丁媛媛　費(fèi)嶺峰

【編者按】學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的總體表現(xiàn)之一，便是會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，讓小學(xué)生形成推理意識(shí)便成為一線教師亟待解決的問(wèn)題。如何優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生經(jīng)歷邏輯推理的過(guò)程？如何依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)置適當(dāng)?shù)木毩?xí)環(huán)節(jié)？本期話題圍繞小學(xué)生推理意識(shí)的強(qiáng)化策略展開(kāi)探討。

“推理”作為數(shù)學(xué)基本思想之一，在數(shù)學(xué)課程中有著重要的地位?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的“推理能力”分成了推理意識(shí)與推理能力兩個(gè)維度。意識(shí)是指人們對(duì)外界和自身的覺(jué)察與關(guān)注程度，能力則是指完成一項(xiàng)目標(biāo)或者任務(wù)所體現(xiàn)出來(lái)的綜合素質(zhì)。如果說(shuō)能力指向“能不能做好”的行為表現(xiàn)的話，那么意識(shí)便指向“自覺(jué)不自覺(jué)地去做”的行為狀態(tài)。就意義來(lái)說(shuō)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到：發(fā)展小學(xué)生的推理意識(shí)，有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，也是其發(fā)展推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中又該如何發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)呢？結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)活動(dòng)，喚醒學(xué)生的推理思維，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)推理表達(dá)，嘗試運(yùn)用推理方法，努力形成推理自覺(jué)，等等，不失為發(fā)展學(xué)生推理意識(shí)的有效的過(guò)程與方法。

一、探究中，喚醒推理思維

推理一般分為合情推理和演繹推理兩種形式。合情推理的特點(diǎn)是基于事物的相同屬性推斷出一般性結(jié)論。演繹推理的特點(diǎn)是從已有事實(shí)或規(guī)則出發(fā)推斷出具體結(jié)論。因此，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，首先需要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成一種能夠根據(jù)某種現(xiàn)象去思考現(xiàn)象背后的本質(zhì)，或者基于概念分析問(wèn)題的思維意識(shí)或習(xí)慣。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，具體可以表現(xiàn)為兩種思維意識(shí)的養(yǎng)成。

1. 發(fā)展從現(xiàn)象出發(fā)適時(shí)歸納的意識(shí)。

我們常說(shuō)，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，一般是從關(guān)注現(xiàn)象開(kāi)始的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，也是一個(gè)透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，歸納得出數(shù)學(xué)知識(shí)（包括規(guī)律、模型等）的過(guò)程。這一過(guò)程有利于發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)。比如，我們?cè)诮虒W(xué)“長(zhǎng)方形和正方形的面積”這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多個(gè)長(zhǎng)方形面積探究活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)并歸納出長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法，其間便有學(xué)生推理思維的喚醒與推理方法的應(yīng)用等。我們不妨來(lái)看看教學(xué)過(guò)程。

教師提出學(xué)習(xí)任務(wù)：求一個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形的面積。學(xué)生自主探索——首先，通過(guò)動(dòng)手操作（擺1平方厘米的小方塊），發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)是5厘米每行可以擺5個(gè)，寬是3厘米可以擺3行，得出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是5×3=15平方厘米。接著，產(chǎn)生新問(wèn)題：長(zhǎng)方形的面積是不是與長(zhǎng)和寬有關(guān)呢？“長(zhǎng)×寬”算出的就是這個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？進(jìn)一步探究：任取幾個(gè)1平方厘米的小正方形，拼成不同的長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)“長(zhǎng)所代表的就是一行可以擺幾個(gè)，寬所代表的就是可以擺幾行，長(zhǎng)方形的面積就是每一行的個(gè)數(shù)乘以擺的行數(shù)”，所以長(zhǎng)方形的面積可以用“長(zhǎng)×寬”來(lái)計(jì)算。

以上探索過(guò)程中，學(xué)生不但經(jīng)歷了操作、觀察等活動(dòng)，而且通過(guò)多個(gè)例證的分析、比較，找到事物的共性，由現(xiàn)象追溯到本質(zhì)，最終得出結(jié)論。這樣的過(guò)程，是典型的歸納推理的思維過(guò)程。若在教學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷類似的過(guò)程，對(duì)其推理意識(shí)的培養(yǎng)自然會(huì)有幫助。

