王懷玉

(清華大學(xué) 物理系， 北京 100084)

0 引言

在量子力學(xué)教科書(shū)中，薛定諤方程描述微觀粒子的非相對(duì)論運(yùn)動(dòng)，克萊因-高登方程描述自旋為0粒子的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)，狄拉克方程描述自旋1/2的粒子的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)。

實(shí)際上，薛定諤方程是狄拉克方程的一個(gè)低動(dòng)量近似[1-6]。而經(jīng)典力學(xué)中，牛頓力學(xué)只是相對(duì)論力學(xué)的低動(dòng)量近似?？瓷先ィΧㄖ@方程和相對(duì)論量子力學(xué)方程的關(guān)系，與牛頓力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)的關(guān)系一樣。但是并不盡然。相對(duì)論量子力學(xué)方程比經(jīng)典的狹義相對(duì)論力學(xué)至少多了一個(gè)內(nèi)容：前者有負(fù)動(dòng)能解。以狄拉克方程

(1)

為例，這個(gè)方程在勢(shì)能為零時(shí)的自由粒子的能量本征值為

(2)

有兩支能量。一支是正動(dòng)能的，一支是負(fù)動(dòng)能。本文作者的研究表明[7]，狄拉克方程除了正能解有低動(dòng)量近似之外，負(fù)能解也應(yīng)該有低動(dòng)量近似。把這兩個(gè)近似簡(jiǎn)捷回顧如下。

對(duì)于式(1)中的波函數(shù)做變換

Ψ=ψ(+)e-imc2t/?

(3)

式(3)代入式(1)，然后做低動(dòng)量近似，得到波函數(shù)ψ(+)滿足的薛定諤方程[1-6]。

(4)

這個(gè)方程是狄拉克方程的正動(dòng)能解的低動(dòng)量近似，因此只適用于粒子的能量E大于勢(shì)能V的區(qū)域。我們還可以做另一個(gè)變換[7]，

Ψ=ψ(-)eimc2t/?

(5)

式(5)和(3)兩個(gè)變換只是在指數(shù)上差一負(fù)號(hào)。式(5)代入式(1)，然后做低動(dòng)量近似，得到波函數(shù)ψ(-)滿足的方程，

(6)

與薛定諤方程(4)相比，式(6)的動(dòng)能算符有一負(fù)號(hào)，所以叫做負(fù)動(dòng)能薛定諤方程。它是狄拉克方程的負(fù)動(dòng)能解的低動(dòng)量近似，因此，只適用于粒子的能量E小于勢(shì)能V的區(qū)域。我們將兩個(gè)低動(dòng)量方程及其使用范圍列于表1。

表1 量子力學(xué)的兩個(gè)低動(dòng)量方程. E表示粒子的能量

我們回顧狹義相對(duì)論創(chuàng)立的年代，如果不是從狹義相對(duì)論公式做低速近似，誰(shuí)也不會(huì)知道牛頓公式只適用于低速運(yùn)動(dòng)。因?yàn)閺呐ｎD公式本身，是看不出這一點(diǎn)的?，F(xiàn)在，如果不是從相對(duì)論量子力學(xué)方程做低動(dòng)量近似，誰(shuí)也不會(huì)知道應(yīng)該還有一個(gè)負(fù)動(dòng)能低動(dòng)量方程。因?yàn)閺难Χㄖ@方程本身，是看不出這一點(diǎn)的。

眾所周知，在到目前為止的經(jīng)典力學(xué)中，動(dòng)能只可能是正的，不可能是負(fù)的。在量子力學(xué)的薛定諤方程在E>V的情況，是有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的。人們發(fā)現(xiàn)，在粒子的能量E小于勢(shì)能V，E

可是，作者指出[7]，薛定諤方程在勢(shì)壘區(qū)域是否適用，既沒(méi)有實(shí)驗(yàn)上的定量驗(yàn)證，也沒(méi)有理論上的嚴(yán)格推導(dǎo)。通過(guò)以上式(5)和(6)的步驟，作者從理論上嚴(yán)格推導(dǎo)出了負(fù)動(dòng)能薛定諤方程。并且論證薛定諤方程和負(fù)動(dòng)能薛定諤方程的適用范圍，如表1所示。

薛定諤方程和負(fù)動(dòng)能薛定諤方程結(jié)合成一對(duì)方程，使得相對(duì)論量子力學(xué)方程關(guān)于正負(fù)動(dòng)能解的三個(gè)對(duì)稱性在低動(dòng)量運(yùn)動(dòng)得以保留[7]。第一個(gè)是正負(fù)動(dòng)能解的對(duì)稱性，如式(2)所示。第二個(gè)是正負(fù)動(dòng)能解的流密度數(shù)值相同方向相反。第三個(gè)是如果勢(shì)能取相反數(shù)，則方程的本征值取相反數(shù)，正負(fù)動(dòng)能解交換。作為相對(duì)論量子力學(xué)方程的一個(gè)低動(dòng)量近似的薛定諤方程則沒(méi)有這三個(gè)對(duì)稱性?？芍Χㄖ@方程有缺陷。而負(fù)動(dòng)能薛定諤方程的出現(xiàn)，彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷。

