慈艷

【編者按】高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的基本特征。要使學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，便要使他們?cè)谛W(xué)階段就具備抽象的意識(shí)，積累抽象經(jīng)驗(yàn)，為初中階段形成抽象能力做好鋪墊。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如何在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)抽象，使學(xué)生能夠經(jīng)歷抽象的過程，感悟抽象的層次？本期話題對(duì)此展開探討。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將核心素養(yǎng)的特征表述為：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，又稱“三會(huì)”?！叭龝?huì)”中的“數(shù)學(xué)的眼光”在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系構(gòu)成中的一致性與階段性見下表中的描述。

對(duì)于小學(xué)階段數(shù)學(xué)抽象的滲透教學(xué)，我們首先要聚焦“三會(huì)”中的“數(shù)學(xué)的眼光”，因?yàn)樗葦?shù)學(xué)抽象更高階，并貫穿于數(shù)學(xué)教育的始終，在不同階段有不同的表現(xiàn)。教師大體上可以這樣把握：低學(xué)段基于感官，更具體、更側(cè)重意識(shí)；高學(xué)段基于概念，更一般、更側(cè)重觀念和能力。那么，在小學(xué)階段如何通過直觀操作，積累相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷抽象過程，進(jìn)階形成初中的抽象能力，高中的數(shù)學(xué)抽象呢？筆者基于“數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)”在實(shí)踐中所對(duì)應(yīng)的“數(shù)與運(yùn)算、圖形的認(rèn)識(shí)與測量、數(shù)與形”的教學(xué)，從核心學(xué)具、核心活動(dòng)、數(shù)形表達(dá)三個(gè)方面對(duì)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)抽象滲透教學(xué)進(jìn)行說明。

一、在“數(shù)與運(yùn)算”教學(xué)中分階段使用核心學(xué)具

數(shù)感是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟。學(xué)生理解數(shù)先從直觀的物開始，如兩塊糖、兩輛車等，最終抽象為用“2”表達(dá)。因此，可選取分階段、有層次、有代表的核心學(xué)具幫助學(xué)生在操作中有效積累數(shù)感經(jīng)驗(yàn)。以下選取豆子、小棒、計(jì)數(shù)器、人民幣模型，按順序來說說使用方法。

數(shù)（shǔ）的活動(dòng)在低年級(jí)一定要豐富，經(jīng)歷數(shù)的活動(dòng)，讓學(xué)生感受數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ），讓他們數(shù)出層次。數(shù)豆活動(dòng)幫助學(xué)生完成數(shù)量與數(shù)的直觀對(duì)應(yīng)，積累從直觀到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。小豆子的無規(guī)律給低年級(jí)學(xué)生的點(diǎn)數(shù)帶來困難，適時(shí)要求學(xué)生“數(shù)出一堆十顆綠豆，可以兌換一顆大蠶豆”，幫助他們?cè)跀?shù)與換的活動(dòng)中經(jīng)歷從直觀到半抽象的過程，即“一顆”大蠶豆等于“十顆”小綠豆。

相較之下，數(shù)小棒更容易操作。小棒除了作為數(shù)數(shù)中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要學(xué)具外，還是幫助學(xué)生直觀理解加減運(yùn)算的重要學(xué)具。湊十過程中一捆小棒的“一”表示一個(gè)“十”，從十個(gè)一到一個(gè)十，是計(jì)數(shù)單位的升級(jí)。此時(shí)，計(jì)數(shù)器出場，它能有效幫助學(xué)生感受具體數(shù)量十根小棒與計(jì)數(shù)器中半抽象的一顆十位上珠子間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生在操作中感受數(shù)量間的加與減到半抽象計(jì)數(shù)器中的加與減，最終走進(jìn)抽象的加減運(yùn)算中。說明數(shù)源于數(shù)，算也源于數(shù)。數(shù)與運(yùn)算是密不可分的，“數(shù)與運(yùn)算”的內(nèi)容雖然抽象，但學(xué)生分階段使用核心學(xué)具在直觀操作中積累了豐富的數(shù)感經(jīng)驗(yàn)，這也是幫助學(xué)生形成抽象能力的基礎(chǔ)，有助于學(xué)生理解數(shù)的意義和數(shù)量之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)表達(dá)的簡潔與精準(zhǔn)。

