盧睿彬，嚴(yán) 凌，蔡近近

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

近年來，有很多學(xué)者對分時段制定票價問題進(jìn)行了研究。鄒慶茹，等建立了以運力運量匹配度最大化為目標(biāo)的峰前折扣定價模型，對比實際方案，發(fā)現(xiàn)相比于提高折扣比例，推遲折扣截止時間可以更為有效地轉(zhuǎn)移高峰客流量，提高疏解效率。張楨樺細(xì)分旅客類型，劃分出鐵路客流的峰谷時段，建立各類旅客運輸方式選擇的時間價值模型，設(shè)計算法求解出各個時段的票價，通過分時定價調(diào)節(jié)各個時段的客流量。根據(jù)小時客流量分布特點，劃分出合理的時段是分時段差異化收費的首要條件。劉普寅，等提出可以用偏小型模糊分布刻劃偏向小的一方的模糊現(xiàn)象，用偏大型模糊分布刻畫偏向大的一方的模糊現(xiàn)象，并將該理論應(yīng)用于實際算例，分別計算出各個時段的峰、谷擬合度，對時段進(jìn)行劃分。Ralf Bornd?rfer，等提出用博弈論的方法來提高高速公路網(wǎng)收費效率的策略，用交通流表示用戶決策，通過混合整數(shù)規(guī)劃尋找Stackelberg 博弈的納什均衡解。胡文君，等提出路網(wǎng)設(shè)計過程是路網(wǎng)管理者與用戶之間Stackelberg博弈的過程，雙層規(guī)劃模型能很好地對這個過程進(jìn)行刻畫。陳建華，等提出出行者廣義出行費用的基本函數(shù)表達(dá)式，對鐵路客票價格進(jìn)行優(yōu)化。孫朝苑提出公路、鐵路的票價制定應(yīng)由經(jīng)濟、時間、舒適性因素組成的服務(wù)特性決定。R.L.Tobin提出了靈敏度分析算法，可有效地求解雙層規(guī)劃模型。

2021年6月，交通運輸部、國家發(fā)展改革委、財政部聯(lián)合印發(fā)了《全面推廣高速公路差異化收費實施方案》，提出各地應(yīng)在充分考慮本地公路網(wǎng)結(jié)構(gòu)及運行特點的基礎(chǔ)上，選擇合適的差異化收費方案，全面推廣差異化收費，可以從分路段、分車型、分時段、分出入口、分方向、分支付方式角度進(jìn)行差異化收費。本文對高速公路實行差異化收費進(jìn)行研究，考慮影響出行者出行時段選擇的相關(guān)因素，將這些因素加入到現(xiàn)有的出行者效用函數(shù)中，建立以高速公路運營方為決策者的上層模型，以出行者為決策者的下層模型，用靈敏度分析算法對模型進(jìn)行求解，迭代計算出高速公路分時段通行費率，從而對高速公路客流起到有效的均衡引導(dǎo)作用。

1 問題提出

1.1 問題描述

高速公路的交通量時變圖一般呈馬鞍形，在上、下午各有一個出行高峰，高峰時段較大的車流量會使高速公路部分路段出現(xiàn)緩行及擁堵情況，谷時、平時車流量較少，造成高速公路運能資源浪費，對高速公路劃分時段制定合理的通行費率研究,具有顯著的現(xiàn)實意義。本文中，高速公路運營方與高速公路出行者之間存在Stackelberg博弈，高速公路運營方制定出分時段的通行費率，出行者做出相應(yīng)的出行選擇，高速公路運營方會依據(jù)出行者做出的出行選擇調(diào)整通行費率，出行者按照調(diào)整后的通行費率重新做出出行選擇，反復(fù)這個過程，直到得出一個相對均衡的結(jié)果。建立雙層規(guī)劃模型模擬這個過程，高速公路運營方為上層模型的決策者，出行者為下層模型的決策者。本文根據(jù)交通量的時間分布特性，制定與之相適應(yīng)的分時段通行費率，運用價格杠桿使高速公路出行高峰時段擁堵的客流得到有效轉(zhuǎn)移，從而使高速公路網(wǎng)的交通量分布更加均衡，提高路網(wǎng)運行整體效率。

1.2 問題假設(shè)