由此，作者認(rèn)為，量子力學(xué)的負(fù)動(dòng)能解與正動(dòng)能解應(yīng)該具有完全同等的地位。據(jù)此，作者圓滿解決了一個(gè)相對(duì)論粒子遇到勢(shì)壘時(shí)的克萊因佯謬[8]。作者還研究了負(fù)動(dòng)能態(tài)的占據(jù)的問(wèn)題[9]和負(fù)動(dòng)能物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程[10]。作者還建議實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證負(fù)動(dòng)能電子[7]。事實(shí)上，關(guān)于正負(fù)動(dòng)能的對(duì)稱性是自然界中廣泛存在的，作者對(duì)于維里定理的研究[11]表明了這一點(diǎn)。

到目前為止，量子力學(xué)教科書(shū)上求解的勢(shì)壘問(wèn)題都是使用薛定諤方程。我們現(xiàn)在已經(jīng)證明，薛定諤方程只適用于正動(dòng)能的區(qū)域，而對(duì)于負(fù)動(dòng)能的區(qū)域，必須使用負(fù)動(dòng)能薛定諤方程。既然如此，以往的勢(shì)壘問(wèn)題都必須在新的觀點(diǎn)下進(jìn)行考察。本文重新求解了量子力學(xué)上幾個(gè)常見(jiàn)的勢(shì)壘問(wèn)題，得到的結(jié)果與量子力學(xué)教科書(shū)有所不同。本文只考慮定態(tài)問(wèn)題。

1 幾個(gè)一維勢(shì)壘問(wèn)題的重新求解

1.1 一維有限深方勢(shì)阱

一維有限深方勢(shì)阱為

(7)

設(shè)粒子的能量為E，并且我們只考慮如下的能量范圍：

0

(8)

我們分三個(gè)區(qū)寫(xiě)出粒子的波函數(shù)所滿足的方程。由能量與勢(shì)能的關(guān)系可知，在x<0的區(qū)域I和x>a的區(qū)域III，粒子的動(dòng)能是正負(fù)的，應(yīng)服從負(fù)動(dòng)能薛定諤方程；在0≤x≤a的區(qū)域II，粒子的動(dòng)能是正的，應(yīng)服從薛定諤方程。由此，這三個(gè)勢(shì)能區(qū)域的波函數(shù)滿足的方程和能量動(dòng)量關(guān)系應(yīng)如下。

(9a)

(9b)

(9c)

其中所有的動(dòng)量都是正數(shù)。容易看到，每個(gè)區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)都是平面波的疊加。

我們?cè)O(shè)：在左右兩側(cè)，沒(méi)有粒子從無(wú)窮遠(yuǎn)處入射。因此，在區(qū)域I，只有從右向左的波，在區(qū)域III，只有從左向右的波。先嘗試把三個(gè)區(qū)域中粒子的波函數(shù)寫(xiě)成如下形式。

ψI=B1e-iq1x/?

(10a)

ψII=A1eipx/?+A2e-ipx/?

(10b)

ψIII=B2eiq2x/?

(10c)

在邊界x=0和x=a處，波函數(shù)連續(xù)的條件是

B1=A1+A2

(11a)

A1eipa/?+A2e-ipa/?=B2eiq2a/?

(11b)

波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件是

-q1B1=p(A1-A2)

(12a)

p(A1eipa/?-A2e-ipa/?)=q2B2eiq2a/?

(12b)

由此四式解得系數(shù)有非零解的條件是

-2p(q1+q2)cos(pa/?)+2i(p2+q1q2)sin(pa/?)=0

(13)

由于動(dòng)量都是正數(shù)，式(13)要求實(shí)部和虛部都為零。先看虛部。注意，q1=-q2=p是不可能的，因?yàn)閺氖?10c)知-q2表示第III區(qū)域的波是從左往右的，這意味著右側(cè)會(huì)有粒子從外入射而沒(méi)有出射，與我們上面的假設(shè)矛盾。因此虛部只能要求

sin(pa/?)=0

(14)

在這個(gè)前提下，式(13)實(shí)部為零的條件是

q1=q2=0

(15)

將式(15)代入(12)，則得不到非零解。說(shuō)明式(11)和(12)寫(xiě)得不正確。而此兩式來(lái)源于波函數(shù)的形式(10)式。

由式(15)可知，在區(qū)域I和III實(shí)際上并沒(méi)有平面波。因此，這兩個(gè)區(qū)域的波函數(shù)為零?？梢?jiàn)，嘗試波函數(shù)(10)寫(xiě)得不對(duì)，應(yīng)寫(xiě)成

x<0:ψI=0

(16a)

0≤x≤a:ψII=A1eipx/?+A2e-ipx/?