計(jì)數(shù)器在“數(shù)與運(yùn)算”中是幫助學(xué)生從直觀走向抽象的橋。撥珠活動(dòng)中“逢十進(jìn)一”的過程，進(jìn)“一”的一顆珠子可以抵“十”，這是由這顆珠子的位置決定的。數(shù)構(gòu)成的核心：一為數(shù)字，二為數(shù)字所在的位置。通過操作計(jì)數(shù)器，學(xué)生感受到半抽象數(shù)的表達(dá)，最終抽象為數(shù)。計(jì)數(shù)器與人民幣模型配合可以將數(shù)的領(lǐng)域擴(kuò)展到小數(shù)范圍。教師要利用人民幣模型開展各種購物活動(dòng)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)人民幣，通過“花錢”培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。人民幣模型在“數(shù)與運(yùn)算”的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)頻率極高，它“逢十進(jìn)一”的特征能夠幫助學(xué)生理解數(shù)的意義，理解算理與算法之間的關(guān)系，促使學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從直觀走向抽象。例如，整數(shù)學(xué)習(xí)中一元、十元、百元在計(jì)數(shù)器中對(duì)應(yīng)個(gè)位、十位、百位；角、分對(duì)應(yīng)十分位、百分位。這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將整數(shù)領(lǐng)域直觀地?cái)U(kuò)展到小數(shù)領(lǐng)域，再經(jīng)過數(shù)學(xué)推理擴(kuò)展到千分位、萬分位……學(xué)生也就從對(duì)人民幣模型的認(rèn)識(shí)進(jìn)階為抽象的小數(shù)認(rèn)識(shí)。

核心學(xué)具是學(xué)生認(rèn)知從直觀走向抽象的重要抓手，學(xué)生通過核心學(xué)具的使用能夠看到數(shù)的樣態(tài)，如一堆豆子的顆數(shù)、幾捆小棒的根數(shù)、幾張人民幣的表達(dá)。在利用學(xué)具實(shí)現(xiàn)具體表達(dá)的過程中，感知量的多少，獲得將數(shù)的大小與量的多少進(jìn)行對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，這便是學(xué)生在直觀操作中獲得數(shù)感的過程。半抽象計(jì)數(shù)器的使用優(yōu)勢就在于讓抽象的數(shù)在撥珠活動(dòng)中變得直觀，適合低段學(xué)生年齡特征。因?yàn)橛?jì)數(shù)器表示數(shù)已經(jīng)非常接近用十進(jìn)位值制表達(dá)數(shù)了，它表達(dá)的數(shù)是珠子個(gè)數(shù)與珠子所在位置的結(jié)合，而數(shù)的組成是數(shù)字所在位置與數(shù)字的結(jié)合，計(jì)數(shù)器中撥珠表達(dá)出“半成品”的數(shù)。數(shù)的學(xué)習(xí)在直觀與抽象的轉(zhuǎn)化中“動(dòng)”起來，計(jì)數(shù)器的使用不僅讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)的增加與減少，還將滿十進(jìn)一的進(jìn)位過程動(dòng)態(tài)直觀化，這些都是適合小學(xué)中低年段學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。核心學(xué)具之間相輔相成、呈階梯狀螺旋上升配合使用，為學(xué)生理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)階形成抽象能力做足準(zhǔn)備。

二、在“圖形的認(rèn)識(shí)與測量”中按維度設(shè)計(jì)核心活動(dòng)

量感指對(duì)事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。小學(xué)階段長度、面積、體積、時(shí)間、質(zhì)量等的學(xué)習(xí)過程都涉及量感經(jīng)驗(yàn)的積累。在這些知識(shí)的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程越能讓學(xué)生直接感知到，學(xué)生就越容易掌握知識(shí)本身的內(nèi)在屬性。因此，在量感經(jīng)驗(yàn)積累的初期，要引領(lǐng)學(xué)生在直接感知中進(jìn)行體驗(yàn)，體驗(yàn)越豐富，越容易形成量感經(jīng)驗(yàn)，為進(jìn)階形成抽象能力提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