本文假設(shè)條件如下：

（1）出行者出行時段選擇受到出行價格因素、出行時間因素、出行舒適安全度綜合因素的影響；

（2）高速公路運營方的決策變量是分時段的通行費率，出行者的決策變量是各時段與通行費率相對應(yīng)的客流量；

（3）分時段的通行費率對各時段的出行客流量起到均衡調(diào)節(jié)作用，但不改變每天的出行總客流量。

1.3 符號說明

本文所用符號說明見表1。

表1 符號說明

2 時段劃分

高速公路上一天的交通量在不同時段有著較大的差異，將高速公路按其交通量特征劃分出不同時段，并制定出對應(yīng)的合理通行費率，可以有效地對客流起到均衡作用。本文運用模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)，用偏大型隸屬度函數(shù)計算出每個小時交通量的峰擬合度，用偏小型隸屬度函數(shù)計算出每個小時交通量的谷擬合度，據(jù)此將該小時確定為或峰、或平、或谷時段，并進(jìn)行時段劃分。

3 建立雙層規(guī)劃模型

為制定合理的分時段通行費率，建立雙層規(guī)劃模型，上層決策者為高速公路運營方，下層決策者為高速公路出行者。上層模型的決策變量是分時段的折扣率，目標(biāo)函數(shù)是制定合理的分時段折扣率，使高速公路運營方收益最大化；下層模型的決策變量是分時段通行費率下的客流量，目標(biāo)函數(shù)是在假定當(dāng)天高速公路總出行量不變且為正的條件下，使考慮高速公路出行者出行價格因素、出行時間因素、出行舒適安全度綜合因素的廣義出行費用最小化。

3.1 上層模型

上層模型以在合理的通行費率區(qū)間內(nèi)，高速公路運營方利益最大化為目標(biāo)函數(shù)。高速公路運營方利益用各時段通行費用與該時段交通量乘積之和來表示。

3.2 下層模型

用冪函數(shù)表示廣義出行費用函數(shù)。

其中,為待定參數(shù)，分別取2,0.4；V為效用函數(shù)。通常高速公路出行者的出行效用與出行價格因素、出行時間因素、出行舒適安全度綜合因素有關(guān)，這些因素會帶來出行負(fù)效用。本文將高速公路出行效用表示為：

本文用某時段通行費率下的通行費用表示該時段的出行價格因素，用某天交通量的小時均值與某時段交通量的小時均值之間的偏差度表示該時段的出行時間因素，用某時段的出行阻抗系數(shù)表示該時段的出行舒適安全度綜合因素。本文中時段的出行價格因素、出行時間因素、出行舒適安全度綜合因素分別表示如下：

綜上所述，下層模型為：

4 基于靈敏度分析方法的啟發(fā)式算法

4.1 算法原理

運用靈敏度分析法可以求出變分不等式對其中擾動項的導(dǎo)數(shù)，本文假定這個擾動項是各時段的出行價格因素，即分時段的通行費率，并且假設(shè)各時段的出行時間因素、出行舒適安全度綜合因素保持不變。通過靈敏度分析法得出各個時段的高速公路客流量對通行費率的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，用泰勒展開式得出反應(yīng)函數(shù)q()的線性表達(dá)式，從而求解雙層規(guī)劃問題。

下層模型通行費率與客流量的均衡配流模型，用變分不等式表示如下：

在OD對w間，存在：

q()是下層模型的均衡解。變分不等式在=1時，即各時段通行費率相同時，存在唯一的q()，在=1時有解的必要條件為：

Λ是OD對間通行費率與對應(yīng)客流量之間的關(guān)聯(lián)矩陣，是下層模型中等式約束的Lagrangian乘子向量。令()[q(),μ()]，用J()表示式（17）和式（18）對于[q(),μ()]的Jacobian 矩陣，J()表示式（17）和式（18）對于的Jacobian矩陣，則有如下結(jié)果：

4.2 算法步驟

該算法計算步驟為：

第2步：計算出下層模型的Jacobian矩陣J()和J()，將客流量值代入Jacobian矩陣J()中，并根據(jù)式（19）計算出?y()，得到客流量對通行費率的導(dǎo)數(shù)值；

5 算例分析

本算例選取江蘇省某高速公路斷面逐小時交通量為研究對象，首先，計算每個小時交通量的峰擬合度與谷擬合度，將出行者出行時間劃分成若干時段；其次，標(biāo)定各個時段的出行價格因素，計算各個時段的出行時間因素、出行舒適安全度綜合因素，并代入模型中；最后，結(jié)合靈敏度分析算法進(jìn)行計算，得出各個時段的通行費率與相應(yīng)的客流量。以期通過制定合理的分時段通行費率，達(dá)到引導(dǎo)出行者錯峰出行，調(diào)節(jié)客流量的效用。

