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        Heisenberg李代數(shù)的形心

        2023-04-29 13:14:05余德民馬潔京蔣嬋
        關(guān)鍵詞:形心自同構(gòu)維和

        余德民 馬潔京 蔣嬋

        摘要:Heisenberg李代數(shù)是一類重要的可解李代數(shù), 有深刻的物理背景, 因而也是李代數(shù)研究的重要對象之一. 李代數(shù)的形心是研究李代數(shù)結(jié)構(gòu)的必要工具. 特別地, 形心具有自然的環(huán)結(jié)構(gòu), 其所有可逆元構(gòu)成一個群. 本文討論了有限維和無限維Heisenberg李代數(shù)的形心及其結(jié)構(gòu).

        關(guān)鍵詞:李代數(shù); 形心; 群; 環(huán)

        中圖分類號: O152.5??文獻標(biāo)識碼:A???DOI:10.19907/j.0490-6756.2023.051004

        收稿日期: ?2023-03-23

        基金項目: ?國家自然科學(xué)基金(11771135); 湖南理工學(xué)院科研創(chuàng)新團隊基金(2019-TD-15)

        作者簡介: ??余德民(1975-), 男, 湖南岳陽人, 副教授, 主要研究領(lǐng)域為李代數(shù). E-mail: yudeming8640024@126.com

        On the centroid of Heisenberg Lie algebra

        YU De-Min, MA Jie-Jing, JIANG Chan

        (College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

        Heisenberg Lie algebra belongs to a class of solvable Lie algebras. It has a deep physical background and thus is an important object of Lie algebra study. The centroid of Lie algebra is a necessary tool for the study of structure of Lie algebra. Particularly, the center of shape has a natural ring structure and all its invertible elements form a group. In this paper, the centroid and structure of finite-or infinite-dimensional Heisenberg Lie algebra are discussed.

        Lie algebra; Centroid; Group; Ring

        (2010 MSC 17B30, 17D25)

        1 引 ?言

        形心是李代數(shù)研究中的一個基本概念 ?[1] , 也是究李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論一個重要工具. 當(dāng)前,對李代數(shù)形心的研究已有部分結(jié)果, 如陳和高研究了擴張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)的形心 ?[2] , 王和張研究了 n -李超代數(shù)的形心 ?[3] , 周和曹研究了Jordan-李代數(shù)的形心 ?[4] , Bai等 ?[5] Liu等 ?[6] 和曹燕等 ?[7] 分別研究了 n -李代數(shù)、李三系、Leibniz三系代數(shù)的形心,等.

        值得注意的是, 現(xiàn)有文獻中研究無限維李代數(shù)、無限維李超代數(shù)及無限維 n -李代數(shù)上的形心的較多, 而研究有限維李代數(shù)的形心及其形心結(jié)構(gòu)的卻很少. 鑒于此, 本文將討論有限維李代數(shù)和無限維李代數(shù)的形心及其結(jié)構(gòu).

        Heisenberg代數(shù)是一類二步冪零李代數(shù),其中心是一維的. 它有深刻的物理背景, 因而是李代數(shù)研究的重要對象.文獻[8]研究了Heisenberg李代數(shù)的自同構(gòu)群,文獻[9]研究了Heisenberg李代數(shù)的Rota-Baxter算子, 而文獻[10]則研究了Heisenberg李代數(shù)的自同構(gòu)及擬自同構(gòu).

        Heisenberg代數(shù)的可解擴張李代數(shù)(我們稱其為擴張Heisenberg代數(shù))是一類可解李代數(shù). 可解李代數(shù)在有限維李代數(shù)研究中占有重要地位. 因此, 進一步研究擴張Heisenberg代數(shù)的代數(shù)性質(zhì)是有理論意義的. 文獻[11]研究了擴張Heisenberg代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)與自同構(gòu)群及二維復(fù)射影空間的實子流形.

        形心屬于李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和交叉問題, 而李代數(shù)結(jié)構(gòu)與表示問題一直是李代數(shù)研究的熱點問題 ?[12-16] ?.

        余德民, 等: Heisenberg李代數(shù)的形心

        本文主要研究有限維和無限維Heisenberg李代數(shù)的形心及其結(jié)構(gòu), 重點研究其群和環(huán)結(jié)構(gòu). 形心具有自然的環(huán)結(jié)構(gòu), 它的所有可逆元構(gòu)成一個群. 由于形心首先是線性變換, 因而形心在選定的一組基下就與矩陣形成一一對應(yīng)關(guān)系. 本文在研究有限維Heisenberg 李代數(shù)時將利用形心的定義找出矩陣所應(yīng)滿足的條件. 文中相對重要的定理是引理2.2、定理3.5及定理4.2.

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