(16b)

x>a:ψIII=0

(16c)

如此，只有波函數(shù)在邊界上連續(xù)的條件，就是式(11)。并且其中

B1=B2=0

(17)

由此得到式(14)。最后得到勢(shì)阱中波函數(shù)為

(18)

并且由式(14)有

(19)

粒子的能量就是

(20)

可見(jiàn)，有限深勢(shì)阱中的波函數(shù)和能級(jí)與無(wú)限深勢(shì)阱中的情況完全相同。只是有限勢(shì)阱中的束縛態(tài)能級(jí)有一個(gè)上限V1，由式(8)所決定。

我們這一結(jié)果顯然與量子力學(xué)教科書(shū)上的結(jié)果不同[4-6,12-14]。這是因?yàn)椋m然現(xiàn)在兩側(cè)的勢(shì)壘是有限高的，但是無(wú)限寬的。在勢(shì)壘中也是平面波。既然粒子是局域在勢(shì)阱中，且沒(méi)有粒子從無(wú)限遠(yuǎn)處入射，勢(shì)壘區(qū)域的波函數(shù)就只能為0，所以，波函數(shù)只能存在于阱內(nèi)的區(qū)域。

由于本文的結(jié)果與教科書(shū)上的結(jié)果有區(qū)別，作者在此做一點(diǎn)評(píng)述。在參考文獻(xiàn)[7]中，作者指出，教科書(shū)上對(duì)于勢(shì)壘穿透模型，既沒(méi)有實(shí)驗(yàn)上的定量驗(yàn)證，也沒(méi)有理論上的嚴(yán)格推導(dǎo)。本文以上結(jié)果，也只是理想模型。這個(gè)模型沒(méi)有實(shí)驗(yàn)上的定量驗(yàn)證。但是，在勢(shì)壘區(qū)域的方程是從狄拉克方程推導(dǎo)得到的，理論上是嚴(yán)格的。因此，本文的結(jié)果理論上是合理的。

1.2 三維有限深方勢(shì)阱

本題用三維球坐標(biāo)。設(shè)勢(shì)阱是

(21)

也可以稱為球形勢(shì)阱。我們考慮的粒子的能量范圍是

-V0

(22)

粒子在r≤a的區(qū)域具有正動(dòng)能，在r>a的區(qū)域具有負(fù)動(dòng)能。徑向函數(shù)R(r)在兩個(gè)區(qū)域滿足的正負(fù)薛定諤方程如下。

(23)

(24)

這兩個(gè)都是球貝塞爾方程，解是整數(shù)階球貝塞爾函數(shù)[15]?？紤]到邊界條件，在正負(fù)動(dòng)能區(qū)域的解分別用第一類(lèi)球貝塞爾函數(shù)和第一類(lèi)球漢克爾函數(shù)。

r≤a:R(r)=Ajl(κ1r)

(25)

r>a:R(r)=Bhl(κ2r)

(26)

在勢(shì)阱邊界用邊界條件。

Ajl(κ1a)=Bhl(κ2a),Aj′l(κ1a)=Bh′l(κ2a)

(27)

系數(shù)有非零解的條件是

(28)

利用貝塞爾函數(shù)之間的關(guān)系式[15]可計(jì)算得式(28)左邊的行列式，因結(jié)果較繁，就不寫(xiě)在這兒了，不過(guò)，它不為零。這就是說(shuō)，式(28)實(shí)際上不能滿足的。這說(shuō)明，在負(fù)動(dòng)能區(qū)域所設(shè)的波函數(shù)(26)不正確。在負(fù)動(dòng)能區(qū)域的波函數(shù)只能為零。所以，波函數(shù)只能取以下形式：

R(r)=Ajl(κ1r)θ(a-r)

(29)

其中，A是歸一化系數(shù)，κ1的取值滿足邊界條件

jl(κ1ia)=0,i=1,2,…

(30)

束縛態(tài)能級(jí)的上限由式(22)決定。

為清楚起見(jiàn)，我們來(lái)看最簡(jiǎn)單的情況。對(duì)于l=0的s態(tài)，

(31)

若解是式(25)和(26)，由這兩個(gè)函數(shù)計(jì)算式(22)的行列式，必須滿足下列條件。

κ2sin(κ1a)+iκ1cos(κ1a)=0

(32)

式(32)無(wú)解。這說(shuō)明，式(26)的波函數(shù)不正確。波函數(shù)只能寫(xiě)成式(29)的形式，即負(fù)動(dòng)能區(qū)域的波函數(shù)只能為零。本征值則由邊界條件(30)決定。