5.1 數(shù)據(jù)輸入

該段高速公路的交通量時變圖為M形，有明顯的波峰波谷，高峰時段客流量較大，有時會出現(xiàn)擁堵情況。交通量時變圖如圖1所示。

圖1 江蘇省某高速公路斷面逐小時交通量圖

5.2 實驗方案

計算出每個小時的峰、谷擬合度，以70%為分割點，若峰擬合度大于70%，則該時段為峰時段；若峰擬合度在30%-70%之間，則該時段為平時段；若峰擬合度小于30%，則該時段為谷時段。一天被劃分為7個時段，根據(jù)前文的分析，相關(guān)計算結(jié)果見表2。

表2 各時段交通量、峰谷擬合度、偏離度、阻抗系數(shù)

出行價格因素、出行時間因素、出行舒適安全度綜合因素所占權(quán)重分別為：0.159 6、0.669 1、0.171 3。在本算例中，取1.3，因為時段為夜間時段，對于高速公路運營方而言，管理運營較其他時段難度稍大，對于出行者而言，便利性較低，所以t時段的取0.8，其他時段取0.7。取0.15，取4，取5元/萬km，取600輛/h。

為模擬初始狀態(tài)，令各時段的通行費率都為1。將權(quán)重擴大1倍、5倍、10倍、15倍、20倍、25倍、30倍、35倍、40倍，用MATLAB軟件分別計算出各時段的客流量。將各時段計算得出的客流量與實際客流量之間差值的絕對值加總，記為。計算結(jié)果見表3。

表3 權(quán)重φ1,φ2,φ3 擴大后的各時段客流量

值在一定程度上可以反映出模型的擬合效果，由表3可知，權(quán)重、、擴大20倍后值最小，故本文將權(quán)重、、擴大20倍。

將參數(shù)取值代入雙層規(guī)劃模型中，本算例上層模型為：

下層模型為：

高速公路運營方給定各時段的通行費率，出行者做出對應(yīng)的出行決策，運營方會根據(jù)出行者的出行決策調(diào)整通行費率，同時出行者會根據(jù)新的通行費率做出新的決策。運營方給定的各時段初始通行費率都為1，將其代入下層模型，得出各時段對應(yīng)的客流量，運用前文所述靈敏度分析算法確定高速公路各時段客流量對通行費率的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，通過泰勒展開式計算出高速公路各個時段的客流量與其對應(yīng)通行費率的反應(yīng)函數(shù)，將其代入上層模型，計算得出第1步的分時段通行費率，再將其代入下層模型，得出與之對應(yīng)的分時段客流量。重復(fù)這個迭代過程，直到運營方給出的通行費率與上一輪相比差值在一個可接受范圍內(nèi)，即停止迭代計算。經(jīng)過4 步迭代，最終得到誤差值＜0.005的分時段通行費率，見表4。

表4 迭代計算結(jié)果

5.3 結(jié)果分析

經(jīng)過4步迭代，可得各時段的通行費率分別為0.8、0.944 9、1.250 1、1.123 9、1.248 2、1.012 2、0.851 9。通過計算可知，制定分時段通行費率前，上層規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)值為46 400元，下層規(guī)劃模型中出行者廣義費用為364.38元；將第4步迭代計算結(jié)果代入雙層規(guī)劃模型中，可得分時段通行費率下，上層規(guī)劃模型目標(biāo)函數(shù)值為50 511.4元，下層規(guī)劃模型中出行者廣義費用為375.2元。對比制定分時段通行費率前后的客流量，可知對不同時段按相應(yīng)的通行費率征收費用，可以在滿足上層規(guī)劃模型高速公路運營方利益最大化目標(biāo)，考慮下層規(guī)劃模型出行者廣義費用最小化目標(biāo)下，有效地轉(zhuǎn)移高峰時段客流量，緩解了該高速公路路段早晚高峰的擁堵情況，同時，更好地發(fā)揮了高速公路谷時、平時的運行效能，對高速公路交通流起到了顯著的均衡作用，如圖2所示。

圖2 制定分時段通行費率前后客流量對比圖

6 結(jié)語

制定合理的分時段通行費率是轉(zhuǎn)移高峰時段客流量的有效手段之一，本文首先運用模糊數(shù)學(xué)將出行者出行時段劃分為峰、平、谷時段；其次，構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型，上層模型以高速公路運營方收益最大化為目標(biāo)，下層模型以出行者廣義出行費用最小化為目標(biāo)，在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上構(gòu)建了考慮高速公路出行者出行價格因素、出行時間因素、出行舒適安全度綜合因素的廣義出行費用函數(shù)；最后，運用基于靈敏度分析方法的啟發(fā)式算法求解，得到各個時段的差異化通行費率以及相應(yīng)的客流量分布，并通過算例分析驗證了模型算法的有效性。研究結(jié)果表明，分時段的通行費率可以有效地對交通流起到削峰填谷的作用，在考慮高速公路運營方與出行者雙方利益的條件下，使高速公路交通量得以均衡。