為了便于說明，這里僅從“圖形的認(rèn)識(shí)與測量”中，按照維度設(shè)計(jì)核心活動(dòng)來說明如何引領(lǐng)學(xué)生有效地在直觀感知中積累量感經(jīng)驗(yàn)。如“一維”長度中安排測量活動(dòng)，“二維”面積中安排面積制作活動(dòng)，“三維”體積中安排比較活動(dòng)。讓這些活動(dòng)在不斷地進(jìn)階互補(bǔ)中促成學(xué)生從直觀操作中獲得度量經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而形成量感，養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決實(shí)際問題的習(xí)慣，為更好地形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)做好前期儲(chǔ)備。《課程標(biāo)準(zhǔn)》中將圖形的認(rèn)識(shí)與測量統(tǒng)整在一起，讓學(xué)生在測量活動(dòng)中對(duì)物品及特征有了深刻感知，因此核心活動(dòng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)要做到具有整體性、階段性、一致性與核心性等特征。

在長度測量活動(dòng)中可以先選擇長方形桌面的長，經(jīng)由各種工具進(jìn)行測量，還可使用身體上的尺子拃、庹、步等，活動(dòng)中學(xué)生自主感受并體會(huì)統(tǒng)一單位的必要性。統(tǒng)一單位后的測量活動(dòng)以理解測量本質(zhì)為目標(biāo)，多段標(biāo)準(zhǔn)首尾相接進(jìn)行累加，學(xué)生在這樣的過程中也體會(huì)著刻度尺的制作原理。這時(shí)，再掌握測量方法就變得非常簡單了。在測量物品長度的過程中認(rèn)識(shí)厘米、分米、米、千米，形成長度表象。如選擇1厘米作為長度標(biāo)尺，測量本子的寬度；選擇1分米的長度標(biāo)尺和小組同學(xué)測量出桌面的寬度，根據(jù)測量經(jīng)驗(yàn)估測桌面的長度；選擇10米標(biāo)尺測量操場的長度、寬度?；顒?dòng)中為學(xué)生準(zhǔn)備標(biāo)準(zhǔn)的單位長度，目的是讓學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)長度有直觀的感知，配合身體上的尺子進(jìn)行有效對(duì)比，形成聯(lián)系，為測量經(jīng)驗(yàn)的凝結(jié)和方法的運(yùn)用做好準(zhǔn)備。因此，在學(xué)習(xí)長度相關(guān)內(nèi)容時(shí)，構(gòu)建長度標(biāo)準(zhǔn)的表象，經(jīng)歷長度累加的過程，掌握測量長度的方法。一系列活動(dòng)后，學(xué)生在直接感知中形成了度量經(jīng)驗(yàn)，這就是設(shè)計(jì)核心活動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)，為形成抽象能力做好前期準(zhǔn)備。

標(biāo)準(zhǔn)長度單位的學(xué)習(xí)模式可有效遷移至面積，核心活動(dòng)的設(shè)計(jì)本質(zhì)指向?qū)γ娣e大小的感知。在核心活動(dòng)中，學(xué)生制作1平方厘米、1平方分米、1平方米等面積單位，用標(biāo)準(zhǔn)面積尺先估后測物品表面的大小，有效幫助學(xué)生在制作與測量中形成面積大小的表象和測量面積的方法，理解面積單位的定義標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)生在核心活動(dòng)中感知邊長1厘米、1分米、1米的正方形面積單位的定義，形成相鄰單位進(jìn)率是100的進(jìn)率關(guān)系表象。后續(xù)拓展延伸對(duì)邊長10米、100米、1000米的正方形面積單位十米2、百米2（公頃）、千米?的理解感知，讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過抽象推理完善抽象意識(shí)，為形成抽象能力做好準(zhǔn)備。