本題與1.1小節(jié)中的一維有限深勢(shì)阱的情況類(lèi)似，雖然勢(shì)壘區(qū)域有限高，但是無(wú)限寬。沒(méi)有粒子從無(wú)限遠(yuǎn)處入射。所以勢(shì)壘區(qū)的波函數(shù)只能為零。

按照教科書(shū)[2,4,5,6,13]，由于在勢(shì)壘區(qū)域也是用薛定諤方程，勢(shì)壘區(qū)域中有指數(shù)衰減的波函數(shù)。可是這樣的認(rèn)識(shí)不正確的。原因如下。

當(dāng)粒子做相對(duì)論運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，由于正負(fù)能譜之間有2mc2的能隙，例如，自由粒子的式(1)就是如此。粒子不能在這個(gè)能隙內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因此，在這個(gè)能隙內(nèi)，粒子的動(dòng)量是虛數(shù)，波函數(shù)是指數(shù)式的[8]。當(dāng)粒子做低動(dòng)量運(yùn)動(dòng)時(shí)，能量動(dòng)量關(guān)系不是式(1)這樣的形式，能量動(dòng)量關(guān)系中沒(méi)有這樣的能隙。因此，粒子的動(dòng)量不會(huì)是虛數(shù)。

1.3 三維有限高球形勢(shì)壘

本題用球坐標(biāo)。球方勢(shì)壘是指如下的勢(shì)能。

(33)

我們考慮的粒子能量的范圍是

0

(34)

這個(gè)問(wèn)題也屬于低能散射的一個(gè)問(wèn)題。粒子在r>a的區(qū)域具有正動(dòng)能，在r≤a的區(qū)域具有負(fù)動(dòng)能。徑向函數(shù)R(r)在兩個(gè)區(qū)域滿足的正負(fù)薛定諤方程如下。

(35)

(36)

這兩個(gè)都是球貝塞爾方程，解是整數(shù)階球貝塞爾函數(shù)。將兩個(gè)區(qū)域的解寫(xiě)成如下形式，

r≤a:R(r)=jl(κ1r)

(37)

r>a:R(r)=Ajl(κ2r)+Byl(κ2r)

(38)

利用邊界條件，解得系數(shù)的表達(dá)式為

(39)

能量可以是連續(xù)譜。

我們來(lái)看最簡(jiǎn)單的情況。對(duì)于l=0的s態(tài)，球貝塞爾函數(shù)為

(40)

可以求解出系數(shù)A和B，只是表達(dá)式較繁。徑向波函數(shù)就是

(41a)

(41b)

我們把這兒的結(jié)果與量子力學(xué)教科書(shū)上的結(jié)果[1,2,4,13]稍做比較。那兒對(duì)于l=0的s態(tài)寫(xiě)出的波函數(shù)是

(42a)

(42b)

比較本文的結(jié)果(41)式和教科書(shū)上的結(jié)果(42)式可知，在勢(shì)壘外的波函數(shù)的形式相同，在勢(shì)壘內(nèi)的波函數(shù)的形式有區(qū)別：分子上分別是正弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)，κ1?iκ1。這一差別是由于在勢(shì)壘內(nèi)部分別使用負(fù)動(dòng)能薛定諤方程和薛定諤方程造成的。由于勢(shì)壘內(nèi)部波函數(shù)的差別，在r=a的邊界處的連接條件導(dǎo)致式(41b)和(42b)中的系數(shù)有所不同。不過(guò)，當(dāng)勢(shì)壘的半徑趨于零，a→0，式(41)和(42)趨于完全相同。

1.4 一維線性勢(shì)

一個(gè)粒子受到一個(gè)常力F的作用，它的勢(shì)能是

V(x)=-Fx

(43)

教科書(shū)[2,5,13,14]上對(duì)此問(wèn)題有標(biāo)準(zhǔn)的解法。就是求解如下的薛定諤方程：

(44)

得到的解是Airy函數(shù)。

我們來(lái)比較粒子的能量和勢(shì)能。容易看到：當(dāng)x>-E/F，E>-Fx，動(dòng)能是正的；當(dāng)x<-E/F時(shí)，E<-Fx，動(dòng)能是負(fù)的。因此，在這兩個(gè)區(qū)域，粒子應(yīng)分別滿足薛定諤方程和負(fù)動(dòng)能薛定諤方程。

(45a)

(45b)

令

(46)

則方程(45)變換成如下形式。

(47a)

(47b)

式(47b)中做變量代換ζ=-ξ后，可成為和(47a)一樣的形式。因此，式(47)也可以統(tǒng)一地寫(xiě)成一個(gè)方程：

(48)

(49)

右邊是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的線性組合。它們實(shí)際上是±1/3階貝塞爾函數(shù)J±1/3。利用這個(gè)貝塞爾函數(shù)J±1/3，可把式(49)寫(xiě)成更為緊湊的形式：

(50)

這是在區(qū)域ξ>0的解。類(lèi)似地，在區(qū)域ξ<0的解應(yīng)該是

(51)