2. 發(fā)展由概念出發(fā)分析問(wèn)題的意識(shí)。

由概念出發(fā)分析解讀數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程同樣也是一種典型的數(shù)學(xué)推理，即基于概念內(nèi)涵對(duì)相關(guān)現(xiàn)象作出分析與判斷。雖然這樣的思維要求較高，但在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，同樣需要引導(dǎo)學(xué)生適度地經(jīng)歷此類分析問(wèn)題的過(guò)程，有利于學(xué)生經(jīng)歷初步的演繹推理，發(fā)展推理意識(shí)。

我們可以來(lái)看這樣一個(gè)例子。某教師在教學(xué)“三角形的高”這一節(jié)課時(shí)，先請(qǐng)學(xué)生自學(xué)課本上有關(guān)“三角形高”的概念定義文字，然后請(qǐng)學(xué)生嘗試畫(huà)出一個(gè)三角形的高。教師巡視間收集典型材料（如下圖所示），請(qǐng)學(xué)生判斷。

學(xué)生對(duì)以上三種情況進(jìn)行判斷時(shí)，需要借助“三角形高”的概念進(jìn)行說(shuō)明。這個(gè)過(guò)程，即是從概念出發(fā)，分析材料狀況，材料一：雖然是從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的線段，但與對(duì)邊相交時(shí)的角不是直角，所以不是BC邊上的高；材料二，雖然畫(huà)的線段與BC邊垂直，但不是從頂點(diǎn)A出發(fā)的，所以也不是BC邊上的高；材料三，即是從頂點(diǎn)A出發(fā)的，畫(huà)的又是頂點(diǎn)A對(duì)邊BC邊的垂線，所以這條垂直線段是BC邊上的高。上述以“三角形高”的概念來(lái)分析解讀作業(yè)材料，顯然是一個(gè)基于概念作出分析，引導(dǎo)學(xué)生初步經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程。同樣也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中需要培養(yǎng)學(xué)生掌握的一種思考、分析問(wèn)題的方式。在日常的教學(xué)中，教師若能適時(shí)加以引導(dǎo)，以此喚醒學(xué)生的演繹思維，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)同樣會(huì)有幫助。

二、表達(dá)中，體驗(yàn)推理過(guò)程

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的推理，不需要讓學(xué)生像初中生那樣進(jìn)行嚴(yán)密規(guī)范的邏輯證明，但是作為學(xué)生推理意識(shí)培養(yǎng)的初始階段，還是需要學(xué)生深刻體會(huì)推理是一個(gè)有序的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生形成有條理地思考、有根據(jù)地表達(dá)的習(xí)慣，真正實(shí)現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的“會(huì)思考”“會(huì)表達(dá)”的素養(yǎng)目標(biāo)。實(shí)踐中，我們可以結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)進(jìn)行適時(shí)引導(dǎo)。

1. 結(jié)合專項(xiàng)內(nèi)容的學(xué)習(xí)強(qiáng)化表達(dá)。

從教材內(nèi)容來(lái)分析，小學(xué)數(shù)學(xué)教材上有一些專門(mén)圍繞“推理”的專項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，教學(xué)此類內(nèi)容時(shí)，一定要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一次完整的“有條理”地表達(dá)推理過(guò)程的機(jī)會(huì)，從而幫助學(xué)生更好地體驗(yàn)推理過(guò)程，形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

如人教版二年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角——推理”例1，情境呈現(xiàn)學(xué)生有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、道德與法治三種書(shū)，三個(gè)小朋友各拿一本，并呈現(xiàn)信息：小紅拿的是語(yǔ)文書(shū)，小麗拿的不是數(shù)學(xué)書(shū)。判斷小剛和小麗分別拿的是什么書(shū)？學(xué)生對(duì)于解決問(wèn)題策略的理解難度不大，本課更主要的目標(biāo)，還是在引導(dǎo)學(xué)生用清晰的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有條理、有依據(jù)地表達(dá)推理的過(guò)程。

