劉靈靈

(石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，河北 石家莊 050043)

0 引言

材料力學(xué)學(xué)習(xí)中，組合變形部分是綜合性較強(qiáng)的內(nèi)容，需要學(xué)生對(duì)該章之前的內(nèi)容熟練掌握，再借助于對(duì)一些新概念的準(zhǔn)確理解，才能真正學(xué)好本章知識(shí)。斜彎曲是組合變形中的一種情況，也是一個(gè)新概念，這一概念是與前面涉及的平面彎曲相對(duì)應(yīng)的，那么什么時(shí)候發(fā)生平面彎曲？什么時(shí)候發(fā)生斜彎曲？?jī)煞N不同的彎曲變形，變形之后撓曲線有什么特點(diǎn)？斜彎曲到底“斜”在哪里？學(xué)生在學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生困惑。國(guó)內(nèi)經(jīng)典材料力學(xué)教材[1-4]針對(duì)這個(gè)概念，大致給出了兩種定義，一種定義是以力與位移的方向是否一致來判斷，另一種定義是考慮彎矩矢量方向與中性軸方向是否一致來判斷，兩種定義側(cè)重點(diǎn)不同，對(duì)一些特殊情況的判斷會(huì)有所差異，下面分別進(jìn)行闡釋。

1 斜彎曲的第一種定義

針對(duì)平面彎曲，教材[1-2]定義為：梁發(fā)生彎曲變形后，梁的撓曲線為外力作用平面內(nèi)的一條平面曲線，教材[3]定義為：當(dāng)梁上所有外力都在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，彎曲變形后的軸線將是位于這個(gè)對(duì)稱面內(nèi)的一條曲線，教材[4]定義為：當(dāng)所有外力都作用于桿件的同一主軸平面(形心主軸與梁的軸線構(gòu)成的縱向平面)時(shí)，桿件變形后的軸線將彎成一條位于外力作用平面內(nèi)的曲線。這些定義都是從撓曲線與外力作用面的關(guān)系著手，給出了平面彎曲的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)平面彎曲后梁的撓曲線仍為一條平面曲線。對(duì)于通常討論的對(duì)稱彎曲，要求橫截面有對(duì)稱軸，所有外載荷都作用于同一個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，如圖1所示，力的作用面和梁的位移均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，故對(duì)稱彎曲是一種特殊的平面彎曲。

圖1 平面彎曲

如果外力不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁在變形后的軸線將不再位于外力所在平面，這種彎曲稱為斜彎曲[5]。教材[4]給出的斜彎曲定義為：載荷不作用在主軸平面內(nèi)時(shí)所發(fā)生的彎曲稱為斜彎曲。如圖2所示矩形截面懸臂梁即發(fā)生了斜彎曲變形。這一定義以力和位移的方向是否一致進(jìn)行判斷，一致即為平面彎曲，不一致即為斜彎曲，判斷方法形象直觀，便于工程師應(yīng)用。該定義適合于梁上受到同一方向橫向載荷作用的情況，針對(duì)彎曲梁整體而言。

圖2 斜彎曲

2 斜彎曲的第二種定義

如果橫向載荷是作用在兩個(gè)方向，以圓形截面梁為例，受力如圖3所示，橫向力分別作用在兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，在兩個(gè)載荷的相互作用下，力的作用方向與整體梁的位移方向是不一致的，按照第一種定義，該梁發(fā)生的應(yīng)是斜彎曲變形。但是根據(jù)通常的理解，圓截面是不會(huì)發(fā)生斜彎曲變形的，這里給出平面彎曲和斜彎曲的第二種定義。教材[6]給出的定義為：當(dāng)彎矩矢量平行于任一形心主軸時(shí)，中性軸平行于彎矩矢量，即中性軸垂直于彎矩的作用面，這種彎曲稱為平面彎曲；當(dāng)中性軸的方向與彎矩矢量的方向不同，或中性軸不垂直于彎矩的作用面，這種彎曲稱為斜彎曲。該定義以中性軸方向與橫截面上彎矩矢量的方向是否一致進(jìn)行判斷，一致即為平面彎曲，不一致即為斜彎曲，彎曲的類型是針對(duì)某一橫截面的。通過簡(jiǎn)單計(jì)算即可判斷，圖3任一橫截面上彎矩矢量方向和中性軸方向均一致，可見圖3發(fā)生的是平面彎曲，橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力仍可按照平面彎曲正應(yīng)力的公式進(jìn)行計(jì)算。