在ξ=0處，波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)。我們就得到

B2=B1,A2=-A1

(52)

此二式還不足以定四個(gè)系數(shù)，因?yàn)檫€只用到了一個(gè)邊界的條件。另外還有在無(wú)限遠(yuǎn)處的邊界條件。無(wú)限遠(yuǎn)處，可以用貝塞爾函數(shù)的漸近形式[15]。

(53)

注意到統(tǒng)一的方程(48)具有一定的對(duì)稱性。它就應(yīng)該有對(duì)稱或者反對(duì)稱解。因此，兩個(gè)區(qū)域的波函數(shù)的振幅就應(yīng)該相等。所以只可能有兩種選擇：一個(gè)是A1=0，這是對(duì)稱解；另一個(gè)是B1=0，這是反對(duì)稱解。

由于使用了負(fù)動(dòng)能薛定諤方程，我們得到的解與量子力學(xué)書(shū)上教科書(shū)[2,5,13,14]上的結(jié)果Airy函數(shù)是不同的。在此想說(shuō)明一點(diǎn)。勢(shì)能函數(shù)(43)具有一定程度的左右對(duì)稱性：以能量等于勢(shì)能點(diǎn)為界，勢(shì)能相當(dāng)于是關(guān)于此點(diǎn)左右反對(duì)稱的。相應(yīng)地，方程應(yīng)具有式(48)所顯示的對(duì)稱性。由于勢(shì)能和方程具有這樣的對(duì)稱性，我們期望解也是有一定的對(duì)稱性。我們此處的解確實(shí)有左右對(duì)稱或者反對(duì)稱的 。而教科書(shū)上，在這種勢(shì)能時(shí)求得的解是Airy函數(shù)，完全沒(méi)有左右對(duì)稱性。我們認(rèn)為，相比之下，此處的解在物理上更為合理一些。

1.5 Kronig-Penney模型

Kronig-Penney模型[13,16]的勢(shì)能是

(54)

這是一個(gè)周期勢(shì)場(chǎng)。把V(x)=0的區(qū)間稱為勢(shì)阱區(qū)間，V(x)=V0的區(qū)間稱為勢(shì)壘區(qū)間。我們考慮的粒子能量范圍是

0

(55)

因此，粒子在勢(shì)阱區(qū)間具有正動(dòng)能，應(yīng)遵從薛定諤方程；而在勢(shì)壘區(qū)間具有負(fù)動(dòng)能，應(yīng)服從負(fù)動(dòng)能薛定諤方程。

分別寫(xiě)出勢(shì)阱和勢(shì)壘區(qū)間的方程與能量動(dòng)量關(guān)系如下。

(56)

(57)

已知薛定諤方程中的勢(shì)能如果是周期的，方程的解就是布洛赫波[4,5,12,16]。現(xiàn)在波函數(shù)在不同區(qū)域分別遵循不同的方程(56)和(57)，它是否仍然具有布洛赫波的性質(zhì)？答案是肯定的。這一點(diǎn)容易證明。

我們可以把式(56)和(57)合并成如下形式：

(58)

這是一個(gè)薛定諤方程，其中的勢(shì)能是如下的“周期勢(shì)”。

(59)

所以，由式(56)和(57)求出的波函數(shù)確實(shí)是布洛赫波。

滿足式(56)和(57)的波函數(shù)應(yīng)該都是平面波的線性疊加。

ψI=Aeiqx+Be-iqx

(60)

ψII=Ceipx+De-ipx

(61)

在邊界處，波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)。再加上一個(gè)布洛赫定理。即可得到式(60)和(61)有非零解的條件是

pq+pqei2Kc+[(p2+q2)sin(qa)sin(pb)-

2pqcos(qa)cos(pb)]eiKc=0

(62)

其中K是倒格矢。粗一看，式(62)似乎含有兩式：實(shí)部和虛部各有一式。實(shí)際上，這兩式剛好是一樣的：

(63)

這一結(jié)果可以與教科書(shū)[13,16]中的結(jié)果做比較。這一結(jié)果與教科書(shū)上的結(jié)果的差別是：將此處的p代之以ip就可以得到教科書(shū)[13,16]中的結(jié)果。

當(dāng)所有勢(shì)壘區(qū)的寬度趨于0，高度趨于無(wú)限大，就是狄拉克梳。我們來(lái)取這個(gè)極限。

b→0,pb→0,p?q

(64)

令

p2ab/2=P

(65)

是個(gè)常數(shù)。那么可以得到

(66)

這就是狄拉克梳的結(jié)果[4,5,12,13,16]。

此處的結(jié)果與教科書(shū)上的結(jié)果的差別是：教科書(shū)上，在勢(shì)壘區(qū)間的波函數(shù)是指數(shù)波，本文的是平面波。但是在勢(shì)壘寬度趨于零時(shí)，兩者趨于相同的結(jié)果，即(66)式。這說(shuō)明勢(shì)壘區(qū)越窄，這兩者的差別越小。這在物理上也是容易理解的。勢(shì)壘區(qū)間越寬，指數(shù)波的變化越大。