當(dāng)學(xué)生答出“小麗拿的是道德與法治書(shū)”后，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出想法：因?yàn)槿齻€(gè)人中，小紅拿的是語(yǔ)文書(shū)，那么還剩下數(shù)學(xué)和道德與法治兩本書(shū)；又因?yàn)樾←惸玫牟皇菙?shù)學(xué)書(shū)，那么她拿的一定是道德與法治書(shū)了。當(dāng)有學(xué)生答出“小剛拿的是數(shù)學(xué)書(shū)”，同樣需要引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)想法：因?yàn)槿齻€(gè)人中，小紅拿的是語(yǔ)文書(shū)，那么還剩下數(shù)學(xué)和道德與法治兩本書(shū)；又因?yàn)樾←惸玫牟皇菙?shù)學(xué)書(shū)，那么數(shù)學(xué)書(shū)一定是小剛拿了。

因?yàn)檫@節(jié)“簡(jiǎn)單推理”課是推理的專項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以教師更需要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)把推理過(guò)程表達(dá)完整的重要性。在表達(dá)的過(guò)程中，可以引導(dǎo)學(xué)生用連線或列表等方式進(jìn)行展示，可以是先畫(huà)再說(shuō)，也可以是邊畫(huà)邊說(shuō)；可以是列出表格再說(shuō)，當(dāng)然也可以是邊列表邊說(shuō)。最終目的在于將推理的過(guò)程說(shuō)完整、說(shuō)清楚，幫助學(xué)生在推理的過(guò)程中發(fā)展推理意識(shí)。

2. 結(jié)合生成內(nèi)容的探討相機(jī)引導(dǎo)。

對(duì)于小學(xué)生而言，發(fā)展推理意識(shí)更需要落實(shí)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，結(jié)合蘊(yùn)含推理意味的生成性學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)推理過(guò)程，體驗(yàn)推理思維，形成對(duì)推理過(guò)程的切身感受。如在前文所述圖形面積計(jì)算方法學(xué)習(xí)的內(nèi)容，當(dāng)經(jīng)過(guò)了平行四邊形、三角形的面積計(jì)算方法探究學(xué)習(xí)后，在“梯形面積”這一課的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般會(huì)將梯形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或平行四邊形來(lái)探究。這些方法也是教師在備課時(shí)首先考慮到的內(nèi)容。但在實(shí)際的課堂上，還會(huì)有學(xué)生采用“直接將一個(gè)梯形割補(bǔ)成一個(gè)三角形”來(lái)探索推導(dǎo)。

當(dāng)出現(xiàn)此類預(yù)設(shè)之外的生成材料時(shí)，教師若能讓學(xué)生把分析、思考的過(guò)程有條理地表達(dá)出來(lái)，不僅可以更好地了解學(xué)生的思維過(guò)程，同時(shí)也是給學(xué)生闡述推理、體驗(yàn)推理過(guò)程的機(jī)會(huì)。因?yàn)閷W(xué)生要把轉(zhuǎn)化的過(guò)程有條理地講清楚、講明白，需要對(duì)圖形相關(guān)要素間的關(guān)系，以及變化的過(guò)程與注意點(diǎn)，有相當(dāng)清晰的把握與理解。

這種機(jī)會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中還是比較多的。如在“問(wèn)題解決”的內(nèi)容中，需要有從信息出發(fā)的分析理解，也有從問(wèn)題出發(fā)的解讀梳理；有兩三步計(jì)算問(wèn)題的信息與信息、信息與問(wèn)題的關(guān)系分析，解答過(guò)程的步驟厘清；等等。推理意識(shí)的培養(yǎng)，應(yīng)該落實(shí)在平時(shí)的課堂教學(xué)中，才能更好地實(shí)現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求。

三、運(yùn)用中，形成推理自覺(jué)

推理作為一種基本的數(shù)學(xué)思維方式，教師需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中加以關(guān)注。當(dāng)學(xué)生有了一定的推理能力后，能夠在運(yùn)用知識(shí)技能解決問(wèn)題的過(guò)程中，自覺(jué)地運(yùn)用推理，并能更好地解決問(wèn)題，這才是發(fā)展推理意識(shí)的重要目標(biāo)。教師在教學(xué)實(shí)踐中，可以從以下兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生努力形成推理自覺(jué)。