在體積與容積的學(xué)習(xí)中，選擇可變形的水來設(shè)計(jì)核心活動(dòng)。為了明晰升、毫升、立方分米、立方厘米之間的關(guān)系，教師可以首先從生活中容積為500毫升的礦泉水瓶子入手，讓學(xué)生推測礦泉水的體積約是500立方厘米，建立體積與容積關(guān)系的初步表象。再借助變形、分解，幫助學(xué)生感知1立方厘米水就是1毫升水。教師可以準(zhǔn)備邊長為1分米的正方體透明容器，讓學(xué)生猜測，此容器可裝幾瓶500毫升的礦泉水。在操作中認(rèn)識(shí)1升水放到1立方分米的容器中剛剛好。這是從直觀操作走向抽象表達(dá)1立方分米=1升=1000毫升。這些活動(dòng)中形成的直觀表象、過程中厘清的關(guān)系、操作中積累的量感經(jīng)驗(yàn)都是建立量感的必要元素，為學(xué)生形成抽象能力提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

三、利用“形”與“數(shù)”的配合表達(dá)落實(shí)符號(hào)意識(shí)

符號(hào)意識(shí)指能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能。學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)需要數(shù)與形的相互配合。對(duì)于小學(xué)生而言，“形”的表達(dá)與視覺關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，符號(hào)表達(dá)相對(duì)更加抽象，可以通過“形”的具體與“數(shù)”的抽象建立起聯(lián)系。根據(jù)學(xué)生年齡特征，調(diào)動(dòng)多感官各自發(fā)揮作用，有效幫助學(xué)生從具體的現(xiàn)實(shí)世界走進(jìn)抽象的數(shù)學(xué)世界。培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，使他們能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律；知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性；初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。

教學(xué)中，我們可以通過“蹺蹺板活動(dòng)”幫助學(xué)生從“形”的表達(dá)走向符號(hào)表達(dá)，從而激發(fā)符號(hào)意識(shí)。呈現(xiàn)三個(gè)孩子玩蹺蹺板的情境：小軍將小牛翹起，小牛和小明保持平衡。那么，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)表達(dá)三者之間的重量關(guān)系：A>B、B=C。這里將學(xué)生看到的直觀現(xiàn)象用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來。接下來，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這些符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律，進(jìn)入對(duì)運(yùn)算規(guī)律的推理。那么，在沒有畫面感知的情況下，學(xué)生可以推出A>C、C=B。當(dāng)加入D、E等小朋友時(shí)，符號(hào)的表達(dá)就會(huì)更加復(fù)雜，其中蘊(yùn)含的信息也就更加多元。從一開始的直觀表象，走進(jìn)了數(shù)學(xué)符號(hào)層面的、具有一定難度的抽象推理。

數(shù)學(xué)源于生活并高于生活，天平是小學(xué)階段常用的直觀模型，在觀察天平的活動(dòng)中，學(xué)生可以把“形”轉(zhuǎn)換成“數(shù)”。（如下圖所示）

看似簡單的算式中蘊(yùn)含著等式的基本性質(zhì)，為利用等式的基本性質(zhì)解方程建構(gòu)了直觀表象。當(dāng)然，圖中還蘊(yùn)含著簡單運(yùn)算律，說起運(yùn)算律，這里還要補(bǔ)充說明的是，小學(xué)階段符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)相對(duì)數(shù)感與量感培養(yǎng)而言，其難度是進(jìn)階生長的。因?yàn)樵跀?shù)感、量感的培養(yǎng)中，學(xué)生通常可以通過直觀操作而獲得體驗(yàn)，符合兒童的年齡特征，但符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)往往需要通過感知一定的規(guī)律而獲得，而規(guī)律對(duì)于小學(xué)生而言，本身就具有一定的抽象性。我們最熟悉的例子就是乘法分配律，它是小學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。有經(jīng)驗(yàn)的教師會(huì)從生活中的具體實(shí)例，比如，通過桌椅、服飾套裝等真實(shí)情境幫助學(xué)生有效積累生活經(jīng)驗(yàn)，然后在乘法意義的基礎(chǔ)上利用方格圖，借由“形”的表達(dá)加以有效補(bǔ)充，經(jīng)歷這樣的積累經(jīng)驗(yàn)過程，為最終形成符號(hào)表達(dá)做足儲(chǔ)備工作，在這樣的過程中學(xué)生擁有了用符號(hào)表達(dá)具體事物的意識(shí)，完成了從具體到抽象，再從抽象回到具體的螺旋上升的思維成長通道。

（作者單位：北京市海淀區(qū)中關(guān)村第二小學(xué)）