我們來(lái)考慮固體中的情況。在格點(diǎn)上是離子實(shí)，離子實(shí)之間因相互作用而形成穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。價(jià)電子在固體內(nèi)運(yùn)動(dòng)。靠近離子實(shí)的區(qū)域，是勢(shì)阱，價(jià)電子應(yīng)該具有正動(dòng)能；在離子實(shí)之間的區(qū)域，應(yīng)該有勢(shì)壘。對(duì)于金屬而言，勢(shì)壘應(yīng)該是比較低的。所以金屬中的電子可以看做是近似自由的。對(duì)于其它情況，勢(shì)壘就相對(duì)比較高。勢(shì)壘區(qū)域內(nèi)的電子應(yīng)該具有負(fù)動(dòng)能?，F(xiàn)在計(jì)算固體電子結(jié)構(gòu)的第一性原理程序，除了考慮相對(duì)論效應(yīng)之外，都是使用薛定諤方程。按照作者的觀點(diǎn)，在勢(shì)壘區(qū)域是需要應(yīng)用負(fù)動(dòng)能薛定諤方程的。那么，在勢(shì)壘區(qū)域，是平面波的疊加而不是指數(shù)波的疊加。由于勢(shì)壘區(qū)域的寬度是非常窄的，在絕大多數(shù)情況下勢(shì)壘內(nèi)部的指數(shù)波與平面波的差別可以忽略不計(jì)。但是也可能在某些情況下這樣的差別會(huì)有一定的影響。目前的第一性原理計(jì)算程序?qū)τ诓牧系碾娮咏Y(jié)構(gòu)的描述非常好。但還是有一點(diǎn)的表現(xiàn)不是令人滿意的：對(duì)于有些材料計(jì)算聲子譜的時(shí)候，在布里淵區(qū)中心點(diǎn)附近會(huì)計(jì)算出負(fù)頻率，其原因未知。如果公式推導(dǎo)正確和編寫(xiě)程序無(wú)誤，不應(yīng)該出現(xiàn)負(fù)頻率這樣的結(jié)果。有的文獻(xiàn)用引入多聲子的高階項(xiàng)的辦法，來(lái)得到負(fù)頻率消失的結(jié)果，但是這個(gè)辦法的正確性是需要探究的。作者的建議是在勢(shì)壘區(qū)域運(yùn)用負(fù)動(dòng)能薛定諤方程做計(jì)算，以期有所幫助。

1.6 WKB近似

假設(shè)勢(shì)能的變化緩慢，粒子運(yùn)動(dòng)在正負(fù)動(dòng)能的區(qū)域之間。那么，在正負(fù)動(dòng)能變化的那一點(diǎn)，稱為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在粒子的動(dòng)量較低時(shí)，有WKB近似法[17-19]。

先看正動(dòng)能區(qū)的情況。粒子服從薛定諤方程。

(67)

令波函數(shù)的形式為

ψ(+)(x)=eiS(+)(x)/?

(68)

代入(67)式。并將S(+)(x)按照普朗克常數(shù)?作為小量展開(kāi)。

(69)

然后，按照?的同次冪的系數(shù)之和為零，我們就可寫(xiě)出分別寫(xiě)出?的零次冪、一次冪和二次冪的系數(shù)的方程。

(70)

S″(+)0+2S′(+)0S′(+)1=0

(71)

(S′(+)1)2+S″(+)1+2S′(+)0S′(+)2=0

(72)

其中，叢零次項(xiàng)的系數(shù)方程(70)容易求的S(+)(x)的零級(jí)項(xiàng)S(+)0為

(73)

(74)

那么，波函數(shù)(68)式的指數(shù)上準(zhǔn)確到一級(jí)項(xiàng)為

(75)

對(duì)于負(fù)動(dòng)能的區(qū)域，做同樣的處理。負(fù)動(dòng)能薛定諤方程為

(76)

令波函數(shù)的形式是

ψ(-)(x)=eiS(-)(x)/?