1. 經(jīng)常性地與學(xué)過(guò)的知識(shí)作“類比”。

類比，其實(shí)是發(fā)展學(xué)生推理意識(shí)的常用方法。有類比，學(xué)生可以對(duì)事物間的聯(lián)系與區(qū)別把握得更準(zhǔn)確。經(jīng)常性地與學(xué)過(guò)的知識(shí)作類比，不僅有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，還可以幫助學(xué)生形成良好的推理意識(shí)。

比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“雞兔同籠”的內(nèi)容后嘗試解答這樣一個(gè)問(wèn)題：足球比賽中勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分。A球隊(duì)在一次比賽中，共計(jì)得了51分，比賽30場(chǎng)，其中負(fù)了7場(chǎng)。這支球隊(duì)勝和平各有多少場(chǎng)？解答時(shí)，若學(xué)生能夠?qū)⒋藛?wèn)題轉(zhuǎn)化為“雞兔同籠”問(wèn)題來(lái)解答，表明其已經(jīng)有了比較強(qiáng)的推理意識(shí)了。我們不妨分析一下此題：球隊(duì)共比賽30場(chǎng)，負(fù)了7場(chǎng)，那么勝場(chǎng)和平場(chǎng)一共有30-7=23場(chǎng)。此時(shí)，剩下的問(wèn)題結(jié)構(gòu)也就類似于“雞兔同籠”問(wèn)題的結(jié)構(gòu)了，即23場(chǎng)比賽只有兩種情況，要么勝、要么平。這23場(chǎng)類似于雞兔的“總頭數(shù)”，勝場(chǎng)得3分與平場(chǎng)得1分，又分別類似于兩種動(dòng)物“腳的只數(shù)”。這樣一來(lái)，也就很清楚了，可以用假設(shè)法，也可以用方程，還可以用列表等方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。這就是在把握了問(wèn)題本質(zhì)基礎(chǔ)上，應(yīng)用了類比推理，能夠輕松解答問(wèn)題。

2. 經(jīng)常性地對(duì)學(xué)習(xí)的過(guò)程作“反思”。

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，反思是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，同樣也是發(fā)展學(xué)生推理意識(shí)的重要方式。因?yàn)樵诜此紝W(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題也好，反思形成的結(jié)論也好，需要學(xué)生去尋找問(wèn)題產(chǎn)生的原因，或者結(jié)論對(duì)錯(cuò)的理由，一般來(lái)說(shuō)，這個(gè)過(guò)程需要有因果關(guān)系的說(shuō)明。于是，有條理、有依據(jù)地表明自己的觀點(diǎn)，顯得非常必要。

比如，“平行四邊形面積”一課的教學(xué)中，當(dāng)課堂上出現(xiàn)了“拉動(dòng)轉(zhuǎn)化”和“剪拼轉(zhuǎn)化”兩種推導(dǎo)方法，學(xué)生能夠自然地想到對(duì)“圖形是如何變的”“這樣變了之后，什么變了？什么沒(méi)變”等一連串問(wèn)題作出說(shuō)明時(shí)，便證明了學(xué)生的推理意識(shí)也在不知不覺(jué)中得到了強(qiáng)化。當(dāng)然，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的過(guò)程作經(jīng)常性反思，還表現(xiàn)在平時(shí)獨(dú)立作業(yè)或階段性檢測(cè)的分析中。找原因、究本質(zhì)、析問(wèn)題、理思路，等等，都應(yīng)該是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程作反思的基本內(nèi)容，同樣也是學(xué)生推理意識(shí)發(fā)展的重要過(guò)程。

推理自覺(jué)是學(xué)生推理意識(shí)發(fā)展的最高要求，也應(yīng)該是教師在教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)推理意識(shí)的重要定位。結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一切內(nèi)容，幫助學(xué)生發(fā)展推理自覺(jué)，需要教師抓住一切機(jī)會(huì)。比如轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、等量代換，等等，在這些方式方法的運(yùn)用中，幾乎都有推理思維的存在，教師若能密切關(guān)注、切實(shí)引導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)便不至于成為一句空話，而能實(shí)實(shí)在在地落實(shí)。

（作者單位：杭州師范大學(xué)附屬嘉興經(jīng)開(kāi)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心）