚理解，沒有掌握數(shù)形結(jié)合思想，無法理解公式中的數(shù)如何轉(zhuǎn)化為形，無法充分利用圖形證明公式，這些方面都無法突破. 因此筆者認(rèn)為，可以用幾何方法來引形助數(shù)，然后用多項式與多項式相乘的法則驗證公式，再介紹公式的名稱并用文字語言進(jìn)行敘述，最后讓學(xué)生觀察公式并找出公式的特征. 完全平方公式具有“首平方，尾平方，兩數(shù)乘積中間放”的特征，可以這是一個非常具有對稱性的特征，讓學(xué)生感受公式的對稱美. 對于公式的變式運用，以及公式的拓展，可以對它進(jìn)行底數(shù)和指數(shù)的變形：一是對底數(shù)進(jìn)行變化，即逐漸增加字母，如（a+b+c）2，這里就要體現(xiàn)整體思想的運用，將a+b或b+c看作一個整體進(jìn)行運算，梳理出完全平方公式的拓展形式，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)（a+b+c+d）2，并讓學(xué)生嘗試用文字語言描述規(guī)律——幾個數(shù)和的平方等于這幾個數(shù)的平方加上它們的每兩項積的兩倍，讓學(xué)生再次對比符號表述與語言表述的不同，感受到有些時候用文字語言表述某些乘法公式或運算性質(zhì)也是比較簡潔的. 二是對指數(shù)進(jìn)行變化，即把次數(shù)“2”逐漸增加為“3，4，…，n”，這時就可以通過前幾個式子的運算嘗試找出公式的規(guī)律. 當(dāng)然，這是高中的二項式定理，對于初中生來講是有困難的. 此時，介紹一下“楊輝三角”就變得順理成章了. 這時對完全平方公式的對稱性的認(rèn)識以及整個公式的驗證推理，學(xué)生就可以較好地掌握了. 在完全平方公式概念教學(xué)的設(shè)計上，可以通過“操作—探索—歸納—發(fā)現(xiàn)”帶給學(xué)生不一樣的心得和感受，若教師始終認(rèn)真地“引”、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亍凹m”，讓學(xué)生充分地思考，并與教材對話、與同伴對話，深度學(xué)習(xí)自然而然就發(fā)生了.

概念的運用

概念的運用需要經(jīng)過從概念生成到概念理解這樣一個過程. 比如說勾股定理，計算兩點之間的距離和已知直角三角形的兩邊長求第三邊長等都是勾股定理的運用. 美國馬薩諸塞州綜合評估系統(tǒng)曾經(jīng)統(tǒng)計過運用勾股定理是學(xué)生的短板. 運用勾股定理要求學(xué)生理解勾股定理，并將其遷移到新的問題情境中，然而很少有教師意識到，為了應(yīng)試而讓學(xué)生反復(fù)進(jìn)行練習(xí)其實是一種失敗的教學(xué)策略. 如果把a2+b2=c2當(dāng)作事實來講授，當(dāng)作一種計算規(guī)則，學(xué)生顯然就無法基于理解來牽引他們所學(xué)的知識了. 因此，基于理解的勾股定理概念的生成還是要以探索勾股定理的過程為基礎(chǔ). 探索過程可以利用這樣的活動進(jìn)行：活動一，可以利用方格紙中的格點，以直角三角形的三邊向外作三個正方形，猜想它們的面積的數(shù)量關(guān)系，感受數(shù)到形、形到數(shù)的聯(lián)想，感悟數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系. 活動二，利用方格紙讓學(xué)生自行設(shè)計一個直角三角形，每條邊向外作正方形，繼續(xù)探索三個正方形面積之間的關(guān)系，從大量的實驗數(shù)據(jù)中猜想直角三角形三邊的關(guān)系，這是合情推理的過程. 而從合情推理向演繹推理的過渡，就是一個難點；重點在于多種驗證方法的探索，引導(dǎo)學(xué)生較多地感悟數(shù)與形的完美結(jié)合，用多種方法來計算同一個圖形的面積，從而得到數(shù)量關(guān)系. 這樣的概念運用才會鞏固概念理解.

約翰·杜威在《我們?nèi)绾嗡伎肌分袑斫庾隽饲逦目偨Y(jié)，他認(rèn)為沒有概念生成的過程，就不能獲得任何知識的遷移，更不能對新體驗產(chǎn)生更好的理解. 數(shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)家認(rèn)識事物的思想結(jié)晶，蘊含了最豐富的創(chuàng)新教育素材. 因此，每位教師要在基礎(chǔ)課中講清楚數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.