(77)

代入式(76)。并將S(-)(x)如式(69)那樣按照普朗克常數(shù)?作為小量展開(kāi)。然后，按照?的同次冪的系數(shù)之和為零，我們就可寫(xiě)出分別寫(xiě)出?的零次冪、一次冪和二次冪的系數(shù)的方程。

(78)

S″(-)0+2S′(-)0S′(-)1=0

(79)

(S′(-)1)2+S″(-)1+2S′(-)0S′(-)2=0

(80)

從零次項(xiàng)的方程(78)得到零級(jí)項(xiàng)S(-)0的表達(dá)式，

(81)

代入(79)式，得到一級(jí)項(xiàng)是

(82)

這時(shí)的波函數(shù)(77)式的指數(shù)上準(zhǔn)確到一級(jí)的表達(dá)式為

(83)

以上近似的適用條件是

(84)

但是在轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近，由于動(dòng)量為零，這一條件不滿足。就需要有一個(gè)連接條件。

我們來(lái)探索WKB連接公式。

看圖1勢(shì)壘形狀的情況。

圖1 勢(shì)壘區(qū)域

考慮轉(zhuǎn)折點(diǎn)a鄰近的情況。當(dāng)xa，V(x)>E。那么，在此點(diǎn)附近，將勢(shì)能做泰勒展開(kāi)。

V(x)=V(a)+V′(a)(x-a)=E-F0y

(85)

其中

y=x-a,F0=-V′(a)>0

(86)

將(85)式在xa時(shí)代入(76)式。

(87)

(88)

引進(jìn)無(wú)量綱變量。

(89)

那么，式(87)和(88)簡(jiǎn)化為

(90)

(91)

此兩式的形式與(47)相同。所以解為 ±1/3階貝塞爾函數(shù)的線性疊加。

(92)

(93)

利用在ξ=0處連續(xù)且光滑的條件，得到

A1=-B1,A2=B2

(94)

在離轉(zhuǎn)折點(diǎn)較遠(yuǎn)處，可以利用貝塞爾函數(shù)的漸進(jìn)式(53)。

(95)

(96)

在轉(zhuǎn)折點(diǎn)a點(diǎn)的兩側(cè)鄰近，當(dāng)x

(97)

當(dāng)x>a。已經(jīng)由(81)式定義了p。由式(85)、(86)和(89)可知，

(98)

將式(97)和(98)分別代入式(95)和(96)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)兩側(cè)的波函數(shù)可以寫(xiě)成

(99)

(100)

它們分別和式(75)與(83)是一樣的，并且把該兩式中的相位常數(shù)α和β定出來(lái)了。這兒要注意的是，如果相位常數(shù)相同，那么，轉(zhuǎn)折點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)一個(gè)是正弦形式，另一個(gè)是余弦形式。

同理，在轉(zhuǎn)折點(diǎn)b處兩側(cè)的波函數(shù)為

(101)

(102)

此處在轉(zhuǎn)折點(diǎn)兩側(cè)，都是三角波，都有一個(gè)相位常數(shù)。而文獻(xiàn)上，在勢(shì)壘區(qū)域，是指數(shù)波。指數(shù)波是沒(méi)有相位的概念的。

現(xiàn)在將以上討論的WKB近似的波函數(shù)形式應(yīng)用到勢(shì)壘區(qū)域的透射和勢(shì)阱區(qū)域的波函數(shù)兩種情況。

我們考慮勢(shì)壘穿透的問(wèn)題。由于我們只做定性的討論，采用文獻(xiàn)[5]所用簡(jiǎn)化版本。這個(gè)簡(jiǎn)化版本如下。

設(shè)在x<0的第I和x>a的第III兩個(gè)區(qū)域，勢(shì)能為零。有一個(gè)正動(dòng)能粒子從左側(cè)無(wú)限遠(yuǎn)處往右運(yùn)動(dòng)。那么，在第I區(qū)域有入射波和反射波，在第III區(qū)域則有透射波。這兩個(gè)區(qū)域的波函數(shù)如下。

x<0:ψI(x)=eiqx/?+Be-iqx/?

(103)

x>a:ψIII(x)=Geiqx/?

(104)

這兩個(gè)區(qū)域的能量動(dòng)量關(guān)系都是

E=q2/2m

(105)

在0≤x≤a的區(qū)域則是粒子的能量小于勢(shì)能的勢(shì)壘區(qū)，E

(106)

注意此式只在T?1時(shí)適用。

說(shuō)以上模型是個(gè)簡(jiǎn)化版本，是因?yàn)閷?shí)際上第I和第III兩個(gè)區(qū)域的勢(shì)能可能不為零。但是，這兩個(gè)區(qū)域的勢(shì)能V(x)是小于能量的，計(jì)算得到的透射系數(shù)還是式(106)[1,5,20]。因此，采用簡(jiǎn)化版本不帶來(lái)實(shí)質(zhì)性的差別。

我們用此簡(jiǎn)化版本，就是在第I和第III區(qū)域，波函數(shù)就用式(103)和(104)。在勢(shì)壘區(qū)域，則依據(jù)前面的討論，波函數(shù)應(yīng)該寫(xiě)成

(107)

其中

(108)

我們強(qiáng)調(diào)，在勢(shì)壘區(qū)域的波不是指數(shù)波。在x=0和x=a處的邊界條件是以下各式。

(109a)

(109b)

(109c)

(109d)

其中，

(109e)

由邊界條件(109)式解出四個(gè)系數(shù)。其中反射振幅B的表達(dá)式為

(110)