圖3 圓形截面梁的彎曲

(1)

設(shè)該截面上中性軸與y軸的夾角為θ，則：

(2)

顯然對(duì)于矩形截面Iy≠Iz，故θ≠φ，即中性軸的方向與彎矩矢量方向不一致，此時(shí)所發(fā)生的彎曲即為斜彎曲，正應(yīng)力計(jì)算按兩個(gè)方向的平面彎曲進(jìn)行疊加。

圖4 矩形截面梁的彎曲

3 斜彎曲情況下位移與中性軸的關(guān)系

眾所周知，梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，位移方向與載荷方向一致，與中性軸方向垂直。發(fā)生斜彎曲時(shí)，位移方向與載荷作用方向不再重合，這也是“斜”的本質(zhì)，那么位移和中性軸之間是否還存在垂直關(guān)系呢？下面分兩種情況進(jìn)行簡(jiǎn)單定量分析。

圖5所示矩形截面懸臂梁發(fā)生斜彎曲變形，設(shè)合成彎矩M與y軸的夾角為φ，該截面上中性軸與y軸的夾角為θ，則：

(3)

圖5 矩形截面梁的斜彎曲

矩形截面Iy≠Iz，故θ≠φ。m-m橫截面的形心沿z軸和y軸方向的撓度分別為：

(4)

考慮圖4的受力情況，AB段梁m-m橫截面的形心沿z軸和y軸方向的撓度分別為：

(5)

設(shè)合成撓度與z軸的夾角為ψ，則：

(6)

對(duì)比式(2)和式(6)，得到θ≠ψ，即該截面的位移與中性軸不是垂直的關(guān)系，教材[7-10]中討論了同樣的問題，指出此時(shí)撓度和中性軸是垂直的，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。該情況下橫截面中性軸和位移的方向會(huì)隨著截面位置的變化而變化，撓曲線是一條空間曲線。

4 與工程實(shí)際的聯(lián)系

工程設(shè)計(jì)中，強(qiáng)度和剛度問題是工程師們十分關(guān)心的問題。對(duì)于平面彎曲和斜彎曲，彎曲正應(yīng)力和撓度的計(jì)算公式是不同的，工程師在分析一個(gè)具體彎曲問題時(shí)，首先要明確該問題的特點(diǎn)，其次依據(jù)不同的公式對(duì)問題進(jìn)行強(qiáng)度和剛度分析。

以圖5為例，假設(shè)矩形截面高寬比為3.3，外力偏離y軸5°，則彎曲平面與y軸的傾角約為44°，最大正應(yīng)力較外力不傾斜時(shí)增大約30%?？梢妼?duì)于高而狹長(zhǎng)的梁，由于對(duì)截面兩個(gè)形心主軸的抗彎截面系數(shù)相差很大，使得外力稍有偏斜便會(huì)發(fā)生斜彎曲變形，從而引起很大的撓度，最大正應(yīng)力也會(huì)顯著增大，對(duì)梁的剛度和強(qiáng)度造成不利影響。例如吊車起吊重物時(shí)，如果吊車橫梁為工字型截面或其它狹長(zhǎng)截面，應(yīng)盡可能地使起吊載荷沿截面的形心主慣性軸方向，避免因發(fā)生斜彎曲而產(chǎn)生過大的正應(yīng)力和變形，造成不可挽回的損失。如果設(shè)計(jì)中采用箱型截面，從強(qiáng)度和剛度角度考慮就要比單一工字鋼設(shè)計(jì)優(yōu)越很多。

5 結(jié)論

(1) 本文討論了經(jīng)典教材中關(guān)于平面彎曲和斜彎曲的兩種定義,一種定義考慮力的方向與位移方向是否一致，適用于梁上僅作用一個(gè)方向橫向力的情況，形象直觀，易于判斷；另一種定義考慮橫截面上彎矩矢量方向與中性軸方向是否一致，理論性稍強(qiáng)，但抓住了斜彎曲的本質(zhì)。

(2) 所謂“斜”的含義，可以理解為彎曲變形不發(fā)生在外力作用面內(nèi)，也可以理解為中性軸方向與彎矩矢量方向不再是同一個(gè)方向。

(3) 指出了教材[7-10]中的一處錯(cuò)誤,梁發(fā)生斜彎曲時(shí)任一橫截面形心的合成撓度方向不一定垂直于中性軸方向，需要根據(jù)具體的受力情況進(jìn)行分析。