反射系數(shù)是

(111)

這時(shí)的勢(shì)壘穿透系數(shù)并不是如式(106)那樣隨勢(shì)壘寬度指數(shù)下降的。而是隨著角度γ周期性變化的。這是我們的結(jié)果與教科書(shū)上的結(jié)果比較實(shí)質(zhì)性的差別。而且式(111)對(duì)于任意勢(shì)壘寬度都適用，不像式(106)那樣只對(duì)很小的透射率也就是較寬的勢(shì)壘適用。

我們?cè)賮?lái)看勢(shì)阱區(qū)域的情況。

這種情況是指：在x<0的第I和x>a的第III兩個(gè)區(qū)域，勢(shì)能大于粒子的能量。而在0≤x≤a的區(qū)域，粒子的能量大于勢(shì)能。假設(shè)，沒(méi)有粒子從遠(yuǎn)處入射。那么，依據(jù)前面的討論，我們可以設(shè)三個(gè)區(qū)域的波函數(shù)如下。

(112)

(113)

(114)

在x=0和x=a處的邊界條件是以下各式。

(115a)

(115b)

(115c)

(115d)

其中，γ的形式與式(109e)同。當(dāng)我們用(115)求解四個(gè)系數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)無(wú)解。究其原因，是因?yàn)槲覀冊(cè)O(shè)了第I和第III兩個(gè)的區(qū)域的波函數(shù)不為零，是式(111)和(113)這樣的形式。實(shí)際上，這兩個(gè)區(qū)域的波函數(shù)應(yīng)該為零。即

x<0:ψI(x)=0;x>a:ψIII(x)=0

(116)

而邊界條件就簡(jiǎn)化為兩個(gè)：在兩處邊界波函數(shù)為零。

C1+C2=0

(117a)

C1eiγ-C2e-iγ=0

(117b)

這種情況與1.1小節(jié)中的相同。也是因?yàn)閮蓚?cè)的勢(shì)壘是無(wú)窮寬的，又沒(méi)有粒子從遠(yuǎn)處入射而來(lái)，所以勢(shì)壘區(qū)域的波函數(shù)必須為零。

2 結(jié)論

(1) 本文計(jì)算了常見(jiàn)的一維勢(shì)壘問(wèn)題，它們是：一維有限深方勢(shì)阱，三維有限深方勢(shì)阱，三維有限深方勢(shì)壘，一維線性勢(shì)，Kronig-Penney模型，WKB近似方法。量子力學(xué)教科書(shū)上在求解這些問(wèn)題的時(shí)候，不區(qū)分粒子的能量和勢(shì)能的關(guān)系，在所有區(qū)域統(tǒng)一使用薛定諤方程。作者強(qiáng)調(diào)，薛定諤方程在粒子能量小于勢(shì)能的區(qū)域是否適用，并沒(méi)有任何論證。作者根據(jù)表1，重新求解了這些問(wèn)題，在粒子能量小于勢(shì)能的區(qū)域使用負(fù)動(dòng)能薛定諤方程。所得到的結(jié)果與教科書(shū)上的有所不同。

(2) 本文的結(jié)果與教科書(shū)上結(jié)果不同之處如下：1.1、1.2和1.6小節(jié)表明，有限高的勢(shì)壘，只要是無(wú)限寬的，那么，在勢(shì)壘內(nèi)部，本文給出的波函數(shù)為零，而教科書(shū)上是有指數(shù)波的尾巴。我們說(shuō)明了低動(dòng)量運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子的動(dòng)量不會(huì)是虛數(shù)。1.3、1.5和1.6小節(jié)的內(nèi)容表明，在有限高有限寬的勢(shì)壘內(nèi)部，本文給出的是正反向平面波的疊加，而教科書(shū)上則是指數(shù)波。1.3和1.5小節(jié)表明，勢(shì)壘寬度越窄，本文與教科書(shū)上的結(jié)果越接近。對(duì)于δ型勢(shì)壘，兩者的結(jié)果是一樣的。1.4小節(jié)的線性勢(shì)本身具有一定的對(duì)稱性，我們解得的波函數(shù)確實(shí)體現(xiàn)了對(duì)稱性。而教科書(shū)上的波函數(shù)解是Airy函數(shù)，則沒(méi)有這樣對(duì)稱性。1.6小節(jié)的例子表明，勢(shì)壘的透射系數(shù)是隨著勢(shì)壘寬度變換，會(huì)有某種周期性的變化，而教科書(shū)上透射系數(shù)是隨著勢(shì)壘寬度指數(shù)衰減的。

(3) 文中給出的勢(shì)壘問(wèn)題都是模型，還沒(méi)有在實(shí)驗(yàn)上給出定量驗(yàn)證。期待下階段通過(guò)實(shí)驗(yàn)物理給出驗(yàn)證。